摘要：半导体中的热流通常通过晶格振动的扩散传输来实现。与粘性热流相关的非扩散性流体动力学效应以及热弹性效应（其中热量改变了晶格中的原子间距）可能会影响热传导。然而，流体动力学效应与热弹性效应对热传输的相互作用至今尚未被充分研究。此外，由于纳米尺度上的不均匀应变场引起的非常规热弹性效应也尚未在实验中观察到。在这里，我们展示了流体动力学效应与热弹性效应的结合会导致一种高度非扩散性的热-热弹性热传输机制，从而可控制地降低二维半导体的有效热扩散率。我们使用具有纳米级空间精度的时空调制-探测热测量技术在MoSe2和MoS2中观察到了这一现象。我们的实验在室温下进行，并通过改变材料厚度以及选择连续加热或脉冲加热来控制热传输。基于原子级输入参数的热-热弹性热传输模型再现了实验观察结果，并确定了从冷区到热区的逆向热弹性热流贡献的存在。
主要观点：晶格中的热量主要通过声子的扩散和非扩散机制传递。扩散热传输是最常见的，宏观上由傅里叶定律描述；而微观上则受动量非守恒的声子-声子散射事件控制。非扩散热传输可能涉及弹道声子运动，这一现象最早由卡西米尔描述。在弹道传输模式下，当系统尺寸小于声子的平均自由路径时，声子散射发生在系统边界。第二种非扩散热传输模式涉及流体动力学声子传输，通常是由于热流相对于实验或系统的长度尺度和时间尺度缓慢松弛造成的。这对应于粘性传输，并在室温以下温度下得到增强。观察到的流体动力学热传输特征包括：在氦、铋、氟化钠、钛酸锶、石墨和锗中观察到的波动状热传播（称为第二声）；在黑磷中观察到的所谓克努森最小值；以及在准一维单晶、钛酸锶和石墨中观察到的泊肃叶流。此外，通过结合介观传输模型的器件热映射，在合金和硅中也发现了流体动力学热传输现象。理论预测表明，二维过渡金属硫属化合物（TMD）材料MoS2在室温下也可能存在声子流体动力学行为。然而，迄今为止尚未在任何温度下观察到TMD中的流体动力学传输特征。此外，在非扩散热传输的研究中忽略了热弹性效应，特别是由纳米尺度上的不均匀应变场引起的非常规热弹性效应。在这里，我们使用时空调制-探测热测量技术在悬浮的大面积MoSe2和MoS2晶体中直接在实空间中可视化热传输，其空间分辨率超出了衍射极限。我们用一个无需拟合参数的介观模型来解释实验结果，该模型使用从头算得到的热性质输入参数。这种结合实验-理论的方法揭示了从相对较厚的晶体中的传统傅里叶扩散模式到最薄晶体中的强非扩散模式的厚度控制转变。我们将这种转变归因于与流体动力学行为相关的非局部声子相互作用与热弹性效应之间的相互作用。在这种非扩散的“热-热弹性”热传输模式下，脉冲加热会导致不均匀的应变场，从而产生从冷区到热区的非常规热弹性热流贡献，使有效热扩散率或导热率降低一个数量级：对于MoSe2，从39 W m−1 K−1降低到3.5 W m−1 K−1。重要的是，我们的结果引入了一种内在的、无需制造过程即可控制二维半导体中热传输的方法。因此，除了最近展示的通过以不同扭曲角度堆叠多层材料（例如）或将其图案化为声子晶体来阻碍热传输的外在方法外，我们的结果引入了对热流的内在和主动控制。
扩散和流体动力学热传输：我们制备了厚度从约20层（20L）到单层（1L）极限的MoSe2和MoS2晶体（见图1a和扩展数据图1）。这些晶体悬挂在一个直径为15 μm的圆形孔上，以避免基底对热传输的影响。我们使用时空调制-探测热测量技术对这些样品中的热流进行实空间追踪，其中泵浦脉冲加热悬浮晶体的中心，而探测脉冲则空间映射热量扩散的范围。具体来说，我们记录了泵浦引起的反射率变化ΔR/R作为泵浦-探测距离r的函数，泵浦-探测延迟时间约为13 ns（见图1b）。由于我们调制泵浦光束的速度快于系统恢复到热平衡的速度，因此获得了同相和反相的空间剖面。由于反射率依赖于温度，这些空间剖面直接提供了热扩散率的信息。有关实验技术和提取热扩散率的详细信息，请参见“实验细节”、“现象学扩散傅里叶模型”和“描述同相和反相信号”部分，扩展数据图3-6和参考文献21。
图1：MoSe2晶体中的时空调制热传输。
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a. 悬浮MoSe2样品的光学图像，厚度以层数L表示。
b. 时空调制热测量实验的概念，其中一系列超快泵浦脉冲（绿色）在悬浮薄膜的中心产生一个局部热点。通过空间扫描一系列超快探测脉冲（紫色），探测脉冲以约13 ns的泵浦-探测延迟时间到达，我们直接追踪了平面内的热流如何在空间和时间上分布。
c, d. 同相（实心圆）和反相（空心圆）瞬态反射率剖面ΔR/R(r)，归一化到同相信号拟合的峰值，分别在约15层厚（c）和1层厚（d）的MoSe2薄片上测量。虚线和实线蓝色代表根据傅里叶定律的纯扩散热传输模拟，其中“有效扩散率”是一个可调参数（见“现象学扩散傅里叶模型”部分）。
来源数据：
图1c显示了一个约15层厚MoSe2样品的测量示例，以及基于纯扩散热传输的模拟。该模拟使用傅里叶定律描述了温度剖面的时空调制演变，并包括了锁相操作。通过同时描述同相和反相的实验剖面，我们得到了15L MoSe2样品的扩散率D为0.15 ± 0.01 cm2 s−1。这个扩散率对应于约28 W m−1 K−1的热导率，与实验24,25和从头算理论26对该材料平面内热传输的研究结果非常吻合。我们对所有不同厚度的样品进行了时空调制-探测热测量和纯扩散热传输的模拟，发现厚度大于三层的晶体的空间剖面在质量上相似（扩展数据图7）。
令人惊讶的是，对于单层MoSe2，我们发现空间剖面看起来截然不同：比同相信号窄得多，反相信号也更强（见图1d）。这表明扩散率显著降低。实际上，对于最薄的MoSe2样品，我们从泵浦-探测测量中得到的热扩散率比较厚的MoSe2样品低一个数量级（见图2a）。它们也远低于拉曼热测量得到的扩散率24，以及从头算计算的纯扩散热传输的扩散率（见图2b和表1）。拉曼和时空调制技术具有相似的点尺寸，但得到的扩散率却大不相同，这表明存在超出传统尺寸效应的机制。我们将证明这是非扩散热传输的结果。因此，提取的扩散率是有效扩散率，并不一定与扩散热传输相关。检查最薄MoSe2晶体的空间剖面，我们观察到与较厚的MoSe2薄片相比，空间剖面明显更窄（见图3a-c）。对于MoS2，我们也观察到了相同的趋势（见图3d-f）。此外，对于单层和双层MoSe2，瞬态反射率信号的同相分量在距离光激发热点约2 μm处改变符号，而反相信号相对较大。这些效应是由于薄晶体中的超低有效扩散率造成的（见“描述同相和反相信号”部分和扩展数据图4）。
图2：不同厚度MoSe2晶体中的热传输。
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a. 使用时空调制-探测热测量得到的MoSe2的有效热扩散率（蓝色实心圆），以及计算的流体动力学传输值（粉色星号和虚线）和包括流体动力学和热弹性效应的传输值（蓝色星号和虚线）。插图表明加热是通过调制光激发进行的。垂直误差条表示从实验空间剖面对现象学扩散傅里叶模型进行最小二乘拟合得到的有效热扩散率D的不确定性（68%置信区间）。水平误差条表示薄片厚度的不确定性。对于这种类型的加热，实验结果与流体动力学热传输的计算结果一致。
b. 使用拉曼热测量得到的MoSe2的有效热扩散率（空心圆；参考文献24），以及计算的纯扩散传输值（橙色星号和虚线）和流体动力学传输值（粉色星号和虚线）。插图表明加热是通过连续波光激发进行的。垂直误差条表示参考文献24中报告的68%置信区间，水平误差条表示同一参考文献中报告的薄片厚度不确定性。
图3：由流体热弹性传输模型解释的强烈受阻热传输的实验观察。
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a-f. 在单层（a）、双层（b）和20层厚（c）MoSe2晶体以及单层（d）、双层（e）和20层厚（f）MoS2晶体上测量的同相（实心圆）和反相（空心圆）瞬态反射率剖面。超薄晶体中出现的更窄的剖面和在2 μm处符号的变化表明热传输转变为具有显著降低（有效）扩散率的热传输。实线和虚线分别代表根据我们的介观热弹性传输模型计算的同相和反相信号的空间剖面（详见正文）。这些剖面归一化到同相信号拟合的峰值，反相剖面乘以-1。这些剖面与探测光斑大小进行了卷积，以便与实验直接比较。
表1：MoSe2的流体热弹性模型参数
由于这些非常低的有效热扩散率表明存在粘性热流，我们检验了Guyer-Krumhansl流体动力学热方程27,28是否可以再现实验结果：
$$
{\bf{q}}+\tau \frac{\partial {\bf{q}}}{\partial t}+\kappa \nabla T={\ell }^{2}{\nabla }^{2}{\bf{q}},
$$
其中q是热流矢量，τ是热流松弛时间，κ是体相热导率，ℓ是非局部长度。这个方程是傅里叶定律的推广，包括左侧的第二项描述的记忆效应和右侧的非局部（粘性）效应。我们使用有限元方法结合能量平衡方程（包括热源）和系统的等温边界条件来求解这个方程（见“介观模型的DFT输入”部分和补充说明1）。我们首先在不考虑非局部和记忆效应的情况下求解方程（见图4a）。结果反映了传统的扩散行为，同相和反相的剖面与厚样品的测量空间剖面在定量上一致（图3c,f），其中我们使用了从第一性原理计算得到的热导率κ（表1和2）。图4：热传输的扩散和非扩散贡献。这张图片的替代文本可能是使用AI生成的。全尺寸图片a–c：在泵浦开启窗口结束时，根据传输方程计算得到的扩散（a）、流体动力学（b）和流体热弹性（c）状态下的温度剖面，以及用于比较的扩散剖面，箭头的大小反映了根据扩散（棕色箭头）、流体动力学（蓝色箭头）和热弹性（紫色箭头）项的热流贡献的强度和方向。d：计算位移矢量的空间依赖性散度（已归一化），它代表了泵浦开启窗口期间由于应变导致的密度变化。中心区域被放大，而边缘被压缩。来源：表2 MoS2的流体热弹性模型属性。全尺寸表格。重要的是，纯扩散传输会导致向较薄晶体扩散性的增加，这与拉曼测温和时空泵浦-探针测温的实验观察结果不符（图2a,b）。当我们包括非局部和记忆效应时，使用来自第一性原理输入的τ，并将ℓ限制在初始热点的大小，剖面变得更窄，这反映了流体动力学热传输的粘性行为。我们从这些剖面中提取的有效扩散性与使用拉曼测温得到的实验值一致（图2b）。这提供了一个关键的见解，即流体动力学效应在这些TMDs的室温热传输中起着不可忽视的作用。具体来说，单层MoSe2的实验得到的扩散性比扩散传输预测的低约40%。我们的介观模型考虑了流体动力学效应，预测了有效扩散性的类似减少。为了进一步确认流体动力学热传输的效应，我们使用了一种独立的理论方法，其中我们使用第一性原理输入解决了单层MoSe2在300 K下的线性化玻尔兹曼传输方程（LBTE），包括非扩散效应，并考虑了与实验泵浦点大小相对应的热激发（见“LBTE计算的DFT细节”部分）。这些计算得出的有效扩散性比扩散传输预期的值低10%–30%（扩展数据图8），证实了这些材料在室温下存在显著的流体动力学效应。因此，我们发现了实验证据，证实了之前关于MoS2在室温下流体动力学热传输的理论预测。结合流体动力学和热弹性效应对热传输的影响。在确定了流体动力学效应对超薄MoSe2和MoS2热传输的重要作用后，我们现在专注于理解在最薄晶体在脉冲加热下观察到的有效扩散性的显著减少。我们发现，仅靠流体动力学效应不足以解释使用时空泵浦-探针测温的实验观察结果（扩展数据图9a）。为了解决这个问题，我们意识到光诱导加热会在初始热点内部导致热膨胀，而在更远的地方导致压缩。此外，我们发现最薄的晶体显示出比较厚晶体更大的膨胀系数。有趣的是，考虑扩散热传输与传统热弹性效应相结合，特别是考虑到热膨胀和热机械能量交换，得到的空间剖面比纯扩散剖面稍微窄一些（扩展数据图9b）。因此，仅靠传统热弹性效应无法解释实验观察结果。因此，我们考虑了由纳米尺度上的非均匀应变场引起的流体动力学和热弹性效应的组合，特别是非均匀声子色散关系的出现和局部声子分布的修改。如补充说明1中所讨论的，这两种热弹性效应在连续加热下会相互抵消，就像在拉曼测温实验中一样。相比之下，在脉冲加热的情况下，如时空泵浦-探针测温实验中，局部声子种群不一定符合局部应变，而在超短时间尺度上，即使在没有声子相互作用的情况下，也预期会发生声子折射。这导致了脉冲加热下的以下流体热弹性方程：$${\bf{q}}+\tau \frac{\partial {\bf{q}}}{\partial t}+\kappa \nabla T={\ell }^{2}{\nabla }^{2}{\bf{q}}+\frac{2\kappa {p}_{{\rm{t}}}}{b{C}_{{\rm{v}}}}\nabla \nabla \cdot {\bf{u}},$$ （2）其中u是弹性位移矢量，pt是声子压力，由\({p}_{{\rm{t}}}=\frac{{T}_{0}\alpha E}{1-\nu }\)给出（T0 = 300 K，α是热膨胀系数，E是杨氏模量，ν是泊松比），b是平均声子群速度与相速度的比值。这个方程结合能量守恒和牛顿第二定律以及线性热膨胀项（补充说明1），是一个能够预测纳米尺度上热传输和热弹性效应的完整介观模型。简而言之，热弹性热流项是从时间演变的非均匀应变场中的声子动量平衡中得到的。应变剖面的纳米尺度不均匀性，源于热膨胀，导致声子色散关系的局部变化，从而产生了方程（2）中包含的热弹性热流贡献（补充说明1）。关键的是，我们发现只有流体动力学和非传统热弹性项的组合才能产生实验中观察到的狭窄同相空间剖面和符号变化（扩展数据图9c）。我们使用第一性原理结果对超薄MoSe2和MoS2样品的κ、Cv、τ和b进行理论预测，并使用文献中的弹性属性值（表1和2）以及将非局部长度ℓ限制在初始热点的大小，来验证理论预测与实验数据的吻合度。这个没有拟合参数的介观流体热弹性模型预测的空间剖面与实验观察结果非常吻合，再现了中心区域的狭窄、同相和反相信号的幅度以及中心区域外同相分量的符号变化（图3）。当厚度减小到单层极限时，ΔR/R为负的区域变得更加明显。这是由于热弹性属性，特别是热膨胀系数（α）随厚度的强烈变化（表1和2）。对于较厚的晶体，热弹性效应较弱，从而导致更宽的空间剖面，同相信号没有任何符号变化。比较扩散、流体动力学和流体热弹性状态为了更好地理解扩散和非扩散对热传输的贡献，我们分析了泵浦开启窗口结束时的温度剖面，对于三种不同的热传输状态：扩散、流体动力学和流体热弹性状态。在纯扩散情况下（图4a），温度剖面很宽，这与经典热传导的预期一致，其中热梯度从中心均匀地向外驱动热流。接下来，当我们在模型中包括流体动力学效应时（图4b），温度剖面明显变窄。这是因为流体动力学贡献通过类似粘性的声子行为限制了热流，有效地阻碍了热传播。最后，当我们将流体动力学和非传统热弹性效应都纳入传输方程时，热点区域变得更加局部化（图4c）。在流体热弹性状态下热传播非常有限的微观原因是，激发区域内的热膨胀在样品中引起了强烈的不均匀应变和密度剖面（图4d）。由应变场驱动的热流贡献从压缩（冷）区域指向膨胀（热）区域，从而指向晶体的加热中心区域。从微观上看，这种热流是由于压缩和膨胀区域中建立的不同色散关系而产生的，这导致了每个声子模式所适应的动量的修改（补充说明1）。结合流体动力学效应，这产生了与超薄片材的实验观察结果非常吻合的非常狭窄的温度剖面。总之，我们确定了由于流体动力学和热弹性效应在室温下的相互作用，导致超薄MoSe2和MoS2晶体中的热传播受到强烈阻碍。热弹性效应与最薄晶体的大膨胀系数有关，而流体动力学效应是由大的非局部长度ℓ引起的（补充图1）。后者可能与这些材料中最薄晶体的特别长的平均自由路径有关。此外，我们的结果提供了两个理论上预测但迄今为止尚未在实验中观察到的效应的实验证据，即（1）来自纳米尺度上非均匀应变场的非传统热弹性热流贡献（2）以及室温下TMDs的流体动力学热传输。除了可以通过厚度和加热类型进行控制外，我们还预测热弹性效应可以通过加热区域的大小来控制：如果这个区域变得大于内在的非局部长度，例如，流体动力学和热弹性效应将不起作用。我们在室温下发现了一种新的非扩散热传输状态，为基本热传输现象提供了重要的见解，并具有重要的实际意义。未来的研究可以探索相关的（二维）材料，以及改变实验参数，如温度和几何形状，以进一步操纵热流。我们预期在其他具有足够大的热膨胀和足够长的非局部热传输长度的低维材料中也会出现类似的热弹性效应。需要理论工作来发展一个纯粹的微观图景，以了解声子和弹性场之间的相互作用对热传输的影响，这也可以使用晶格玻尔兹曼方法来探索。我们发现热弹性对脉冲激发的强烈效应为主动控制热流提供了可能性。观察到在流体热弹性状态下，热量从加热区域出来的速度比在纯扩散传输情况下慢得多，这对于热电应用可能很有趣。我们的研究可能导致定制的热管理解决方案，为创新的热扩散和热路由策略开辟了途径。这样的进步有可能最小化热损失并提高电子、光电子和光子设备、热电系统等的效率。方法实验细节从块状晶体上机械剥离出不同厚度的MoSe2和MoS2薄片，然后使用干转移技术将其转移到涂有钛（5 nm）/金（50 nm）的氮化硅基底上，基底上带有直径为15 μm的圆形孔（Norcada, NTPR005D-C15），从而形成悬浮的薄片。这些薄片是单晶的，表面干净且应变低。对于测量，我们使用了悬挂在15-μm孔上的样品，对于10-μm孔也获得了类似的结果（补充图2）。时空泵浦-探针测温装置（扩展数据图2和参考文献21）使用LIGHT CONVERSION公司的FLINT激光器，工作频率为76 MHz，产生中心位于1,030 nm的脉冲，时间分辨率小于200飞秒。大部分激光功率驱动一个光学参量振荡器，产生从1,320到2,000 nm的可变信号输出。我们使用该信号输出的第二或第三谐波作为探针，将其调谐到激子共振频率——MoSe2为800 nm，MoS2为615 nm。利用扫描镜系统（Optics in Motion OIM101），我们控制探针的方向，而泵浦光束（515 nm，基本激光源的第二谐波）通过Newport DL255延迟线和电光调制器，控制泵浦调制频率fmod（240 kHz）。两束光通过二向色镜结合，然后通过数值孔径为0.65的显微镜物镜聚焦到亚微米级光斑。泵浦和探针光斑的大小分别为σpu ≈ 0.27 μm和σpr ≈ 0.35 μm。我们使用硅光电二极管检测反射的探针光束。时空泵浦-探针测温测量在参考文献21中有详细描述，它依赖于这样一个事实：在纳秒内，初始泵浦诱导的电子激发能量转移到晶格中，声子将能量作为晶格热传递到悬浮晶体边缘的金属散热器，这一过程发生在微秒时间尺度上（扩展数据图3）。在纯扩散热传输的情况下，遵循傅里叶定律，这将导致一个空间温度分布，该分布仅依赖于热扩散率、系统的精确已知几何形状以及与脉冲光激发相关的两个频率：激光重复率 frep 和泵浦调制频率 fmod。因此，测量空间温度分布可以直接获取热扩散率。我们在一个略微负的泵浦-探测延迟下记录空间温度分布，该延迟时间约为 1/frep ≈ 13 ns，在此期间，瞬态反射率是由泵浦引起的晶格温度变化产生的，而不受光激发电子种类的影响。瞬态反射率通过对温度敏感的激子线宽38而变化。我们以 fmod = 240 kHz 的频率调制泵浦光束的强度，并使用锁相放大器（苏黎世 MFLI）进行解调，从而获得同相和反相信号。我们在真空环境（约 10^-5 mbar）和室温下进行所有测量。为了确保能够准确地将瞬态反射率信号与晶格温度相关联，我们需要在线性范围内操作，即泵浦流量的增加会导致温度成比例增加，从而瞬态反射率也成比例增加。为了确认我们的实验处于线性范围内，我们首先通过改变泵浦流量来进行时间动态测量。此外，我们还通过改变泵浦流量对悬浮区域进行空间扫描。扩展数据图 6a–d 显示了几乎八层 MoSe2 样品的结果。同相和反相信号都显示出与泵浦流量的线性增加，这从它们的归一化图中可以明显看出。这种信号的线性依赖性支持使用瞬态反射率分布来表示空间温度分布。此外，我们在悬浮的三层 MoSe2 样品上改变探测流量（并固定泵浦功率），得到了类似的观察结果（扩展数据图 6e–h）。基于这些测量结果，我们将泵浦和探测流量保持在 6–20 μJ cm^-2 的范围内，以确保系统处于瞬态反射率与泵浦功率线性相关的范围内（扩展数据图 5、6 和 10）。在这种情况下，典型的温度升高约为 10 K。鉴于最近有报告指出层状半导体由于强烈的电子相互作用可以表现出奇异的电子-空穴等离子体39相，我们对单层 MoSe2 样品进行了光致发光（PL）测量，以确认我们处于线性电子范围内。这确保了我们的观察结果不受非线性电子-空穴等离子体效应的影响。扩展数据图 10a 显示了随着激光流量增加的 PL 光谱。一致地，我们观察到光谱平均值（PL 光谱下的面积）随激光流量的线性增加（扩展数据图 10b），这表明我们远低于莫特转变极限，排除了这种奇异相的存在。特别是，我们在与时空温度测量几乎相同的配置下进行了这些 PL 测量，唯一的区别是通过光纤电缆将 PL 发射收集到光谱仪（扩展数据图 10c）。为了从我们实验中观察到的瞬态反射率演变中获得有效的扩散率，我们使用傅里叶扩散热定律来模拟热量从局部泵浦诱导的热点向散热器的传播：$$\frac{\partial T}{\partial t}=D{\nabla }^{2}T+\frac{Q}{{C}_{{\rm{v}}},$$ （3）其中 T 是晶格温度，t 是时间，D 是扩散率，Q 是泵浦激光注入的功率，Cv 是热容量。最初，我们从一个高斯温度分布开始，该分布代表单个泵浦脉冲引起的局部加热。随着时间的推移，这个温度分布向外扩散并衰减，因为热量流向散热器。由于连续激光脉冲之间的时间间隔相对较短（13 ns，对应于 76-MHz 的重复率 frep），在下一个泵浦脉冲到达之前，温度分布不会完全恢复到平衡状态。在 t = 13 ns（或 \(t=\frac{1}{{f}_{{\rm{rep}}}\)）时，我们将一个高斯能量脉冲注入到现有的、部分衰减的温度分布中。这个循环一直重复，直到泵浦开启窗口结束。在泵浦开启窗口期间贡献于累积热量的高斯脉冲数量（N）由激光重复率和泵浦调制频率（fmod）决定，即 \(N=\frac{{f}_{{\rm{rep}}}}{2{f}_{{\rm{mod}}}\)，对于 50% 的占空比（在我们的案例中约为 160 个脉冲）。当泵浦在泵浦关闭窗口期间被阻断时，累积的热量完全耗散。然后随着下一个泵浦开启窗口的开始，加热循环重新开始。我们在具有径向对称性的二维空间中进行模拟，并使用前向时间中心空间有限差分方法计算随时间变化的温度升高 ΔT(x, y)。我们将边界条件设置在 r = 7.5 μm（悬浮区域的边缘）处，作为一个完美的散热器，ΔT = 0 K，以代表镀金的基底。为了从模型预测中获得同相和反相的卷积瞬态反射率分布，我们执行“描述同相和反相信号”部分中描述的锁相操作。介观模型的 DFT 输入使用密度泛函理论进行，如 SIESTA 程序40,41 中实现的那样，详细内容参见参考文献 26。简而言之，使用共轭梯度方法优化单元格和原子位置，确保原子上的最大力保持在 10^-5 eV Å^-1 以下。对于低维结构，使用 17 Å 的真空厚度以避免沿堆叠方向的周期性相互作用。与参考文献 24 不同，我们没有考虑这个额外的体积来归一化热导率。所有计算都使用 Perdew–Burke–Ernzerhof 广义梯度近似42,43 和范德华泛函，如参考文献 44 中重新参数化的那样。对于单层、双层和三层结构，使用 20 × 20 × 1 的 k-网格；对于其他系统，使用 20 × 20 × 20 的 k-网格，并使用来自 PseudoDojo 库46 的保范数伪势。为了计算原子间力常数（IFCs），我们为体块系统生成大小为 10 × 10 × 10 的超胞，为其他结构生成 10 × 10 × 1 的超胞。原子位移使用玻色-爱因斯坦分布进行热初始化，在 300 K 下模拟声子，使用 TDEP 程序47。使用这些热填充的超胞，我们计算二阶和三阶 IFCs，三阶 IFCs 的实空间力截止值为 5 Å，二阶 IFCs 的力截止值为 8 Å。随后在 128 × 128 × 1 的 q-点网格上对单层、64 × 64 × 1 的双层和 24 × 24 × 24 的三层结构进行热性质计算。MoSe2 和 MoS2 的热性质分别列在表 1 和表 2 中，并作为我们介观模型的输入参数。具体来说，我们直接获得热容量 Cv，并使用玻尔兹曼传输方程的完整解来获得热导率 κ。此外，模式分辨的寿命 τλ、群速度 vλ 和相速度 cλ 作为输入参数，用于获得我们在后面描述的热流弛豫时间 τ 和用于流体动力学传输方程的非局部长度 ℓ28。为了从我们实验中观察到的瞬态反射率演变中获得有效的扩散率，我们使用傅里叶扩散热定律来模拟热量从局部泵浦诱导的热点到散热器的传播：$$\frac{\partial T}{\partial t}=D{\nabla }^{2}T+\frac{Q}{{C}_{{\rm{v}}}},$$ （3）其中 T 是晶格温度，t 是时间，D 是扩散率，Q 是泵浦激光注入的功率，Cv 是热容量。最初，我们从一个高斯温度分布开始，该分布代表单个泵浦脉冲引起的局部加热。随着时间的推移，这个温度分布向外扩散并衰减，因为热量流向散热器。由于连续激光脉冲之间的时间间隔相对较短（13 ns，对应于 76-MHz 的重复率 frep），温度分布在下一个泵浦脉冲到达之前不会完全恢复到平衡状态。在 t = 13 ns（或 \(t=\frac{1}{{f}_{{\rm{rep}}}\)）时，我们将一个高斯能量脉冲注入到现有的、部分衰减的温度分布中。这个循环一直重复，直到泵浦开启窗口结束。在泵浦开启窗口期间贡献于累积热量的高斯脉冲数量（N）由激光重复率和泵浦调制频率（fmod）决定，即 \(N=\frac{{f}_{{\rm{rep}}}}{2{f}_{{\rm{mod}}}\)，对于 50% 的占空比（在我们的案例中约为 160 个脉冲）。当泵浦在泵浦关闭窗口期间被阻断时，累积的热量完全耗散。然后随着下一个泵浦开启窗口的开始，加热循环重新开始。我们在二维空间中进行模拟，并使用前向时间中心空间有限差分方法计算随时间变化的温度升高 ΔT(x, y)。我们将边界条件设置在 r = 7.5 μm（悬浮区域的边缘）处，作为一个完美的散热器，ΔT = 0 K，以代表镀金的基底。为了从模型预测中获得同相和反相的卷积瞬态反射率分布，我们执行“描述同相和反相信号”部分中描述的锁相操作。介观模型的 DFT 输入使用密度泛函理论进行，如 SIESTA 程序40,41 中实现的那样，详细内容参见参考文献 26。简要来说，使用共轭梯度方法优化单元格和原子位置，确保原子上的最大力保持在 10^-5 eV Å^-1 以下。对于低维结构，使用 17 Å 的真空厚度以避免沿堆叠方向的周期性相互作用。与参考文献 24 不同，我们没有考虑这个额外的体积来归一化热导率。所有计算都使用 Perdew–Burke–Ernzerhof 广义梯度近似42,43 和范德华泛函，如参考文献 44 中重新参数化的那样。对于单层、双层和三层结构，使用 20 × 20 × 1 的 k-网格；对于其他系统，使用 20 × 20 × 20 × 20 的 k-网格，并使用来自 PseudoDojo 库46 的保范数伪势。为了计算原子间力常数（IFCs），我们为体块系统生成大小为 10 × 10 × 10 的超胞，为其他结构生成 10 × 10 × 1 的超胞。原子位移使用玻色-爱因斯坦分布进行热初始化，在 300 K 下模拟声子，使用 TDEP 程序47。使用这些热填充的超胞，我们计算二阶和三阶 IFCs，三阶 IFCs 的实空间力截止值为 5 Å，二阶 IFCs 的力截止值为 8 Å。随后在 128 × 128 × 1 的 q-点网格上对单层、64 × 64 × 1 的双层和 24 × 24 × 24 的三层结构进行热性质计算。MoSe2 和 MoS2 的热性质分别列在表 1 和表 2 中，并作为我们介观模型的输入参数。具体来说，我们直接获得热容量 Cv，并使用玻尔兹曼传输方程的完整解来获得热导率 κ。此外，模式分辨的寿命 τλ、群速度 vλ 和相速度 cλ 作为输入参数，用于获得我们在后面描述的热流弛豫时间 τ 和用于流体动力学传输方程的非局部长度 ℓ28。流体热弹性模型通过解决流体热弹性传输方程（方程（2）以及包括热机械能量交换的能量平衡方程和包括线性热膨胀项的弹性场演化的牛顿定律来获得卷积热分布的预测（补充说明 1）。使用有限元29获得数值解。在表 1 和表 2 中，我们展示了 MoSe2 和 MoS2 的模型方程中出现的固有热弹性参数值。在没有流体动力学和热弹性效应的情况下，流体热弹性方程简化为傅里叶定律。通过将这个简化的传输方程与能量平衡方程结合起来，可以恢复“现象学扩散傅里叶模型”部分中描述的热扩散方程。我们施加径向对称性，并将变形限制在平面内方向。样品边缘的温度和位移是固定的。激发在能量平衡方程中被建模为具有特征尺寸 L = 700 nm 的高斯功率密度，假设这个尺寸大于光斑尺寸，以考虑光学激发热电子和激子在将能量沉积到晶格之前的快速扩散48。我们注意到，得到的温度分布对热源的确切尺寸不敏感。在时间域中，激发功率密度遵循频率为 240 kHz 的平方函数。因此，我们没有像之前描述的那样在泵浦开启阶段显式模拟能量脉冲。这种简化大大降低了计算成本，因为它防止了声波的传播，并且我们验证它没有显著改变模型预测的平均温度和弹性场（补充图 3）。最后，为了从模型预测中获得同相和反相的卷积热分布，我们执行“描述同相和反相信号”部分中描述的锁相操作。更多细节在补充说明 1 中提供。为了模拟光响应，特别是同相和反相信号，我们使用现象学扩散傅里叶模型和介观流体动力学及热弹性模型的模拟结果，并模拟锁相检测过程。例如，扩展数据图 4a 显示了在多个调制周期内从傅里叶模型获得的温度动态。首先，我们检查热扩散率为 0.20 cm2 s^-1、调制频率为 10 kHz 的情况。在泵浦开启期间温度上升，在此窗口结束时达到峰值，然后在泵浦关闭期间衰减，在泵浦关闭窗口内大约 2 μs 内返回零（扩展数据图 4a）。为了模拟锁相操作，我们将这个温度信号乘以正弦函数（得到同相信号）和余弦函数（得到反相信号），两者都在泵浦的调制频率下（扩展数据图 4b,c）。我们通过对这些乘积进行时间平均来获得同相和反相信号。通过对不同空间位置（从热点到散热器）的温度动态重复这个过程，我们可以重建同相和反相的空间分布（扩展数据图 4d）。余弦加权的温度动态平均后几乎为零，而正弦加权的动态保持有限，表明主要是同相响应，反相贡献可以忽略不计。接下来，我们考虑更高的调制频率 fmod = 240 kHz，并重复傅里叶模拟，D = 0.20 cm2 s^-1。扩展数据图 4e 显示了在不同空间位置得到的温度动态。在泵浦开启期间温度上升，在此窗口结束时达到最大值，然后在泵浦关闭期间衰减，在下一个泵浦开启周期开始之前几乎返回零。与 10 kHz 的情况不同，在泵浦关闭窗口期间存在有限的温度信号。这个关键差异导致在平均余弦加权的温度动态时出现有限的反相贡献（扩展数据图 4f–h）。最后，我们考虑较低的扩散率 0.02 cm2 s^-1，并在 fmod = 240 kHz 下重复傅里叶模拟。扩展数据图 4i 展示了在这种情况下不同空间位置的温度动态。首先，如扩展数据图 3 所示，与较高扩散率的情况不同，温度在泵浦关闭期间没有完全衰减。其次，在距离热源约 2 μm 处，温度在泵浦开启窗口期间缓慢上升，在泵浦关闭窗口期间同样缓慢衰减。较低的扩散率导致热量传播更慢，导致温度上升延迟，最大温度在泵浦关闭阶段出现。这种延迟的加热导致该位置的温度动态在相位上相差 π，从而导致同相信号的变化。注意，反相信号与同相信号相差 π/2。数学上，这些负的同相信号发生是因为当温度动态乘以正弦波时，正弦波的负部分与泵浦关闭期间的温度有相当大的重叠。因此，在平均后，同相空间分布的某些区域显示出符号变化（扩展数据图 4j–l）。总之，我们实验中观察到的同相信号的变化并不表示负的温差，而是锁相操作的结果。这种现象在热量流动缓慢且粘度极高的情况下尤为明显，例如在超薄层状半导体中（见正文），这些半导体的热扩散率较低。作为独立的方法，我们进行了包括非扩散效应（热弹性效应除外）的LBTE（局域玻尔兹曼传输）计算。我们遵循参考文献49中提出的策略来解决LBTE问题：$$\frac{\partial {g}_{n}}{\partial t}+{{\bf{v}}}_{n}\cdot \nabla {g}_{n}=Q{p}_{n}+\mathop{\sum }\limits_{j}{\omega }_{n}{W}_{n,j}\frac{1}{{\omega }_{j}}({c}_{j}\Delta T-{g}_{j}),$$ （4）其中gn表示每个模式的声子偏离能量密度，Q是宏观体积热生成率，pn值描述了声子模式之间的热量分布。玻尔兹曼传输方程中的碰撞项的连续积分已被离散化为矩阵Wn,j，这是一个M × M维的通用散射矩阵，用于描述声子状态n和j之间的散射率，作用于平衡态和非平衡态分布函数之间的差异。热生成率表示为Q = δ(t)χ(x)，其中δ(t)是狄拉克δ函数，对应于具有空间强度分布χ(x)的脉冲激光加热。温度T被定义为声子的平衡能量密度与非平衡能量密度相匹配的值。线性化后，温度升高ΔT表示为声子非平衡能量密度除以热容Cv的比值：$$\Delta T=\frac{1}{{C}_{{\rm{v}}}}\mathop{\sum }\limits_{n}{g}_{n}.$$ （5）为了获得LBTE和弹道预测所需的输入数据，我们使用了QUANTUM ESPRESSO软件包进行了DFT（密度泛函理论）计算。测试了几种赝势和交换-相关泛函，包括全相对论性守恒赝势、超软赝势以及采用Perdew–Burke–Ernzerhof广义梯度近似的标准固态赝势和PBEsol。本工作中使用的DFT计算参数如下：对于单层MoS2、单层MoSe2和块状MoS2，分别使用了20 × 20 × 1、20 × 20 × 1、16 × 16 × 16和16 × 16 × 16的Monkhorst–Pack k网格，动能截止分别为110、120、100 Ry，收敛标准分别为1 × 10−15、1 × 10−16、1 × 10−14、1 × 10−14 Ry。对于单层MoS2、单层MoSe2和块状MoSe2，分别使用了8 × 8 × 1、8 × 8 × 1、4 × 4 × 4和4 × 4 × 4的二阶力常数超胞，以及4 × 4 × 1、4 × 4 × 1、4 × 4 × 4和4 × 4 × 4的三阶力常数超胞（考虑了第五近邻原子）。三阶力常数的提取仅针对γ点的波函数进行。DFT和玻尔兹曼传输方程的输入输出文件可通过GitHub获取：https://github.com/jamalabouhaibeh/Calculations。弹道区域的结果在补充说明2和补充图4、5中描述。
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