迪内什·库马尔 | 埃拉尔普·德米尔 | 朱利奥·斯帕多托 | 布莱恩·康诺利 | 埃德·皮克林 | 保罗·威尔科克斯 | 大卫·诺尔斯 | 马哈茂德·莫斯塔法维
英国布里斯托大学机械工程系，布里斯托 BS8 1TR
**摘要**
晶体材料的机械响应受到其微观结构的强烈影响，尤其是晶粒形态和晶体纹理，这些特性受制造过程的影响，并可能在服役过程中发生变化。在焊接部件中，纹理的空间变化可能导致塑性变形行为的显著差异，但这种变异性很少以系统的方式进行量化。晶体塑性有限元（CPFE）建模提供了一种基于物理的纹理依赖性塑性描述方法，但由于计算成本高，其直接用于不确定性和敏感性分析受到限制。
在本研究中，利用基于实验的不确定性框架探讨了电子束焊接316L奥氏体不锈钢的塑性响应受到纹理变异性的影响。通过大面积电子背散射衍射测量来量化焊缝中主要纹理组分的实际范围。这些纹理变化通过基于多项式混沌展开的替代模型传播到CPFE模型中，该模型作为底层晶体塑性仿真的分析扩展。替代模型能够有效评估宏观应力-应变行为相对于各个纹理组分的均值响应、不确定性范围和敏感性，而无需重复进行有限元仿真。结果表明，只有部分纹理组分对塑性响应有主导作用，而在实验观察的范围内，其他组分的效应可以忽略不计。这项工作展示了如何将实验测量的纹理变异性与塑性变形行为定量关联起来，为微结构敏感材料建模中的不确定性量化提供了一种实用且基于物理的方法。
**1. 引言**
金属部件的机械行为和结构完整性受其微观结构的强烈支配，特别是晶粒形态和晶体纹理。铸造、挤压、成形和焊接等制造过程通常会产生非随机的晶粒取向分布，从而导致工程部件内明显的局部纹理（Sofras等人，2022年；Kalidindi等人，1992年；Veasna等人，2023年）。这些纹理通过影响位错活动来影响塑性变形，包括在高角度晶界处的位错堆积（Lu等人，2020年；Winning和Rollett，2005年）以及低角度晶界处的滑移传递（Liu等人，2021年）。因此，晶体纹理不仅控制局部塑性流动，还在损伤起始和疲劳行为中起关键作用（Huang等人，2025年；Ritchie等人，2000年）。在核能和航空航天工程等安全关键领域，理解制造引起的微观结构变异如何影响机械性能至关重要。
几种经典方法，包括泰勒模型、粘塑性自洽（VPSC）方法和基于球谐函数的解析纹理描述，已被广泛用于将晶体纹理与宏观应力-应变行为联系起来。这些模型计算效率高且经过充分验证，但它们主要描述平均材料响应，无法捕捉详细的晶粒尺度相互作用或局部异质性。相比之下，晶体塑性有限元（CPFE）建模提供了一个基于物理的框架，能够结合晶粒形态、晶体取向和滑移系统级别的变形机制。通过适当的均质化方案，CPFE仿真可以预测宏观应力-应变行为和局部变形场（Miehe等人，2014年；Gierden等人，2022年；Nascimento等人，2025年；Yan等人，2021年）。然而，CPFE的计算成本很高，特别是在需要大量微观结构实现来评估材料响应的变异性或不确定性时。最近在晶体塑性建模方面的进展已经超越了纯机械描述，纳入了基于位错的损伤机制，提供了更完整的材料退化物理图景（Guo等人，2025c；Guo等人，2025b）。例如，已经开发了将位错密度演变直接与损伤起始和生长联系起来的耦合框架，用于多晶金属，捕捉了从局部滑移到晶粒尺度微裂纹形成的过渡。这些模型表明，晶界处的位错堆积和几何必要位错的积累是损伤的关键前兆，对工程合金的疲劳寿命和断裂行为有影响（Guo等人，2025c；Guo等人，2025b；Guo等人，2025a）。虽然当前工作关注塑性响应的不确定性传播而非损伤预测，但这些发展强调了微结构敏感CPFE框架的更广泛背景，这里提出的方法原则上可以扩展到未来工作中通过位错-损伤耦合模型传播不确定性。
微观结构表征技术，如电子背散射衍射（EBSD），提供了关于晶粒取向和纹理的详细信息，但本质上受限于相对较小的采样体积和离散区域。因此，实验测量的纹理通常表现出显著的空间变异性，尤其是在热梯度和凝固条件在接头处变化的焊接部件中。尽管CPFE模型非常适合研究纹理对塑性的影响，但由于计算成本高，直接应用它们来量化这种变异性仍然不切实际。因此，显然需要一种方法，在保持晶体塑性物理真实性的同时，能够高效地将实验观察到的纹理变异性传播到宏观机械响应。
替代建模提供了一种实用的方法，通过使用简化表示来近似计算密集型模型的响应（Cadet等人，2024年；Newberry等人，2022年；Ktari等人，2021年）。在可用的技术中，多项式混沌展开（PCE）提供了一种高效且可解释的不确定性量化框架，其中模型输入表示为具有预定概率分布的随机变量（Wiener，1938年；Xiu和Karniadakis，2002年）。与黑箱回归方法不同，多项式混沌保持了输入变异性与输出响应之间的直接分析联系，从而无需重复模型评估即可计算统计矩和敏感性度量。PCE已在多个工程领域成功应用，但其用于通过基于物理的晶体塑性模型传播实验测量的纹理变异性仍然有限。
在本工作中，开发了一个物理一致的不确定性框架，用于量化电子束焊接316L奥氏体不锈钢的塑性响应受到纹理变异性的影响。使用大面积EBSD测量来提取焊缝中主要纹理组分的实际范围，捕捉制造过程引入的自然变异性。这些纹理组分被视为不确定输入，并通过基于多项式混沌的替代模型传播到CPFE模型中，该模型作为底层晶体塑性仿真的分析扩展而非替代。这种方法能够高效评估宏观应力-应变响应、不确定性范围以及宏观塑性行为相对于各个纹理组分的敏感性，而无需进行广泛的蒙特卡洛抽样或重复CPFE仿真。通过直接将实验观察到的纹理变异性与机械响应联系起来，该框架提供了关于哪些纹理组分控制焊接316L不锈钢的塑性变形以及在实际范围内哪些组分影响可以忽略的定量见解。更广泛地说，该方法为将微观结构不确定性纳入微结构敏感材料建模提供了基于物理的方法，对焊接部件的完整性评估和设计具有潜在的相关性。
**2. 数学建模**
本研究中的模型包括两个概念：用于微观力学仿真的晶体塑性有限元方法和用于替代建模的多项式混沌方法，这两者在以下部分有详细描述。
**2.1. 晶体塑性有限元方法**
有限元方法解决局部平衡的弱形式，定义为应力σ的散度与体积力b之和，适用于准静态问题：
(1) ∇⋅σ + b = 0。
将平衡方程与任意权重函数N相乘，并在域上积分，然后使用散度定理计算力残差r，即内力fint与外力fext之间的差：
(2) r = fext − fint。
外力向量的弱形式包含一个与体力b相关的项，以及另一个与表面牵引t相关的项，相应的积分权重分别为N和Ns：
(3) fext = ∫VNTbdV + ∫SNsTtdS，
内力向量使用应变-位移B和应力计算为：
(4) fint = ∫VBTσdV。
在隐式求解方案中，通过迭代（通常使用牛顿-拉弗森方法）最小化残差，以找到平衡位移：
(5) uk+1 = uk + KT−1r，
其中KT是刚度矩阵，由下式给出：
(6) ɛKT = ∫VBT∂Δσ∂ΔɛBdV。
在迭代求解器中求解平衡，以揭示位移场及相关量，如总应变增量ɛΔɛ和总变形梯度F，有限元代码分别为小应变和大应变情况提供这些量。因此，在用户子程序（UMAT）中，可以获取ɛΔɛ和F，需要应力σ和材料刚度ɛ∂Δσ∂Δɛ来计算方程(4)中的内力向量和方程(6)中的刚度矩阵。大多数FE代码使用共旋柯西应力作为变形配置下的应力测量，并考虑工程应变（剪切应变加倍）。在Voigt表示法中，应力向量的矢量化形式为：
(7) σT = σ11σ22σ33σ12σ13σ23。
晶体塑性将总变形F分为弹性部分Fe和塑性部分Fp，对于一般的大变形情况假设塑性变形不会导致体积变化：
(8) F = Fe + Fp，
其中det(Fp) = 1。
塑性滑移γ̇a转换到晶体参考坐标系，并在滑移系统a上求和，得到速度梯度的塑性部分Lp：
(9) Lp = ∑as0a⊗n0aγ̇a。
在中间配置下计算滑移方向s0a和滑移平面法线n0a，它们在塑性变形过程中不需要更新。在本研究中，晶体塑性问题在塑性变形的参考配置（Kalidindi等人，1992年）下求解，即所谓的中间配置：
(10) sa = Fes0a，
na = Fe − Tn0a。
使用方程(11)通过Green-Lagrange应变Ee找到弹性应变，其中I是二阶单位矩阵：
(11) Ee = FeTFe−I2。
解决方案基于第二Piola-Kirchoff（PK2）应力S，该应力使用C0四阶弹性张量在中间配置获得：
(12) S = C0:Ee。
中间配置的PK2应力通过适当的变换与变形配置下的柯西应力相关：
(13) σ = FeSFeT/det(Fe)。
解得的剪切应力（RSS），τa，即滑移的驱动力（Kalidindi等人，1992年），是应力在滑移系统上的投影：
(14) τa = FeTFeS:s0a⊗n0a≈s0a⋅S⋅n0a。
滑移率受幂律控制（因为它比指数函数更容易收敛），其中τca表示临界解析剪切应力（CRSS），Xa表示背应力作为状态变量。我们包括了背应力，因为这项工作的最终目标是估计具有组合各向同性和运动硬化行为的材料的循环响应的不确定性。γ̇0和n表示参考滑移率和幂律指数：
(15) γ̇a = γ̇0|τa−Xa|/τca。
CRSS与统计存储的位错密度（SSD），ρSSDa，通过泰勒方程关联，其中α、G、b、D和La分别表示几何因子、剪切模量、伯格斯矢量、晶粒大小因子和平均滑移距离：
(16) τca = AGbϱSSDa + Bla。
晶粒大小依赖性引入到SSD密度的演变中，额外项La用于重新创建位错堆积并再现Hall-Pech效应。La通过将椭球体拟合到每个晶粒并使用特殊投影算子重新创建每个滑移系统的主轴来计算（Demir等人，2023年）。Kocks-Mecking-Estrin硬化模型（Mecking和Kocks，1981年；Estrin和Mecking，1984年）控制SSD的演变，其中C和D分别是硬化和软化模型常数：
(17) ϱ̇SSDa = CbϱSSDa + Bla−DϱSSDa|γȧ|。
另一个状态变量背应力Xa根据Armstrong-Frederic（AF）模型（Armstrong等人，1966年）演变，其中E和F分别表示运动硬化和软化常数：
(18) Xa = Eγȧ−FXa|γȧ|。
晶体塑性的解决方案细节和材料刚度的解析表达式在参考文献（Demir等人，2023年）中提供。
**2.2. RVE和仿真过程**
第一步是生成一个能够模拟实验表征方法主要特征的代表性体积元素（RVE）。RVE包含给定晶粒大小分布的材料晶粒。在计算仿真中，将感兴趣的域（如物理结构）划分为较小的元素（如单元或节点）以创建网格的过程需要仔细规划和分析。该网格由这些较小的元素组成，作为所考虑的几何空间的虚拟表示。这个基础网格对于求解控制方程至关重要，特别是用于结构分析的微分方程。网格的精度和复杂性直接影响模拟结果的精度和可靠性。因此，本研究的第一步涉及网格细化。此外，CPFE模型通常具有大量的参数，每个参数代表所建模系统的某个方面。准确校准模型并在实际场景中有效应用它是必不可少的。因此，本研究的第二步涉及模型校准过程。之后，进行一项分析以估计晶粒的有效数量和内禀体积元（RVE）的大小，因为先前的研究表明（Knezevic等人，2014年；Yaghoobi等人，2021年），CPFE模型预测宏观力学行为的精度在很大程度上取决于RVE的大小和其中的晶粒数量。晶粒的数量和RVE的总体大小也是实现所需收敛响应的函数（Chen等人，2022年；Lim等人，2019年；Singh等人，2023年）。通过汇总作用在RVE表面上的反作用力，并将这些力除以未变形面积，计算出RVE的宏观工程应力响应。同样，工程应变是通过将位移标准化为RVE的初始边长来获得的。最后，使用能够揭示收敛响应的RVE来研究纹理的影响。相应的结果在以下部分中展示。
2.3 基于多项式混沌的替代建模
对于一个具有n个输入参数并且响应表示为u(x)的模型，PCE表示可以写为：
$$
u(\xi) = \sum_{i=0}^{N} u_i \psi_i(\xi)
$$
其中 $u_i$ 是确定性多项式系数，$\psi_i$ 是依赖于随机变量 $\xi = \{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\}$ 的多维正交基多项式。方程（19）中的PCE被截断为有限项数N，这取决于输入变量的数量和选择的多项式阶数p。采用全序截断方案，保留所有总度数小于或等于p的多项式。对于n个输入变量，这导致
$$
N + 1 = (n + p)^p
$$
个基函数。多项式阶数p是根据收敛性研究选择的，在该研究中，会增加阶数直到进一步的增加对替代模型的精度改进效果可以忽略不计。收敛性是使用在独立的CPFE模拟子集上计算的验证误差来评估的。在本工作中，发现多项式阶数p=3能够在替代模型的精度和计算效率之间提供令人满意的平衡，超过这个阶数后，进一步的增加对验证误差的改进效果可以忽略不计。
在实践中，系数 $u_i$ 是从有限组采样的输入及其相应的来自CPFE模拟的模型响应中计算得出的。这些系数的数值估计可以使用投影、配置或回归技术来进行（Kumar等人，2016年；Najm，2009年）。在这项工作中，采用了最小二乘回归方法。设M是为$\xi$生成的样本数量（即$\xi(1), \xi(2), \ldots, \xi(M)$），$u(x; \xi(i))$ 表示每个输入实现的相应CPFE响应。使用方程（19），离散系统可以表示为：
$$
u(x; \xi(1)) = u_0 \psi_0(\xi(1)) + u_1(x) \psi_1(\xi(1)) + \ldots + u_N(x) \psi_N(\xi(1)) \\
u(x; \xi(2)) = u_0 \psi_0(\xi(2)) + u_1(x) \psi_1(\xi(2)) + \ldots + u_N(x) \psi_N(\xi(2)) \\
\vdots \\
u(x; \xi(M)) = u_0 \psi_0(\xi(M)) + u_1(x) \psi_1(\xi(M)) + \ldots + u_N(x) \psi_N(\xi(M))
$$
这个系统可以用矩阵形式表示为：
$$
DU = B
$$
其中D是包含多项式基函数的设计矩阵，U是未知系数向量，B包含模型输出。当系统过度确定（$M > P$）时，使用最小二乘回归来估计系数：
$$
U = (D^T D)^{-1} B
$$
此外，如Kumar等人（2020年；Luthen等人，2021年）所述，先进的方法如稀疏多项式混沌展开能够识别和保留只有最具影响力的基函数，从而得到高度压缩的表示。结果，所需的模型评估次数（样本大小）显著减少，而不影响预测精度。
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图1. CPFE-PCE的集成不确定性量化工作流程框架
2.4 基于多项式混沌的CPFE替代框架
晶体塑性有限元（CPFE）模拟构成了本分析的物理基础，因为它们明确考虑了晶体取向、滑移活动和控制多晶材料塑性变形的晶粒尺度相互作用。虽然CPFE模型非常适合捕捉依赖于纹理的力学行为，但其高昂的计算成本限制了它们在需要重复评估的研究中的直接应用，例如与微观结构变异相关的不确定性传播和敏感性分析。为了克服这一限制，采用基于多项式混沌展开（PCE）的替代建模策略来高效且物理上一致地扩展CPFE模型。替代模型使用从CPFE模拟中生成的输入-输出数据构建，并建立了晶体纹理变化与宏观应力-应变响应之间的直接映射。PCE替代模型不是替代底层的晶体塑性公式，而是在纹理变异空间上对CPFE模型响应的解析表示。一旦构建完成，替代模型就可以快速评估感兴趣的统计量，而无需额外的有限元模拟，从而保持了CPFE的物理真实性，同时大幅降低了计算成本。
在本研究中，微观结构的不确定性通过八种主要纹理组分的体积分数来表示：Cube、Goss、Brass、S1、S2、S3、Copper和Taylor。这些纹理组分被视为不确定输入变量，其界限直接从大面积EBSD测量中得出。多项式混沌展开的系数是使用基于回归的方法通过对CPFE模拟数据的处理来确定的。校准后，替代模型可以直接计算统计量，如应力响应的均值和方差，以及量化各个纹理组分对宏观塑性行为影响的敏感性度量。PCE中的多项式基的选择由输入变量的概率描述决定。这里，假设纹理组分的体积分数是具有实验观察到的界限的均匀概率分布的独立随机变量。因此，选择勒让德多项式作为正交基函数，确保了假定的输入分布与多项式混沌公式之间的一致性。这种选择避免了对特定纹理实现的人为加权，并提供了实验测量的变异性和模型响应之间的透明联系。
总共考虑了n=8种纹理组分，并使用了M=200次CPFE模拟来构建替代模型。一旦训练完成，多项式混沌表示可以直接从展开系数中使用Sobol指数高效评估平均响应、不确定性界限和Sobol敏感性指数。在多项式混沌框架内，这些指数可以直接从展开系数中计算出来，通过将总方差分解为来自各个输入及其相互作用的贡献来实现。这避免了额外采样的需要，并提供了进行敏感性分析的有效解析途径（Xiu和Karniadakis，2002年；Sudret，2008年）。这些分析完全在替代模型上进行，消除了重复进行CPFE模拟或计算密集型蒙特卡洛采样的需要，并且能够以可忽略的额外成本系统地评估纹理引起的变异。使用保留验证策略来评估替代模型的准确性，在该策略中，一部分CPFE模拟从训练过程中排除出来用于验证。替代模型的预测结果与CPFE结果使用标准误差指标进行比较，包括在离散应变水平上评估的均方根误差和相对误差。验证结果表明，替代模型在实验观察到的纹理变异范围内很好地再现了CPFE预测的应力-应变响应。
为了保持清晰的物理解释，替代模型是使用从CPFE模拟中提取的应力值在感兴趣的应变区间内的离散增量上训练的。每个CPFE模拟提供一个完整的宏观应力-应变曲线，该曲线在预定义的应变水平上离散化。在每个应变水平上构建一个独立的PCE替代模型，形成一个多输出框架，共同重构完整的应力-应变响应。通过这种方式，每个预测的应力值直接对应于给定应变下CPFE计算得到的宏观响应。一旦构建完成，基于PCE的替代模型就能够以与直接CPFE模拟相比可以忽略的计算成本快速评估应力-应变行为及其相关统计量。尽管需要初始的一组CPFE分析来构建替代模型，但随后的不确定性传播和敏感性分析可以在不需要进一步有限元计算的情况下进行。这提供了一个高效且基于物理的框架（如图1所示），用于量化纹理变异对塑性变形的影响，为以下章节中呈现的不确定性和敏感性分析奠定了基础。图1中的工作流程从EBSD数据开始，这些数据定义了研究中使用的纹理输入范围。这些输入是主要纹理组分的体积分数。对于每组输入，进行一次CPFE模拟以获得选定的应变水平下的应力-应变响应。然后使用这些数据构建多项式混沌替代模型，将纹理变化与机械响应联系起来。一旦开发完成，替代模型就可以快速预测应力、不确定性和敏感性，而无需运行额外的CPFE模拟。
3. 实验
本研究中使用的材料是一种商业316L奥氏体不锈钢，其化学组分为（重量%）：0.016C-16.56Cr-1.27Mn-2.04Mo-0.04N-10.04Ni-0.031P-0.002S-0.37Si-余量Fe。为了确保满意的焊接质量，材料在水平焊接位置（PC或2G）使用电子束焊接工艺进行焊接。焊接前，板材被清洁以去除任何污染物。焊接操作在6.0×10^-3 mbar或更低的压力下真空条件下进行。束流设备的工作电压为80 kV，束流电流为160 mA，焊接速度为4.16 mm/s。
对于EBSD分析，样品进行了金相制备，最后的抛光步骤使用0.04μm的胶体二氧化硅悬浮液（OPS）在振动抛光机（Vibromet 2 – Buehler）中进行。EBSD分析使用Thermo Scientific APREO C扫描电子显微镜（SEM）和Symmetry 2 EBSD探测器（Oxford Instruments）进行，工作电压为20 kV，束流电流为51 nA，步长为2.5μm，样品相对于电子束倾斜70°。数据采集和分析分别使用Aztec和Aztec Crystal软件（Oxford Instruments）进行。
图1a中的大EBSD图展示了使用电子束（EB）焊接工艺焊接的316L奥氏体不锈钢板横截面的Z方向上的逆极图（IPF）。该图由952个单独的EBSD图拼接而成，覆盖了316L板的整个25 mm厚度。该图揭示了EB焊接过程产生的特征微观结构。在熔合区，晶粒结构主要由沿焊池和周围材料之间的热梯度方向生长的细长柱状晶粒组成。这些晶粒沿着热流方向排列。
通过在这个中介观尺度上获取图像，可以对焊接区域的微观结构进行全面检查，从而可以对特定区域进行详细分析。图1b展示了一个例子，其中从图1a的EBSD数据集中提取的IPF-Z图突出了焊接区域的顶部。如图1b所示，得到的微观结构显示了基于晶粒特性的不同区域：(1) 母材中的等轴面心立方（FCC）晶粒，(2) 热影响区（HAZ）中的大FCC晶粒，(3) HAZ和熔合区（FZ）之间的较小FCC等轴晶粒，这些晶粒在固化开始时很多会形成，(4) 由焊池固化形成的柱状FCC晶粒，以及(5) 焊接区域的中心线。图1b中黑色框圈出的两个区域对应于图1中显示的区域。图1c和1e分别显示了母材和焊材的极图（PFs），而图1d和1f显示了母材和焊材的逆极图（IPFs）。在母材的情况下，PFs和IPFs都表明晶粒的随机晶体取向，表明没有强烈的纹理。相比之下，焊缝金属的结果显示出更加明显的纹理特征，表明在凝固过程中晶粒倾向于沿特定的晶体学方向排列，尤其是在100方向上。需要注意的是，对焊接的316L样本进行EBSD表征的目的并不是为了研究焊接过程本身，而是为了获得材料的具有统计代表性的纹理数据。电子束焊接的样本提供了不同区域自然纹理变化的便利来源，从而能够提取出主要纹理组分（Cube、Goss、Brass、S1、S2、S3、Copper和Taylor）的实际情况。这些实验得到的界限随后被用作在替代建模阶段生成合成纹理实现的输入范围。通过这种方式，EBSD数据确保了机器学习模型所探索的纹理变异性在物理上是有意义的，并且能够代表真实的制造条件。尽管在实践中纹理组分之间可能存在相关性，但在这里忽略了这些相关性，以保持替代模型的可行性；这一假设与宏观响应的一阶不确定性传播的目标是一致的。应力-应变曲线与黄铜晶粒取向及其相关散射现象。下载：下载高分辨率图像（254KB）下载：下载全尺寸图像
图14. 立方晶粒取向的应力-应变曲线及其相关散射现象。下载：下载高分辨率图像（287KB）下载：下载全尺寸图像
图15. 不同晶粒取向的平均应力-应变曲线。
4.5. 织构分布
为了研究织构对材料性能的影响，我们的第一步是评估服役部件中的织构范围，因为并非所有理论上的织构在实际和物理上都是可行的。这些信息可以从文献、专家见解或实验数据中获取。在这项特定研究中，我们利用了316L不锈钢电子束焊接试样的电子背散射衍射（EBSD）数据来估计织构范围（见实验部分）。这一过程涉及详细的分析和计算，如图2所示，它展示了SS316试样的EBSD样本。我们共收集了十三张EBSD图，每张图分为八个子部分。这种方法确保了我们考虑了104种情况，以捕捉焊接件中的织构成分范围。每种情况的织构信息是使用开源软件ATEX提取的，结果如图16所示，显示了从EBSD图中提取的样本截面的不同织构成分的百分比。特别是，我们在样本中识别出了八种织构成分（Cb、Gs、Bs、S1、S2、S3、Cu、Ty）。
按照类似的过程，我们系统地处理了所有104种情况，以提取织构成分的体积分数。然后将这些值可视化在直方图中，如图17所示，该图描绘了不同织构成分的最小和最大可能值及其在样本中的分布。这些织构成分的差异将作为构建替代模型的基本输入。此外，我们在表3中列出了提取的织构成分带，显示了样本中所有织构成分的最小和最大体积分数。
图16. 从图2所示的截面中提取的样本的织构信息。
图17. 从EBSD数据中提取的织构分布（直方图）。
表3. 从EBSD样本中提取的织构范围。
4.6. 替代模型和验证
在前一节中，我们讨论了SS316样本中存在的八种不同织构成分（立方体、Goss、黄铜、S1、S2、S3、铜和Taylor）。为了构建替代模型并进行织构分析，我们将这八个参数作为输入，并使用开源MATLAB工具箱MTEX（Bachmann等人，2010年）来创建织构成分的联合概率分布。输入参数在其实验确定的 minimum 和 maximum 值范围内变化，MTEX用于计算每种织构权重组合对应的欧拉角。随后，随机生成了200个输入样本，并使用相应的欧拉角创建了200个具有不同织构配置的代表性体积元素（RVEs）。每个RVE使用ABAQUS中的UMAT子程序实现的晶体塑性模型进行模拟，为所有200种情况生成了完整的应力-应变曲线。对于具有8个输入的三阶PCE，完整的基础包含N+1=165项，而称为稀疏多项式的先进PCE方法可以通过仅保留最重要的基函数将需求减少到最少100个样本。因此，在160个训练样本的情况下，稀疏多项式得到了令人满意的收敛。通过在120到160个样本范围内进行测试，证实了200个样本是一个足够且稳定的选择。
为了训练基于多项式混沌的替代模型，应力-应变曲线在0到3%的均匀应变区间内离散化，每个样本得到多个应力值，这些值作为多输出回归问题的输出。输入的织构分数和相应的应力值通过最小二乘回归来确定多项式混沌系数，从而在每个应变水平上建立了织构变化与应力响应之间的直接映射。该框架允许替代模型重建完整的应力-应变曲线，同时有效地捕捉织构不确定性的影响。数据集被随机分为80%用于训练和20%用于验证。图18展示了替代模型对六个随机选择的CPFE验证样本的预测结果，每个情况显示了两个定量准确性指标：应力-应变面板上的均方根误差（RMSE）以MPa为单位，以及右侧面板上作为应变函数的相对误差。这两个指标都证明了多项式混沌展开替代模型的强大预测准确性，最大相对误差低于3%，RMSE值在所有验证案例中均未超过12MPa。
4.7. 织构对应力-应变的影响
我们使用前一节开发的替代模型研究了织构对应力-应变响应的影响，并获得了显著发现。该模型对织构的响应通过平均应力与应变的比值以及应力的不确定性界限来评估。还检查了屈服应力和其他两个应变点的应力及其相应的不确定性界限。在图19中，展示了平均应变曲线及其不确定性限制。应力的平均值和标准差的估计是使用多项式混沌理论进行的，如前一节所述。在图20中，估计了三个不同应变点（0.2%、1.0%和3.0%）的应力值及其不确定性界限。相应的值也列在表4中。为了确定应力点，在0.2%、1.0%和3.0%的应力水平上绘制了与杨氏模量斜率平行的线。可以看出，0.2%应变点的屈服应力不确定性较小，而3.0%应变点的不确定性较大。此外，还展示了每个应变点上织构成分对应力的敏感性。从分析中可以明显看出，立方体（Cube）和Goss织构成分的影响最为显著。这意味着对于给定的材料样本，立方体或Goss织构的微小变化可能会导致材料性能的显著变化。相比之下，黄铜（Brass）和S1（S1）织构成分的敏感性几乎可以忽略不计，表明这些织构成分的变化对材料性能的影响很小。其余的织构成分（S2、S3、铜和Taylor）对应力几乎没有影响。这意味着两个立方体和Goss织构成分略有不同的SS316样本在其材料性能上会有很大差异。然而，如果两个材料样本具有相同的立方体和Goss织构成分，但在黄铜、S1、S2、S3、铜和Taylor织构成分上有所不同，它们的材料性能将几乎相同。
立方体（Cube）和Goss织构成分在宏观塑性响应中的主导地位可以通过它们的晶体几何结构及其相关的滑移系统活性来解释，这与之前关于FCC材料的研究结果一致，其中取向强烈影响Taylor因子和变形行为（Kocks等人，1998年；Roters等人，2010年；Engler和Randle，2010年）。在立方体取向中，{111}〈110〉滑移系统相对于加载轴对称排列，导致较低的Taylor因子，因此塑性屈服早发且宏观响应较软。虽然Goss取向在几何上有所不同，但同样优先激活了有限的滑移系统，导致晶粒之间的应力分配明显以及对其体积分数小变化的敏感性增强。相比之下，如黄铜、S1、S2、S3、铜和Taylor这样的织构成分通常具有较高的Taylor因子，且滑移活动在多个系统中更均匀分布，这共同产生了一个更加平均和稳定的宏观响应，对它们的精确体积分数不那么敏感。这种晶体几何结构、滑移系统选择和应力-应变分配之间的相互作用为Sobol指数揭示的敏感性层次提供了物理基础，并强调统计上占主导地位的织构成分不仅仅是统计伪影，而是反映了潜在的变形微观机制的真正差异。总之，我们的研究表明，立方体（Cube）和Goss织构成分最为敏感，而其他织构成分对材料性能几乎没有影响。
5. 结论
本研究将晶体塑性有限元模型与基于多项式混沌的替代模型相结合，以研究织构对SS316不锈钢材料性能的影响。在网格细化研究之后，使用包含615个晶粒的RVE进行了织构分析。首先使用316L不锈钢的实验数据对CPFE模型进行了校准，并精心开发了基于多项式混沌的替代模型。替代模型使用代表性体积元素上的CPFE模拟进行训练。随后，从电子背散射衍射数据的统计分析中确定了替代模型的织构输入界限。总共使用200次CPFE模拟来训练替代模型，其中80%的模拟用于训练，其余用于验证。随后应用替代模型通过不确定性和敏感性分析评估了织构对材料性能的影响。织构对应力-应变曲线的影响通过应变数据的不确定性界限来说明，而敏感性分析则揭示了对应力最有影响和影响最小的织构成分。特别是在316L焊接件中，立方体（Cube）和Goss织构成分被确定为最具影响力，而黄铜（Brass）、S1（S1）、S2（S2）、S3（S3）、铜（Copper）和Taylor（Taylor）织构成分对材料性能的影响最小。这项工作的范围涵盖了多物理场模拟中织构不确定性的传播，其结果将成为焊接模拟的关键输入。这项研究的后果深远，因为这些发现提高了预测多尺度模拟和焊接模拟模型中材料变异性的能力，从而提高了材料科学研究的质量和可靠性。
致谢
Dinesh Kumar：撰写——审阅与编辑、编写——原始草稿、可视化、验证、调查、形式分析。
Eralp Demir：撰写——原始草稿。
Julio Spadotto：撰写——原始草稿。
Brian Connolly：撰写——审阅与编辑。
Paul Wilcox：撰写——审阅与编辑、监督。
David Knowles：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取。
Mahmood Mostafavi：撰写——审阅与编辑、监督、资源。
资助
本工作得到了英国研究与创新机构（UKRI）通过SINDRI项目[授权号EP/V038079/1]以及EDF Energy的支持。MM感谢英国工程院通过研究主席计划提供的支持。Henry Royce研究所得到了工程与物理科学研究委员会（EPSRC）通过授权号EP/R00661X/1、EP/S019367/1和EP/P025498/1的支持。核AMRC通过英国政府商业、能源和工业战略部（BEIS）委托的FORCE项目提供了支持，该项目属于核创新计划的一部分。
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