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泰国那空拉差西玛府苏拉纳里技术大学工程学院机械工程系
地址：111 University Avenue, Suranari, Mueang Nakhon Ratchasima District, Nakhon Ratchasima, 30000
**摘要**
不确定性量化（UQ）是分析不确定输入参数如何影响系统响应的过程。常用的技术是蒙特卡洛模拟（MCS），它依赖于概率随机抽样。然而，由于MCS的计算成本较高，尤其是对于复杂系统，通常会采用基于机器学习的替代模型来高效地近似系统行为。传统的拉丁超立方抽样（LHS）缺乏适应性，并且通常需要大量数据集。本文提出的PaLiTra算法通过最大化输入和响应空间中的路径线距离来迭代优化替代模型训练数据，使替代模型能够专注于表现出强非线性或高敏感性的区域。结合径向基函数（RBF）替代框架，PaLiTra在减少高保真度评估次数的同时保留了先前获取的数据，并提高了替代模型的保真度。该方法已在非线性基准函数、多维工程模型（包括短柱和钻孔问题）以及通过叶片元素动量理论（BEMT）分析的高空多旋翼无人机等实际工程应用中得到了验证。在所有案例中，PaLiTra都实现了统计矩的更快收敛、概率密度函数的更好再现以及比基于LHS的替代模型更高的预测精度。在无人机案例研究中，PaLiTra成功量化了空气密度不确定性和推力变化的影响，展示了功率和速度敏感性随旋翼半径和旋翼数量的变化趋势。总体而言，结果表明PaLiTra为复杂工程系统中的基于替代模型的UQ提供了一个数据高效、适应性强的框架，在准确性、稳定性和计算效率方面具有显著优势。
**1. 引言**
不确定性量化（UQ）是一种分析输入参数不确定性如何影响系统响应的方法，它整合了统计学、工程应用和数值方法的概念，有助于理解和管理不确定性，从而提高系统的可靠性和鲁棒性[1]。常用的工具是蒙特卡洛模拟（MCS），这是一种通过随机抽样输入来估计系统响应统计行为的概率方法[2]。然而，如果系统更复杂或价值更高，单独使用MCS是不合适的，因为其计算成本高、收敛速度慢，并且在处理高维或计算成本高昂的模型时需要很长时间[3]。替代建模技术被用来降低复杂原始系统的成本。由于机器学习模型能够高效地近似输入和输出变量之间的线性或非线性关系，因此常被用作替代模型[4]。然而，确定确保替代模型足够准确所需的训练数据量是一个主要挑战[4]。减少训练数据数量并提高精度是开发高效UQ替代模型的关键挑战。在计算效率和预测性能之间取得平衡需要仔细考虑模型复杂性、训练数据质量以及输入分布的代表性。最近的研究探索了各种技术，如主动学习、降维和特别是自适应抽样，以在保持高精度水平的同时最小化所需数据量[5][6]。
本研究的主要目标是提出一种路径线转换算法（PaLiTra），用于自适应额外抽样，以迭代优化UQ的替代模型。这种方法通过将系统响应的物理特性纳入抽样计划过程，直接解决了纯基于距离抽样的局限性。通过这种方式，本研究为替代建模领域做出了几项关键贡献。PaLiTra算法通过最大化输入和响应空间中的距离，自适应地将新样本集中在最能有效提高替代模型准确性和收敛性的区域。此外，虽然许多现有的自适应方法依赖于复杂的主动学习或统计误差驱动的优化，但所提出的方法提供了一个简化的数据高效框架，保持了模型保真度，并显著降低了实现复杂性。为了评估其有效性，首先通过使用各种二维复杂基准函数和多维UQ基准问题进行了测试，然后将其应用于一个复杂的工程挑战：量化具有不同旋翼数量和叶片尺寸的高空多旋翼无人机的不确定性影响。
**2. 相关工作**
基于替代模型的不确定性量化已成为涉及计算成本高昂的计算和不确定参数之间交互的工程系统的关键方法。早期对不确定性感知工程设计的贡献来自Huyse[7]，他将不确定性下的优化框架化为一个统计决策问题。他的工作强调，最优设计不仅应通过名义性能来评估，还应通过参数变化下的输出统计行为来评估。这一观点为基于替代模型的UQ奠定了基础，其中模型可以近似复杂响应并实现高效的不确定性传播[8]。在此基础上，Zang等人[8]强调了不确定性下的多学科设计中的重大挑战，特别是传统抽样方法（如直接蒙特卡洛或拉丁超立方抽样（LHS）的 prohibitive 计算成本。他们的报告强调了需要可扩展的近似模型和能够在设计空间内降低计算成本的同时保持准确性的高效抽样程序。这推动了高效替代建模、混合优化策略和高维环境中不确定性传播的大量研究[9][10]。
在用于UQ的基于机器学习的替代模型家族中，径向基函数（RBF）模型由于其灵活性、平滑插值特性以及在散布样本和有限样本情况下的强大性能而受到越来越多的关注[11][12][13]。Forrester等人[11]、Regis和Shoemaker[12]以及Powell[13]的研究表明，RBF模型在处理非线性响应时表现优异，尤其是在结合自适应或误差驱动优化时。这些工作确立了RBF模型作为需要表征非平滑或多模态行为的UQ框架的强大候选者。
自适应抽样的发展是另一个并行进展，它直接解决了纯空间填充策略的低效率问题。传统的自适应抽样方法依赖于统计标准，包括预测方差、预期改进（EI）和预测误差。这些顺序设计技术通过迭代识别预期可以降低替代模型训练计算成本的新样本，从而在有限的模拟预算下实现全局准确性的快速收敛[14]。尽管这些方法相对于LHS提高了效率，但它们往往难以发现样本中的结构重要区域，特别是在具有多模态分布、复杂交互或明显非线性问题的情况下[14]。Pholdee和Bureerat[15]证明，使用基于距离的标准优化拉丁超立方样本的间距可以显著提高模型性能并减少所需的总体模拟次数。自Minkowski家族的距离度量以来，这些度量已成为现代实验策略设计的核心，因为它们量化了点分布的均匀性并有效抑制了样本聚类[15]。基于这些原理，他们的后续工作表明，增强型随机进化算法（ESEA）在优化高维空间中的拉丁超立方设计时优于传统的遗传算法（GA）[16]。这种性能优势至关重要，因为许多问题涉及大量不确定参数，其中维数灾难严重挑战了传统样本优化方法，这些方法试图最大化样本间分离以提高替代模型的保真度并减轻复杂UQ设置中的外推误差[16]。
特别是无人驾驶飞行器（UAV），尤其是多旋翼和非传统配置的UAV，对空气动力学、推进和环境不确定性非常敏感，而最近的研究更多地关注动力学和控制，而不是早期开发中的不确定性感知空气动力学设计[17]。在这种情况下，叶片元素动量理论（BEMT）是一种高效的低阶方法，因为它结合了动量理论和叶片元素理论，将叶片划分为径向元素，从而能够相对简单地估计推力和功率，便于重复设计评估[17]。这对于高空UAV尤为重要，因为降低的空气密度和恶劣的环境条件会降低耐力、载荷能力和推进性能[18]。因此，将基于BEMT的分析与基于替代模型的不确定性量化相结合，为评估不仅在名义性能，而且在不确定操作条件下的设计鲁棒性提供了实用途径[19]。
尽管取得了这些进展，大多数基于距离和自适应的抽样方法仍然强调输入域的填充覆盖，这限制了它们捕捉系统响应中更深层次结构变化的能力，而这些变化强烈影响不确定性传播。为了解决这一差距，本研究提出了一种基于路径线的自适应抽样框架，该框架将输入空间距离和响应空间行为结合到RBF替代模型中。所提出的框架旨在提高UAV设计问题的不确定性量化效率和准确性，其中空气动力学和推进性能受到不确定操作和环境条件的强烈影响，特别是在高空应用中。
**3. 方法论**
**3.1. 蒙特卡洛模拟**
蒙特卡洛模拟（MCS）是一种基于随机抽样的技术，用于生成大量数据点并通过计算模型进行重复实验。该方法通常用于研究系统的统计行为。输入随机变量的可能值根据其概率密度函数（PDFs）生成。由于蒙特卡洛模拟依赖于概率抽样，因此随着模拟次数的增加，结果的准确性也会提高。换句话说，采样的数据点越多，系统行为的分析就越准确[2]。系统由函数关系f(·)定义，其中输出Y如方程1所示，是独立输入随机变量X={X1,X2,…Xd}的函数：
(1) Y = f(X1,X2,…Xd)
每个输入变量Xj由特定的PDFs表征，表示可能值的范围和可能性。模拟遵循迭代抽样过程。总共进行N次迭代，从预定义的分布中抽取一组随机实现。第i次模拟尝试表示为方程2：
(2) x(i) = {x1(i),x2(i),…xd(i)} ∼ P(X)
对于每次尝试，执行确定性模型以产生离散输出y(i) = f(x(i))
**3.2. 拉丁超立方抽样**
拉丁超立方抽样（LHS）是一种分层抽样技术，最初由McKay等人[20]提出，用于实验设计或抽样计划。在LHS中，每个参数xj被划分为N个等间隔的区间。然后从每个区间中抽取一个样本，并使用随机排列组合不同维度的样本，确保均匀的空间填充特性[20][21]。第i个样本的LHS构造的输入变量由方程3给出：
(3) xij = πj(i) − Uij
1 ≤ i ≤ N
1 ≤ j ≤ d
其中πj(i)是维度j=1…d的随机排列，Uij∼U(0,1)引入了均匀随机性。这保证了每个样本在每个维度中占据唯一的位置，防止了聚类并减少了估计器的方差，与简单的蒙特卡洛相比[20]。尽管LHS效率高，但它是非自适应的，意味着其抽样分布无法在高非线性或敏感性区域进行自我优化[20]。
**3.3. 径向基函数**
替代模型是使用径向基函数插值方法构建的。这种方法通过将系统响应表示为以每个训练点为中心的基函数的加权和来估计系统响应。RBF的目的是通过选择系数来匹配插值节点处的函数值来构建近似函数。然而，为了近似复杂系统响应，采用了增强型径向基函数模型。该模型结合了使用径向基函数的局部插值和全局线性多项式趋势，提供了改进的准确性和稳定性，可以表示为方程4：
(4) y^(x) = c0 + c1x + ∑i=1^n ωiφ(ri)
其中ri=∥x−xi∥表示欧几里得范数，ωi是权重参数，c0和c1是线性多项式项的系数，φ(·)表示径向基函数或核矩阵。
- 线性（LR）：φ(r) = r
- 三次（CU）：φ(r) = r^3
- 薄板（TP）：φ(r) = r^2ln(r+1)
- 多二次（MQ）：φ(r) = 1 + r^2ε^2
- 高斯（GU）：φ(r) = exp(−r^2/2ε^2)
其中ε^2是高斯和多二次核函数的形状参数。
**3.4. 不确定性量化**
不确定性量化（UQ）是确定不确定输入参数如何影响模型输出的过程，包括概率密度函数（PDFs）和统计矩。UQ是识别、表征和理解计算和现实世界系统中不确定性的科学过程。在工程和计算建模中，它有助于评估模型输入（如材料属性、边界条件、几何形状或操作条件）的不确定性如何影响系统响应[1]。总体而言，如图1所示的UQ（不确定性量化）过程首先识别系统中具有不确定性的相关输入参数。这些输入通常以名义值或最坏情况值提供，但本质上包含不确定性。然后，通过使用MCS（蒙特卡洛模拟）根据它们的分布行为，将这些不确定性参数传播到分析模型中。该模型在变化的输入条件下模拟系统行为并计算输出响应。这些输出包括称为“感兴趣量”（QoI）的关键性能指标的点估计值[1]。通过N次蒙特卡洛试验估计输出的期望值（均值μ）和变异性（以方差σ2或标准差σ表示），以表征系统的随机响应，如公式5和6所示。(5)μ(Y)=1/N∑i=1Nf(x1(i),x2(i),…xd(i))(6)σ(Y)=1/N−1∑i=1N(f(x(i))−μ(Y))²下载：下载高分辨率图像（146KB）下载：下载全尺寸图像图1. 基于MCS的不确定性量化流程图。3.5. 基于不确定性量化的替代模型在不确定性分析中，使用基于机器学习的替代模型来高效近似复杂且计算密集的系统，如图2所示。这些模型能够快速进行评估，通过蒙特卡洛模拟等方法促进有效的不确定性传播，否则由于直接模拟的高计算成本而无法实现[23]。下载：下载高分辨率图像（187KB）下载：下载全尺寸图像图2. 基于不确定性量化的替代模型流程图。3.6. 提出的方法论提出的方法论旨在开发算法，以确定在基于UQ的替代过程中保持替代模型准确性的同时最小化数据使用量。这些算法利用一种自适应的额外采样策略，通过最大化新样本与现有数据点之间的距离来选择新样本，从而提高模型性能，称为“用于自适应额外采样的路径线转换”（PaLiTra）。整个过程如图3所示。该过程从使用LHS（拉丁超立方抽样）生成初始样本点开始，然后通过物理或数学模型对这些样本点进行评估。然后使用这些数据基于RBF（径向基函数）构建替代模型。替代模型用于使用MCS量化不确定性的影响，以估计PDF（概率密度函数）和统计矩，包括均值（μ）和标准差（σ），通常需要数千到数百万个样本[8]。执行均值和标准差的收敛性检查，以确定替代模型是否提供了足够准确的估计。如果未满足收敛标准，则启动基于PaLiTra的自适应额外采样过程。下载：下载高分辨率图像（352KB）下载：下载全尺寸图像图3. 基于自适应采样的替代模型框架用于不确定性量化。3.7. 自适应额外采样算法自适应额外采样的概念来自最优拉丁超立方抽样（OLHS），它优化了设计空间中样本之间的距离。然而，OLHS仅关注输入采样。PaLiTra算法不仅关注输入设计采样，还关注输出响应。PaLiTra自适应额外采样算法首先使用LHS在设计空间中生成候选样本点。当前替代模型预测这些候选点的响应。现有数据和新数据被合并成一个扩展集。然后使用公式7计算点间距离dij，其中t=2，这被称为欧几里得距离[15]。(7)dij=[∑k=1n|xki−xkj|t]1/t为了优化点间距离，使用了公式8中显示的标准。最小化此标准可以最大化路径线距离。然后采用增强型随机进化算法（ESEA）来调整候选点的位置，以最大化它们与现有样本之间的距离，这在高维问题（如UQ领域）中是必要的[15]。初始阈值为0.005，参数α1、α2和α3分别设置为0.8、0.9和0.7。优化后的新采样点被添加到数据集中，并用于通过系统进行评估，此过程重复进行，以迭代改进替代模型的准确性和空间填充特性。为了说明这一过程，图4显示了PaLiTra算法的关键步骤。（算法1）(8)ϕij=[∑i=jM−1∑j=i+1Mdij−p]1/p下载：下载高分辨率图像（509KB）下载：下载全尺寸图像图4. PaLiTra自适应额外采样过程。算法1. 提出的路径线转换（PaLiTra）自适应额外采样算法。开始初始化当前数据集{(xi,yi)}i=1N。1. 候选生成在n维设计空间中选择额外的样本点x*。使用LHS进行临时候选采样。2. 预测使用当前替代模型获得所有候选点的y^(x*)。从扩展向量{(xj*,y^j)}j=1M中。然后将Z=[{(xi,yi)}i=1N∪{(xj*,y^j)}j=1M组合起来。3. 路径线转换优化计算所有点对之间的点间距离dij（公式7）并评估centurion ϕij（公式8）。使用ESEA优化器最小化ϕij。4. 更新采样xaddition=argminx*∈Zϕij(dij)结束/迭代返回主循环以改进替代模型。4. 基准模型4.1. 基准模型为了验证所提出的方法论并研究其在不同类型问题上的性能，由于PaLiTra的计算成本低且能够表示广泛的行为，因此在各种类型的基准函数上对其进行了测试。首先，我们应用了直接MCS，将其视为UQ的精确解，使用均匀分布的输入来估计感兴趣量（QoI）、均值（v）和系统响应的标准差（σ）。然而，在实际问题中，由于评估复杂模型的高计算成本，直接进行蒙特卡洛模拟通常是不切实际的[24]。为了克服这一限制，采用了基于RBF的替代建模技术。探索了各种核类型，包括线性、立方、薄板样条、高斯和多二次函数。（表1）表1. 本研究中使用的基准函数。测试函数直接蒙特卡洛模拟（MCS）属性输入(μ)(σ)Ackley函数 [25]x1∼Uniform[−3,3]x2∼Uniform[−3,3]1.7293.068多模态，有许多局部最小值Rosenbrock函数 [25]x1∼Uniform[0,1.5]x2∼Uniform[−1,3]185.693207.200多模态，有曲线山谷Six-hump camel函数 [25]x1∼Uniform[−2,2]x2∼Uniform[−1,1]1.1251.174多个局部最小值和两个全局最小值Sine函数 [25]x1∼Uniform[−10,10]x2∼Uniform[−10,10]0.0180.170非线性，有一个全局最大值在这项研究中，我们使用了LHS与提出的PaLiTra进行比较，然后评估了随着替代训练样本数量增加这些统计指标的收敛行为。我们使用（9）和（10）[26]计算了估计的μ和σ的收敛行为。（9）δμ=|μ^−μ|μ×100%(10)δσ=|σ^−σ|σ×100%结果如表2所示，确认了PaLiTra的优越性能。例如，在Ackley函数中，PaLiTra的相对误差仅为μ的0.59%和σ的3.63%，而LHS分别为2.19%和6.37%。在所有测试的函数中都观察到了类似的趋势。特别是在Sine函数的情况下，LHS的平均误差超过了平均值的数百个百分点，而PaLiTra方法将这一误差显著降低到10.86%以下。这种改进归因于PaLiTra能够将采样集中在更重要的区域，而LHS的随机采样性质往往忽略了关键区域。表2. 基准模型性能比较：PaLiTra vs. LHS在基准函数上的表现。函数最佳核N训练样本PaLiTraLHSμσδμ(%)δσ(%)μσδμ(%)δσ(%)Ackley函数GU551.7562.9530.593.631.8042.9532.196.37Rosenbrock函数GU45183.121202.1792.924.22167.493179.3218.2813.38Six-hump camel函数GU511.1041.1191.854.691.1831.1085.145.62Sine函数GU470.0190.16710.861.380.0530.180201.536.01在递增样本大小上跟踪了μ和σ的收敛情况，并与直接MCS结果进行了基准测试，后者作为真实值。如图5至图8所示，与LHS相比，PaLiTra展示了显著改进的收敛特性。对于所有测试函数，PaLiTra的估计值都显示出向参考值（黑色实线）平滑、单调的趋势，波动最小。这种行为归因于PaLiTra的累积性质，它保留了之前的数据点，并以空间填充且自适应的方式逐步添加新数据点。相比之下，LHS在每个阶段生成一组新的独立样本，由于输入空间的随机重新分布，导致结果估计频繁波动。（图6，图7，图8）下载：下载高分辨率图像（444KB）下载：下载全尺寸图像图5. 在Ackley函数上比较采样策略（a）均值的收敛性，（b）标准差的收敛性。下载：下载高分辨率图像（326KB）下载：下载全尺寸图像图6. 在Rosenbrock函数上比较采样策略（a）均值的收敛性，（b）标准差的收敛性。下载：下载高分辨率图像（437KB）下载：下载全尺寸图像图7. 在Six-hump camel函数上比较采样策略（a）均值的收敛性，（b）标准差的收敛性。下载：下载高分辨率图像（484KB）下载：下载全尺寸图像图8. 在Sine函数上比较采样策略：（a）均值的收敛性，（b）标准差的收敛性。PaLiTra算法的一个关键优势在于其能够自适应地将样本点集中在高变异性和敏感区域，如图9所示。通过利用通过ESEA算法优化的基于路径线的距离度量，PaLiTra识别出相对于现有数据集最具信息量的新候选点。这导致了一种采样策略，优先考虑梯度陡峭、非线性行为或多模态特征的领域，确保了高替代模型精度，而不会不必要地增加训练样本的数量。相比之下，尽管LHS因其均匀的空间填充特性而常用，但它缺乏适应功能景观的机制。下载：下载高分辨率图像（4MB）下载：下载全尺寸图像图9. 使用PaLiTra和LHS在基准函数上比较采样分布。因此，LHS经常将样本分配到敏感度低或响应平坦的区域，这对替代模型的预测质量贡献很小。对四个基准函数的比较分析表明，PaLiTra不仅加速了收敛，还通过将资源集中在最具影响力的区域来提高模型精度。这种自适应行为在采样模式中得到了明显体现。对于Ackley函数，PaLiTra在陡峭的中心盆地和波纹轮廓处聚集点，那里的输出方差最高。同样，在Rosenbrock函数中，PaLiTra沿着狭窄的曲线山谷排列样本，以捕捉其高梯度响应，尽管由于高斯（GU）核的限制，在平坦区域会有一些平滑度损失。在Six-Hump Camel函数中，PaLiTra在六个局部最小值附近集中样本，特别是在两个全局最优值附近，增强了反映函数多模态结构的能力。最后，对于Sine函数，PaLiTra在零交叉点和峰值过渡处增加采样密度，以有效解决高频振荡。在所有情况下，PaLiTra始终适应目标函数的几何形状和统计行为，使其在不确定性量化中的替代建模方面具有自适应性。相比之下，LHS保持均匀分布，经常在低影响区域浪费努力，无法像PaLiTra那样有效地捕捉局部复杂性。图10展示了基于替代模型的MCS获得的PDFs。这些结果对应于最终的UQ阶段，其中替代模型传播输入不确定性以生成响应分布。总体而言，PaLiTra一致地再现了直接MCS获得的真实PDFs（黑色虚线），具有高保真度。下载：下载高分辨率图像（644KB）下载：下载全尺寸图像图10. 所有基准函数的PDFs。在所有基准函数中，PaLiTra以显著的准确性捕获了PDFs的基本统计特性和整体形状。在多模态的Six-hump Camel函数中，PaLiTra解决了真实PDFs的多个峰值和山谷，而不会过度平滑。对于像Ackley和Rosenbrock这样的较平滑函数，PaLiTra预测的PDFs与直接MCS的PDFs非常接近，表明在较低的替代样本训练量下可靠地将输入变异性映射到输出概率空间。与基于LHS的替代模型相比，PaLiTra产生的PDFs更清晰、更准确。LHS的结果倾向于显得平滑或略微不对齐，而PaLiTra保留了细粒度特征，并与真实PDFs更紧密地对齐。这种优势源于PaLiTra的自适应采样策略，它选择性地添加点，以最大程度地改进QoI分布的表示。总之，与直接MCS的密切一致性证明了PaLiTra在实现高保真度不确定性量化方面的有效性。为了评估所提出的基于替代模型的PaLiTra的准确性，生成了一组验证数据，并将其结果与LHS获得的结果进行了比较。使用决定系数（R2）和均方根误差（RMSE）根据公式11和公式12评估了模型的性能。其中yi表示观测值，y^i表示来自替代模型的预测值，y¯是观测值的平均值。(11)R2=1−∑i=1n(yi−y^i)2∑i=1n(yi−y¯)2(12)RMSE=∑i=1n∑i=1n(yi−y^i)2n在所有基准函数的收敛状态下，R2和RMSE值显示PaLiTra的预测准确性优于LHS。如表3详细所示，PaLiTra在所有测试函数中始终实现了更高的准确性值，图11（黑色虚线显示了完美预测值）从视觉上得到了证实，从而表明其在使用较少采样点的情况下实现了更高的准确性，特别是在Rosenbrock和Sine函数上。表3。PaLiTra与LHS在基准函数上的性能比较
函数 训练样本数 PaLiTra LHS R2 RMS MSE
Ackley函数 550 0.98 88 0.12 0.96 18
Rosenbrock函数 450 0.97 0.70 38.52 23 0.72 65
六峰骆驼函数 540 0.98 0.14 83 0.94 0.29 20
正弦函数 470 0.92 0.03 90 0.85 91 0.05 30
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图11. 使用PaLiTra和LHS在收敛状态下对基准函数的实际值和预测值
4.2. 多维模型
为了进一步评估所提出的PaLiTra方法在真实工程问题上的有效性，选择了两个代表性模型：短柱模型和钻孔模型。这些模型在物理特性和数学复杂性上有所不同。短柱模型代表了一个具有材料和载荷不确定性的结构可靠性问题，而钻孔模型描述了水通过圆柱形钻孔的流动，其中包含水文地质不确定性。由于它们的分析可行性和明确定义的参数分布，这两个模型都作为不确定性量化的标准测试案例。
**短柱模型**
考虑一个具有材料属性和应用载荷不确定性的矩形截面柱的短柱极限状态函数[27]。短柱模型的极限状态函数表示为方程13，宽度参数b=5毫米，截面深度h=15毫米。不确定性属性如表4所示。
(13) f(x) = 1 - (4Mbh²Y - P²)/(b²h²Y²)
表4. 短柱模型的不确定性参数
参数 单位 分布 均值, μ 标准差, σ
屈服应力, Y MPa 对数正态 50.5
弯矩, MN·mm 正态 2000 400
轴向力, P N 正态 500 100
基于RBF的替代模型被开发并使用各种核类型进行了评估，以确定最准确的配置。在测试的核中，CU核在训练样本量为45个设计点时表现最佳，达到了决定系数（R²=0.9999）和均方根误差（RMSE=0.0055），优于其他核。直接MCS作为精确的UQ参考，得到的均值为-2.344，标准差为0.965。两个相对误差的结果表明，立方核有效地捕捉了短柱模型的统计行为，预测精度很高，如表5所示。
表5. PaLiTra与LHS在短柱模型上的性能比较
最佳核 训练样本数 PaLiTra LHS δμ(%) δσ(%) R2 RMSE
CU 45 1.20 2.35 0.99 99 0.0055 1.74 4.92 0.99 80 0.0057
图12所示的PDF进一步支持了这一发现。PaLiTra的预测与MCS参考黑色虚线曲线非常吻合，而LHS在峰值区域周围显示出轻微的偏差。此外，表5和图13中的模型验证结果也证实，基于PaLiTra的替代模型比LHS具有更高的准确性。尽管两种方法的R²和RMSE值看起来相当，但相对误差在均值和方差上的收敛性表明PaLiTra更有效地捕捉了UQ过程的统计行为。
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图12. 短柱模型的概率密度函数
**钻孔模型**
钻孔模型表示水通过连接两个不同水头含水层的钻孔系统的流量[25]。模型的数学表达式和不确定性参数范围如方程14所示（表6）。
(14) f(x) = 2πTu(Hu − Hl)ln(r/rw) / (1 + 2LTuln(r/rw)rw²Kw + TuTl)
表6. 钻孔模型的不确定性参数
参数 单位 分布 均值, μ 标准差, σ
钻孔半径, rm 米 对数正态 0.10 0.01 61 81 12
影响半径, rm 米 对数正态 7.71 11.00 56
上层含水层渗透率, Tum 米/年 均匀 89 33 52 62 65
上层含水层水位, Hum 米 均匀 10 50 60
下层含水层渗透率, Tlm 米/年 均匀 89 55 26 45
下层含水层水位, Hlm 米 均匀 76 0 60
钻孔长度, Lm 米 均匀 14 00 28 0
使用MQ核评估了所提出的PaLiTra框架在钻孔模型上的最佳性能，如表7所示，并在图14和图15中进行了说明。尽管PaLiTra和LHS的R²和RMSE在数值上看起来相似，但PaLiTra始终表现出更好的预测行为。特别是，PaLiTra的R²略高，RMSE略低，同时均值和方差的相对误差收敛性显著改善。这表明PaLiTra比传统的LHS采样更有效地捕捉了系统响应的统计特性。
表7. PaLiTra与LHS在钻孔模型上的性能比较
最佳核 训练样本数 PaLiTra LHS δμ δσ R2 RMSE
MQ 28 0.18 12.32 0.94 22 14.26 0.72 07 2.40 15.09 0.92 49 14.46 11
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图14. 钻孔模型的概率密度函数
图15. 钻孔模型的实际值和预测值
概率密度函数进一步支持了这一结论，基于PaLiTra的PDF与直接MCS参考黑色虚线曲线非常吻合，仅显示出小的偏移，并保持与直接MCS行为密切跟随的分布形状。相比之下，基于LHS的PDF偏离更为明显，特别是在均值附近，表明其在表征响应的中心趋势和整体分布方面的能力较弱。
4.3. 高空无人机转子性能不确定性量化
在本节中，我们应用了一种基于PaLiTra的替代UQ方法，用于设计用于珠穆朗玛峰高度载荷输送的多旋翼无人机（UAV）。在接近珠穆朗玛峰大本营的海拔5315米处，空气密度会根据温度和天气条件大幅降低[28]。这种稀薄的大气显著影响转子推力生成和电机功率需求。空气密度的微小变化可能导致推力和功耗的显著变化，增加性能不足、电机过载或任务失败的风险。因此，高空无人机的转子叶片尺寸必须明确考虑空气密度不确定性，以确保安全和可靠的运行。
设计概念专注于能够携带10-20公斤载荷的多旋翼无人机。关键设计参数包括转子半径、转子数量和臂长。螺旋桨使用NACA 23012翼型截面，厚度比为12%，如表8所示。叶片几何形状包括扭转分布和叶片实度，如图16所示，并在表9中详细说明。对于不确定性参数，明确考虑了空气密度。为了降低不确定性空间的维度，通过表10中显示的每个转子的目标推力要求来表示无人机质量和载荷的综合效应。
表8. 设计参数和约束
参数 范围 单位 备注
转子数量, Nr [4, 6, 8] 设计变量
转子半径, R [0.35, 0.40, 0.45] 米 设计变量
臂长, LA [0.5, 0.8, 1.0] 米 设计变量
螺旋桨参数 见表9 设计变量
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图16. 6个转子的无人机组件
表9. 螺旋桨参数
r/R0 0.02 0.06 0.10 0.14 0.18 0.22 0.26 0.30 0.34 0.38 0.42 0.46 实度, σr 0.07 96 0.07 88 0.07 80 0.07 72 0.07 64 0.07 48 0.07 40 0.07 32 0.07 24 0.07 16 0.07 08 扭转角, αr 17.84 17.52 17.21 16.88 16.56 16.24 15.92 15.61 15.28 14.96 14.64 14.32
r/R0 0.50 0.54 0.58 0.62 0.66 0.70 0.74 0.78 0.82 0.86 0.90 0.94 实度, σr 0.07 0.06 92 0.06 84 0.06 68 0.06 60 0.06 52 0.06 44 0.06 36 0.06 28 0.06 20 0.06 12 0.06 04 扭转角, αr 14 13.68 13.36 13.04 12.72 12.41 12.08 11.76 11.44 11.12 10.81 10.48 10.16 设计变量
表10. 多旋翼无人机性能评估中考虑的不确定性参数
参数 范围 单位 备注
空气密度, ρ ρ∼正态(μ=0.55,σ=0.05) kg/m³ 从珠穆朗玛峰高度的气压数据估算[29]
目标推力, Ttarget Ttarget∼正态(μ=Tmax+Tmin²,σ=3Nr) N 见(15), (16)
为了考虑不确定性的综合效应，Tmax和Tmin代表基于载荷、转子半径和转子数量估计的每个转子的最大和最小推力载荷。最大和最小载荷分别为10公斤和20公斤。无人机质量估计为mdrone=(R+LA)·Nr×2.5公斤，对应于4个、6个和8个转子的配置。
(15) Tmax=(mmax+mdrone)×9.81Nr
(16) Tmin=(mmin+mdrone)×9.81Nr
使用叶片元素动量理论（BEMT）评估了转子的空气动力性能，该理论将叶片元素空气动力学与轴向动量理论结合起来，以预测功耗和所需的旋转速度。尽管BEMT在计算上比CFD和实验结果轻量级，但先前的研究表明，它仍然足够准确，可用于多旋翼无人机的性能预测[30]。圆盘面积计算为A=πR²，诱导速度估计为vi=Ttarget/2ρA。使用PaLiTra算法结合基于替代的MCS框架对高空多旋翼无人机进行了UQ过程。PaLiTra通过基于路径线距离自适应选择新数据点来迭代改进替代模型，从而提高采样效率。替代模型使用RBF方法构建，在测试的核中，CU核在此应用中表现出最高的预测性能。进行了105次样本的MCS，以通过替代模型传播不确定性，产生包括每个转子所需功率和转子速度在内的统计估计。
结果总结在表11中，并通过图17中的PDF图示。结果表明，转子半径和转子数量强烈影响在不确定性下的功率需求和旋转速度。
表11. 不确定性下不同转子半径和转子数量的功率和旋转速度要求
转子半径 每个转子所需功率 每个转子所需旋转速度
Nr=4 94.44±5 55.32 95.64±4 59.64±4 53.89 53
Nr=6 95.83±24 88.91 50.95±23 98.91 50.32±23 92.24
Nr=8 99.39±50.23 86.74±42 83.94±38 93.89 53
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图17. 不确定性下多旋翼配置的功率和速度要求的PDF
UQ的结果表明，增加转子半径和转子数量可以提高系统的鲁棒性。随着这些参数的增加，所需功率和转子速度的标准差减小，表明对输入不确定性的敏感性降低，系统行为更加稳定。换句话说，无人机受空气密度或载荷变化的影响较小，同时保持性能稳定并消耗更少的能量。这些发现为选择在不确定操作条件下可靠运行的转子配置提供了实际见解。通过分析转子大小和数量如何影响不确定性的传播，设计师可以确定平衡鲁棒性和效率的配置。较大的转子或更多的转子数量可以帮助在参数不确定的情况下保持稳定的推力和功率输出，确保在现实世界任务中更安全、更节能的无人机性能。然而，较大的转子半径或更多的转子数量也会导致无人机体积、重量和整体成本的增加。
模型验证是通过生成新的采样数据并将替代模型预测与每个配置案例的实际BEMT结果进行比较来进行的。使用预测值与实际值的图表进行比较，以评估模型再现模拟输出的情况，如图18所示。结果表明，预测值与实际数据非常吻合，大多数点沿完美预测线（黑色虚线）对齐。这证实了基于PaLiTra的替代模型可以准确估计所需的功率和转子速度。
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图18. 使用基于PaLiTra的替代模型对所需功率和转子速度进行模型验证的预测值与实际值
结果证实，所提出的PaLiTra算法可以有效地应用于UQ过程。通过基于路径线距离自适应细化采样点，PaLiTra成功捕捉了在空气密度和目标推力不确定性下的转子推力、所需功率和旋转速度的概率行为，同时保持了高计算效率。
5. 结论
本研究开发并实现了基于路径线变换的自适应附加采样（PaLiTra）算法，用于基于替代的不确定性量化（UQ）。该方法通过在径向基函数（RBF）替代框架内评估路径线距离来自适应地细化训练数据。与需要生成新随机样本进行数据增强并丢弃先前结果的拉丁超立方采样（LHS）方法不同，PaLiTra通过重用现有数据逐步改进替代模型。这种自适应过程提高了计算效率，并在迭代过程中保持了模型的连续性。
该算法首先在二维非线性多模态基准函数上进行了验证，在那里它显示了统计矩的稳定收敛性和不确定性度量的准确预测。然后将其应用于多维工程问题，包括短柱和钻孔模型，使用较少的训练样本与参考蒙特卡洛结果取得了接近的一致性。这些结果证实，自适应采样机制在更高维空间和多样化的物理参数中保持了模型的保真度。
最后，PaLiTra被应用于使用叶片元素动量理论（BEMT）量化高空多旋翼无人机的输出不确定性。结果表明，空气密度和目标推力的变化显著影响转子功率和速度，特别是在低密度条件下。增加转子半径或转子数量减少了这些输出的平均值周围的方差，表明稳定性和鲁棒性得到改善。总体而言，PaLiTra为应用工程系统中的不确定性量化建立了一个可靠且数据高效的框架。除了展示高准确性和计算效率外，它还为未来关于自适应替代建模、不确定性驱动的可靠性和鲁棒性分析以及先进的鲁棒性或基于可靠性的设计优化研究提供了坚实的基础。
为了进一步评估所提出的PaLiTra算法的性能和技术定位，对其与几个已建立和最近的自适应采样框架进行了比较分析。表12中的比较突出了PaLiTra在替代建模采样策略方面的独特战略优势。提出的PaLiTra与现有采样策略的比较
| 方法 | 采样策略 | 自适应性 | 优势 | 缺点 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 拉丁超立方采样（LHS） | 分层空间填充设计，每个输入维度被划分为相等的区间 | 计算成本低且易于实现 | 非自适应的，在低敏感性区域可能会浪费样本，同时错过重要的非线性或高响应变化区域 |
| 最优拉丁超立方采样（OLHS）[15] | 通过最大化样本间距离进行空间填充优化 | 比标准LHS具有更好的空间填充效果，可以减少所需的模拟次数 | 仍然主要关注输入空间的覆盖范围而非响应行为，其优化过程计算要求较高 |
| 基于池的最大最小距离设计（Pool-based MD）[31] | 从离散池中选择候选点以最大化设计空间中的最小距离 | 提供空间填充和计算效率高的设计，同时在非盒形空间中具有鲁棒性，并且与顺序富集兼容 | 不是基于误差或不确定性驱动的，因此可能会忽略局部重要的高误差区域 |
| 用于顺序DoE富集的主动学习[31] | 通过最大化学习函数迭代添加样本以改进基于替代模型的全分布估计 | 顺序选择信息丰富的样本以提高替代模型的准确性，特别是对于基于GP的模型 | 其效果取决于替代模型和问题特性，并不总是优于均匀设计 |
| SAS（可扩展自适应采样）[32] | 基于LHS的测试采样，采用确定性全因子候选选择和k-NNS引导的细化 | 使用较少样本获得高精度，在高维问题中高效，并且能有效检测非线性区域 | 仍受维度影响，需要参数调整，并非普遍最优 |
| 基于集成学习的采样方法（ELSA）[5] | 结合集成神经网络预测方差和样本密度标准 | 平衡探索和利用；对非线性区域有效 | 性能依赖于模型，并不能保证在所有情况下都优于其他方法，需要参数调整和更高的计算成本 |
| 拓扑评分[14] | 使用Morse-Smale拓扑基于持久性对候选点进行排名 | 保留全局结构特征并提供有竞争力的预测准确性 | 依赖于模型，并不总是优于空间填充设计 |
*PaLiTra（路径线变换）：通过最大化输入和响应空间中的路径线距离标准迭代添加样本 | 自适应地将样本集中在非线性或敏感区域，提高精度和收敛性，同时在不确定性量化问题中减少高保真度评估的次数 | 需要迭代替代模型预测，使得该方法可能依赖于替代模型 |
6. 局限性
尽管PaLiTra的性能很有前景，但仍需承认几个局限性。首先，该框架依赖于迭代替代模型预测和核函数或参数选择，这意味着其有效性部分取决于所选替代模型的准确性和鲁棒性，特别是本研究中使用的RBF公式。其次，自适应采样阶段由基于ESEA的路径线优化驱动，随着问题维度的增加，计算需求可能会增加。因此，集成更高效的优化器（如基于梯度的或混合策略）可以降低算法复杂性并提高计算速度。第三，尽管该方法已在基准函数、多维工程模型和无人机案例研究中得到验证，但其对其他替代模型家族、非常高维问题和更严格约束的设计空间的泛化能力仍需进一步研究。此外，无人机的应用基于简化的BEMT模型和主要涉及空气密度和目标推力的简化不确定性空间，因此当前结果可能无法完全捕捉其他实际飞行条件下遇到的更广泛的空气动力学、结构和操作不确定性。
**作者贡献声明**
Anusorn Boksawat：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件开发、方法论、调查、形式分析、数据管理。
Karunamit Saensuriwong：撰写——原始草稿、可视化、验证、监督、项目管理、形式分析、数据管理。
Tharathep Phiboon：撰写——原始草稿、可视化、验证。
Auraluck Pichitkul：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、监督。
Sujin Bureerat：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、监督。
Rattanaporn Kasemsri：撰写——审阅与编辑、监督。
Atthaphon Ariyarit：撰写——审阅与编辑、可视化、验证、软件开发、资源管理、方法论、资金获取、形式分析、数据管理、概念化。
