摘要：利用工程化腔体中的真空场波动来控制材料的量子相位是光学操控新兴现象的一种热门方法。在这里，我们展示了在强磁场下，高迁移率二维电子系统中电子传输的腔体诱导各向异性。特别是，我们展示了在远低于零磁场电阻率的情况下，纵向电阻率的抑制。这些由腔体诱导的效应发生在极低温度下，此时磁场位于量子化的霍尔平台之间。我们将我们的结果解释为热无序量子霍尔条纹的稳定化效应。因此，我们的工作展示了腔体量子电动力学对相关电子相的控制能力。
过去十年中，由于利用强电磁场调整电子属性的快速发展，光诱导固态系统中相关电子相的前景已成为现实。一个新兴的互补方案是利用工程化腔体的真空场来控制量子材料，这是一种被动控制模式，可以在系统保持平衡的状态下实现效应。这种方法的核心概念是，空空间含有真空波动，这些波动会产生诸如卡西米尔力或兰姆位移等典型的量子电动力学效应。通过设计合适的谐振器来塑造电磁环境，从而可以利用真空场影响材料属性，这一想法已在从铁电性、超导性到铁磁性的各种背景下得到理论探索。最近，通过将1T-TaS2中的金属-绝缘体转变温度与石墨烯等离子体耦合（参考文献17）以及在毫开尔文温度下改变高迁移率二维电子系统（2DESs）的传输属性（参考文献19,20），实验上证实了利用热场或真空场的腔体效应。
量子霍尔系统是通过将二维电子系统（2DES）置于垂直磁场B中实现的（参考文献21），它是一个理想的真空腔体控制实验场所，因为有效的光-物质相互作用长度尺度——由回旋轨道半径决定——比典型固体中的大四个数量级（参考文献22）。此外，磁场还能抑制系统的动能，导致由强库仑相互作用定义的多个能量竞争的相关电子相，这些相适合于腔体控制。至关重要的是，量子霍尔系统所展示的相关相取决于占据的朗道能级（LLs）的数量——这构成了其独特的能谱，由填充因子ν = hns/eB量化，其中h是普朗克常数，e是电子电荷，ns表示二维电子密度。当ν = N + 1/2（N ≥ 4为整数）时，会出现一种相关电子相，称为量子霍尔条纹。
量子霍尔条纹是一种在极低温度下表现出的电子驱动的电荷密度波有序形态，发生在半填充的高朗道能级中。由于较高朗道能级波函数的环状形状（参考文献23,24,25），在大约1 K以下，电子密度调制在回旋轨道半径尺度上（ν = 8 + 1/2时约为50 nm）变得热力学上有利。然而，尽管能量限制决定了密度调制的波长，但它们并不区分条纹有序的不同方向。因此，在均匀且各向同性的电子系统中，例如我们研究中使用的系统，热波动会扰乱条纹的方向，从而无法在磁传输测量中直接观察到条纹。当结构各向异性与异质结构的特定晶体学方向对齐时（参考文献26），或者通过应变（参考文献27）或在平面内磁场（参考文献28,29,30）的作用下，会在宏观尺度上使条纹对齐，从而在接近高半整数填充因子时产生巨大的磁传输各向异性（参考文献31,32）。
在这里，我们通过一个设计并工程化的槽天线腔体的真空电磁场来展示量子霍尔条纹的腔体量子电动力学控制，该腔体能够与2DES实现强各向异性耦合，从而引导条纹的有序。使用我们的腔体，我们不仅在大尺度上诱导了纵向传输的各向异性，还几乎完全地将纵向电阻率降低到没有磁场时的水平以下。从未有其他诱导各向异性的机制（参考文献26,27,28,29,30,31,32）能够实现这种效应，这强烈证明了空间结构的腔体真空波动能够改善相关电子相中的传输性能。
在我们的实验中，我们使用了一个迁移率为μ = 2.03 × 10^7 cm^2 V^-1 s^-1、密度为ns = 3.98 × 10^11 cm^-2的2DES（在1.3 K时未受光照条件下测量），该2DES实现在一个高质量的外延生长的GaAs基异质结构中（方法部分），具有出色的均匀性和各向同性（补充信息）。我们已经验证了施加平面内磁场会导致条纹的宏观对齐，这在文献中是经常观察到的（扩展数据图1和补充信息），从而确认了我们2DES中条纹的微观存在。我们制造了一个40 μm宽的霍尔条（HB），将其嵌入到槽天线腔体中，并在高的半整数填充因子和极低温度下测量其磁传输性质，在这些条件下，腔体场的真空波动远远超过了热波动的影响，因为在最低温度下光子数量低于10^-30。在图1a,b中，我们报告了我们的主要观察结果：在填充因子ν = 10 + 1/2、温度为20 mK时，沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向测量的纵向电阻率降低了50倍，与参考HB相比。后者在同一芯片上制造（物理上相隔约2.5 mm），并在相同的冷却过程中测量。纵向电阻率被抑制到0.2 Ω，远低于其在零磁场时的1.15 Ω，这表明远离量子化磁场值时背散射的抑制，并指向腔体对整个160 μm距离内连续条纹的稳定化（图1c(ii),(iii)）。
图1：槽天线腔体真空场中的腔体诱导条纹有序相。
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a. 沟道嵌入HB（紫色实线）和参考HB（黑色虚线）的纵向电阻率ρxx作为垂直磁场B的函数，沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向测量，如图c所示的轴。顶部轴报告了对应于2DES密度为4 × 10^11 cm^-2时的填充因子ν。b. 在填充因子为12 + 1/2、10 + 1/2和8 + 1/2时，腔体诱导的抑制电阻率的放大图（a中的灰色矩形），分别与参考HB测量的电阻率相比分别减少了30倍、50倍和25倍。c. 槽天线谐振器的光学显微镜图片，它由一个230 μm × 40 μm的金属平面切割块（金色）蒸发在HB上组成。渐变颜色表示在腔体基本模式的\(\widehat{{\bf{y}}}\)方向上极化的真空电场，这是通过有限元模拟得到的（方法部分）。接触引线和40 μm宽HB的延续部分在金属下方以发光线条显示。d. 2DES在没有腔体（顶部）和在腔体内（底部）时的两种不同相的示意图。在每个HB的中间，描绘了使沿相反方向传播的边缘态相互散射的基本过程：在条纹有序相中，背散射幅度1 − ts相对于各向同性液相中的1 − tl大幅减少。e. 参考HB和腔体嵌入HB中测量的电阻率ρxx的比率，作为填充因子的函数。当只有能量较低的自旋分辨朗道能级部分填充（绿色标记）或较低的能级完全填充而较高的能级部分填充（黑色标记）时，我们观察到了不同的行为。插图显示了第N个朗道能级的电子占据情况。此类减少也与峰值位置相对于参考值的变化有关（见图1b）。我们还要指出，当温度高于18 + 1/2（即低于1 K）时，由腔体引起的电阻率抑制并不表明存在条纹有序结构，因为自旋分裂峰由于交换相互作用的消失而合并，而这种相互作用是条纹出现的首要驱动力。相反，这种减少与腔体引起的Shubnikov–de Haas振荡的振幅调制有关，这一点已在参考文献33中报道。我们强调，腔体引起的抑制现象发生在磁场范围内，其中回旋角频率ωc = eB/m*，其中m* = 0.067me是GaAs中的电子有效质量，me是电子质量，它控制了二维电子系统（2DES）的光学响应。因此，使用密度较低的2DES可以在较低的填充因子下观察到相同的腔体抑制现象，包括ν = 4 + 1/2 = 9/2，这是条纹有序结构最稳定的状态（见扩展数据图3和补充信息）。我们通过比较沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向测量的纵向电阻Rxx（见图2a顶部）与通过插图所示方案测量的横向电阻Ryy（见图2b底部）来表征条纹有序相中的各向异性磁输运。与我们的解释完全一致，我们观察到在相同填充因子8 + 1/2和10 + 1/2的情况下，与参考样品相比，腔体嵌入样品的Ryy增加了5倍以上，而在这些填充因子下纵向电阻Rxx被抑制了。如补充信息中详细讨论的，Ryy增加了5倍而不是50倍是由于所谓的非局域边缘态对Ryy的贡献（参考文献37）。正如预期的那样，横向电阻显示出明确的平台现象。腔体和参考样品仅在平台之间的过渡处有细微差异，这是由于两个样品之间的密度差异很小——通过拟合零场附近的Rxy斜率估计约1%。
图2：条纹有序相中的磁输运。
这种减少也与参考参考峰值位置的变化有关（见图1b）。我们还要指出，在18 + 1/2以上（即1 K以下），腔体引起的电阻率抑制并不表明存在条纹有序结构，因为自旋分裂峰由于交换相互作用的消失而合并，这是条纹出现的首要驱动力。实际上，这种减少与腔体引起的Shubnikov–de Haas振荡的振幅调制有关，这一点在参考文献33中已有报道。我们强调，腔体引起的抑制现象发生在磁场范围内，其中回旋角频率ωc = eB/m*，其中m* = 0.067me是GaAs中的电子有效质量，me是电子质量，它控制着二维电子系统（2DES）的光学响应。因此，使用密度较低的2DES可以在较低的填充因子下观察到相同的腔体抑制现象，包括ν = 4 + 1/2 = 9/2，这是条纹有序结构最稳定的状态（见扩展数据图3和补充信息）。我们通过比较沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向测量的纵向电阻Rxx（见图2a顶部）与通过插图所示方案测量的横向电阻Ryy（见图2b底部）来表征条纹有序相中的各向异性磁输运。与我们的解释完全一致，我们观察到在相同填充因子8 + 1/2和10 + 1/2的情况下，与参考样品相比，腔体嵌入样品的Ryy增加了5倍以上，而在这些填充因子下纵向电阻Rxx被抑制了。如补充信息中详细讨论的，Ryy增加了5倍而不是50倍是由于所谓的非局域边缘态对Ryy的贡献（参考文献37）。正如预期的那样，横向电阻显示出明确的平台现象。腔体和参考样品仅在平台之间的过渡处有细微差异，这是由于两个样品之间的密度差异很小——通过拟合零场附近的Rxy斜率估计约1%。
图2：条纹有序相中的磁输运。
这种减少也与峰值位置相对于参考值的变化有关（见图1b）。我们还指出，当温度高于18 + 1/2（即低于1 K）时，腔体引起的电阻率抑制并不表明存在条纹有序结构，因为自旋分裂峰由于交换相互作用的消失而合并，这是条纹出现的首要驱动力。实际上，这种减少与腔体引起的Shubnikov–de Haas振荡的振幅调制有关，这一点在参考文献33中已有报道。我们强调，腔体引起的抑制现象发生在磁场范围内，其中回旋角频率ωc = eB/m*，其中m* = 0.067me是GaAs中的电子有效质量，me是电子质量，它控制着二维电子系统（2DES）的光学响应。因此，使用密度较低的2DES可以在较低的填充因子下观察到相同的腔体抑制现象，包括ν = 4 + 1/2 = 9/2，这是条纹有序结构最稳定的状态（见扩展数据图3和补充信息）。我们通过比较沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向测量的纵向电阻Rxx（见图2a顶部）与通过插图所示方案测量的横向电阻Ryy（见图2b底部）来表征条纹有序相中的各向异性磁输运。与我们的解释完全一致，我们观察到在相同填充因子8 + 1/2和10 + 1/2的情况下，与参考样品相比，腔体嵌入样品的Ryy增加了5倍以上，而在这些填充因子下纵向电阻Rxx被抑制了。如补充信息中详细讨论的，Ryy增加了5倍而不是50倍是由于所谓的非局域边缘态对Ryy的贡献（参考文献37）。正如预期的那样，横向电阻显示出明确的平台现象。腔体和参考样品仅在平台之间的过渡处有细微差异，这是由于两个样品之间的密度差异很小——通过拟合零场附近的Rxy斜率估计约1%。
这个图像的替代文本可能是使用AI生成的。
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a. 在20-mK温度下，测量的参考样品（黑色虚线）和腔体嵌入样品（紫色实线）的纵向和横向电阻，作为垂直磁场B的函数。左轴表示纵向电阻Rxx（顶部）和Ryy（底部；轴方向相反），而右轴表示横向电阻Rxy（顶部）和Ryx（底部；轴方向相反）。插图显示了用于测量不同电阻的方案。
b. 参考样品（顶部）和腔体嵌入样品（底部）的纵向电阻率ρxx = Rxx/4作为B的函数，在混合室板的不同温度下测量（颜色根据右侧的颜色条表示）。
c. 参考样品和腔体嵌入样品测量的电阻率ρxx之比作为温度的函数，对于填充因子为2N + 1/2（实心标记）和（2N + 1）+ 1/2（空心标记）。数据取自b中的图表：圆圈、菱形和方形标记分别对应N = 6、5和4。
d. 半整数填充因子下的纵向电阻率最大值作为温度的函数，采用对数-对数坐标。数据同样来自b中的图表：圆圈、菱形和方形标记分别对应填充因子为12 + 1/2、10 + 1/2和8 + 1/2，而黑色和紫色分别对应参考样品和腔体样品。腔体样品的电阻率最大值随温度呈现幂律行为，\({\rho }_{xx}^{\max }\propto {T}^{k}\)，其中k在子图中标明。误差条对应于在两个磁场方向上测量的数据的标准偏差，以及B场增加和减少时的数据。
我们通过研究纵向电阻率的温度依赖性来探究条纹有序结构的出现。如图2b,c所示，我们仅在超低温下观察到腔体引起的输运特征：在800 mK时，腔体嵌入样品和参考样品的电阻率是相同的。这进一步表明，由腔体真空波动引起的关联作用至关重要，因为仅仅在2DES附近制备一个金属平面并不预期能在毫开尔文温度下提供如此精确的特征。我们还注意到，在参考样品和腔体样品中，半整数填充因子下的电阻率最大值的温度行为有显著差异（见图2d）：尽管前者随温度升高最多只有两倍增加，后者在20到500 mK之间呈幂律增长。我们在本工作中关注的是高半整数填充因子下的相关低温输运，在这种情况下，2DES在没有腔体的情况下表现为各向同性的液体（见图1b），这与我们之前在参考文献19,20中研究的情况不同，那里研究了整数和奇数分母的分数填充因子。此外，那里使用的腔体是一个互补的分裂环谐振器（在参考文献19中蒸发在样品上，在参考文献20中悬停在样品上方），其谐振频率较低，2DES的迁移率大约低10%–15%，其载流子密度是这里使用值的一半。
我们通过在\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向上测量的纵向电阻Rxx（见图2a顶部）与通过插图所示方案测量的横向电阻Ryy（见图2b底部）进行比较来表征条纹有序相中的各向异性磁输运，该方案量化了\(\widehat{{\bf{y}}}\)方向上的输运（见图2b底部）。与我们的解释完全一致，我们观察到在相同填充因子8 + 1/2和10 + 1/2的情况下，腔体嵌入样品的Ryy增加了5倍以上，而在这些填充因子下纵向电阻Rxx被抑制了——与参考样品相比。如补充信息中详细讨论的，Ryy增加了5倍而不是50倍是由于所谓的非局域边缘态对Ryy的贡献（参考文献37）。正如预期的那样，横向电阻显示出明确的平台现象。腔体和参考样品仅在平台之间的过渡处有轻微差异，这是由于两个样品之间的密度差异很小——通过拟合零场附近的Rxy斜率估计约为1%。
图2：条纹有序相中的磁输运。
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a. 在20-mK温度下，测量的参考样品（黑色虚线）和腔体嵌入样品（紫色实线）的纵向和横向电阻，作为垂直磁场B的函数。左轴表示纵向电阻Rxx（顶部）和Ryy（底部；轴方向相反），而右轴表示横向电阻Rxy（顶部）和Ryx（底部；轴方向相反）。插图显示了用于测量不同电阻的方案。
b. 参考样品（顶部）和腔体嵌入样品（底部）的纵向电阻率ρxx = Rxx/4作为B的函数，在混合室板的不同温度下测量（颜色根据右侧的颜色条表示）。
c. 参考样品和腔体嵌入样品测量的电阻率ρxx之比作为温度的函数，对于填充因子为2N + 1/2（实心标记）和（2N + 1）+ 1/2（空心标记）。数据取自b中的图表：圆圈、菱形和方形标记分别对应N = 6、5和4。
d. 半整数填充因子下的纵向电阻率最大值作为温度的函数，采用对数-对数坐标。数据同样来自b中的图表：圆圈、菱形和方形标记分别对应填充因子为12 + 1/2、10 + 1/2和8 + 1/2，而黑色和紫色分别对应参考样品和腔体样品。腔体样品的电阻率最大值随温度呈现幂律行为，\({\rho }_{xx}^{\max }\propto {T}^{k}\)，其中k在子图中标明。误差条对应于在两个磁场方向上测量的数据的标准偏差，以及B场增加和减少时的数据。
我们通过研究纵向电阻率的温度依赖性来探究条纹有序结构的出现。如图2b,c所示，我们仅在超低温下观察到腔体引起的输运特征：在800 mK时，腔体嵌入样品和参考样品的电阻率是相同的。这进一步表明，由腔体真空波动引起的关联作用至关重要，因为仅仅在2DES附近制备一个金属平面并不预期能在毫开尔文温度下提供如此精确的特征。我们进一步注意到，在参考样品和腔体样品中，半整数填充因子下的电阻率最大值的温度行为有显著差异（见图2d）：尽管前者随温度升高最多只有两倍增加，后者在20到500 mK之间呈幂律增长。
我们指出，在目前的工作中，我们关注的是在高半整数填充因子下的相关、低温输运，在这种情况下，2DES在没有腔体的情况下表现为各向同性的液体（见图1b），这与我们在参考文献19,20中报告的之前的工作不同，在那些工作中研究了整数和奇数分母的分数填充因子。此外，那里使用的腔体是一个互补的分裂环谐振器（在参考文献19中蒸发在样品上，在参考文献20中悬挂在样品上方），其谐振频率较低，2DES的迁移率大约低10%–15%，其载流子密度是这里使用值的一半。我们通过提出这样的解释来理解我们的测量结果：槽天线腔体基本模式的各向异性真空波动在能量上有利于已存在但方向无序的局部条纹沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)轴的对齐（即，带密度调制的电荷有序，其波矢\(\widehat{{\bf{Q}}}\)指向\(\widehat{{\bf{y}}}\)），如图3a所示。这种解释为我们实验的主要定性发现提供了连贯的图景。首先，如果条纹沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)轴形成，那么沿这个方向的输运就容易，这解释了腔体对纵向电阻率\(\rhoxx\)的巨大抑制（见图3b）。其次，沿\(\widehat{{\bf{x}}}\)轴的条纹意味着沿\(\widehat{{\bf{y}}\)轴的输运很困难，因为它需要跨条纹的散射过程，这解释了Ryy的增加（见图3b）。第三，条纹导致了各向异性磁输运，正如我们在高半整数填充因子附近观察到的（例如，ν = 8 + 1/2, 10 + 1/2）。第四，腔体引起的特征的温度依赖性与理论预测的条纹形成和对齐机制相符，并在实验中得到证实（见参考文献31,32）。特别是，形成微观有序的平均场计算临界温度为\({T}_{{\rm{c}}}^{{\rm{mf}}}\approx 0.02\,\hslash {\omega }_{{\rm{c}}}/{k}_{{\rm{B}}}\)，其中ℏ是约化普朗克常数，kB是玻尔兹曼常数。在2 T的磁场下，对应于ν = 8 + 1/2，\({T}_{{\rm{c}}}^{{\rm{mf}}}\approx 800\) mK；因此，在此温度以下将形成任意方向的微观条纹结构。在无腔体样品中，输运各向异性已在100–200 mK范围内观察到（见参考文献31,32），这代表了宏观有序性丧失的临界温度。我们观察到腔体引起的抑制高达大约半个\({T}_{{\rm{c}}}^{{\rm{mf}}}\的温度，这表明腔体的对齐效果比尚未知的在无腔体样品中对齐条纹的机制强得多。最后，我们强调，样品中的磁输运本质上并不是各向异性的，如补充信息中所讨论的：假设的宏观条纹对齐显然是腔体引起的效应。再次，通过使用平面磁场对条纹结构进行对齐，分别证实了微观条纹结构的存在，这与文献28,29,30中的观察结果一致，而在零平面场下参考样品中没有宏观条纹有序性，这与文献中研究的样品不同，这归因于异质结构生长的不同细节。
图3：腔体对波动条纹有序结构的定向稳定。
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a. 自由能表面F(θ)作为条纹有序相的调制方向的函数（为了视觉清晰，从坐标原点偏移）。注意，角度θ的条纹调制意味着条纹沿θ − 90°对齐。在参考情况下（顶部），表面是旋转不变的，因此条纹有序以任意方向θ形成，并且会热波动（F表面的红色阴影）：参考样品中形成不同方向的条纹区域，没有宏观对齐。在腔体存在的情况下（底部），F表面在θ = 0处具有明显的最小值，这在宏观上对齐了条纹。
b. 宏观条纹对齐，调制波矢为\(\widehat{{\bf{Q}}\)，定义了一个输运容易的方向——垂直于\(\widehat{{\bf{Q}}\)——以及一个输运困难的方向——平行于\(\widehat{{\bf{Q}}\)。
c. 固定极化真空电场的方向（θ = 0），最低自由能是在与其平行的调制下获得的，因此在\(\widehat{{\bf{x}}}\)方向上的输运容易，这正是我们在实验中测量到的。
为了概念性地理解为什么腔体的电磁真空波动会沿着\(\widehat{{\bf{x}}\)轴对齐条纹，我们估计了由于条纹的固定方向与腔体电场的真空波动相互作用而产生的自由能各向异性。从物理上讲，这可以解释为由于特定方向的电子条纹有序导致槽天线腔体的Casimir能量的变化，这种变化各向异性地修改了系统的折射率。在Matsubara形式主义中，我们发现特定方向的条纹的自由能由以下公式给出：
$$F(\theta )=\frac{1}{\pi }\mathop{\sum }\limits_{a}{\int }_{0}^{\infty }{\rm{d}}\omega \,\omega {\sigma }_{aa}({\rm{i}}\omega ;\theta )\overline{\langle {{\bf{A}}}^{a}({\rm{i}}\omega ){{\bf{A}}}^{a}(-{\rm{i}}\omega )\rangle },$$
其中条纹的动态导电性张量——延续到虚频——以调制波矢θ相对于腔体的角度给出，为σij(iω; θ)，而由槽天线产生的矢量势的Matsubara频率相关函数为〈Aa(iω)Ab(−iω)〉 = ∫d2R〈Aa(R, iω)Ab(R, − iω)〉（见补充信息）。
我们的公式表明，自由能最低的条纹配置是那些导电性（电阻率）较弱的轴线（即硬轴线）与经历最大真空我们的研究表明，可以将这种方法应用于介观系统，特别是莫尔材料（moiré materials），这些材料具有许多与量子霍尔效应相似的特性，使其成为腔体控制的理想模型。在量子霍尔效应中，由于动力学能量被抑制以及有效偶极子尺寸较大，电子相互作用的作用变得尤为重要，导致相图变得非常复杂。虽然磁输运各向异性主要被用来诊断量子霍尔条纹，但也可以使用其他互补的方法，因为输运通常只对样本边缘存在的相敏感。通过研究二维电子系统（2DES）的集体模式并探索其可能的各向异性色散，可以获得更多证据。此前，人们已经使用微波驱动和表面声波的组合来绘制条纹的集体模式谱（46），尽管也可以应用扫描近场光学显微镜技术（47）。直接确认可以通过实空间成像来实现：单电子晶体管测量可以探测到条纹形成的相关100纳米长度尺度（48）。这些技术还有助于解决条纹相在边缘存在而体相在内部存在的问题（49）。
### 方法
#### 异质结构细节
二维电子系统（2DES）位于苏黎世联邦理工学院固体物理实验室通过分子束外延技术生长的单个24纳米宽的GaAs/Al0.25Ga0.75As量子阱中（该异质结构被标记为D170202B，我们在此将其称为D170202B-2）。该量子阱通过两个Si掺杂层进行调制掺杂，掺杂层与势垒边缘之间有一个70纳米的间隔。总体上，2DES位于异质结构表面下方130纳米处。在接近霍尔电阻斜率的毫开尔文温度下，我们观察到样品的密度在4.17 × 10^11至4.36 × 10^11 cm^-2之间变化，这种变化在大约3.3毫米的长度尺度上分布。体电阻率的各向同性在补充部分III中讨论；量子霍尔条纹与平面磁场的宏观对齐在补充部分IV中讨论；用于考虑从霍尔电阻测量中估计纵向电阻率时的密度梯度的程序在补充部分V中讨论。
#### 样品制造
样品在洁净室环境中通过标准的光刻和微制造技术进行加工。该过程是在从分子束外延生长的晶圆上切割出来的9 × 10毫米²芯片上进行的，具体步骤包括：
1. 使用正性抗蚀剂（AZ1505）和高分辨率直写技术在样品上定义霍尔带（HBs）和正方形区域；
2. 使用稀释后的硫酸-H2O2（30%:H2O，比例为1:8:60）溶液蚀刻台面区域，蚀刻深度为160纳米；
3. 使用负性抗蚀剂（AZ5214E）和高分辨率直写技术定义接触点；
4. 蒸发Ge/Au/Ge/Au/Ni/Au（26/53/26/53/40/50纳米）共熔混合物，然后进行剥离和退火（500°C，持续300秒）；
5. 使用负性抗蚀剂（AZ5214E）和高分辨率直写技术定义谐振器平面；
6. 蒸发Ti/Au（10/200纳米）并完成剥离。
### 测量方案
输运测量采用最先进的技术进行，这些技术专为研究二维电子系统中的量子霍尔效应而优化。我们使用Bluefors稀释制冷机将样品冷却至12毫开尔文。电压由Zurich Instruments公司的商用MFLI数字锁相放大器测量，配合定制的低噪声交流前置放大器使用，后者将信号放大1000倍。我们通过对样品并联的两个100兆欧姆电阻施加2伏特均方根（r.m.s.）的交流调制电压来对称地注入电流（或等效地给两个10兆欧姆电阻各施加0.2伏特电压），从而使电路中流通10纳安的r.m.s.电流，这个低电流值是为了限制样品的电子加热。为了解调锁相输入信号，我们使用时间常数为0.1秒的四阶低通滤波器。在样品连接点之前，放置了100千赫的低通滤波器，以最小化测量设置中的电尖峰或加热效应。
### 有限元模拟
为了表征槽天线腔的模式结构，我们使用商业CST Studio Suite软件进行了有限元模拟。我们将系统建模为一个0.2微米厚的损耗性金平面，其中230 × 40微米²的槽口填充了无损耗的GaAs。基板也是GaAs，使用有效层厚度来减少计算成本。在图1c中报告的模拟中，二维电子系统（2DES）被建模为具有垂直于表面的磁场的旋磁材料。在本节中，我们没有对2DES进行建模，而是重点研究通过波导端口激发的高阶模式（在这种情况下，频率略有降低）。在扩展数据图4中展示了六个最低频模式的电场空间分布。正如正文中所述，五个最低频模式是准横向电场模式，其电场沿\(\widehat{{\bf{y}}}\)方向极化；而第六个模式（频率高于1太赫兹）仍然是准横向电场模式，但极化方向为\(\widehat{{\bf{x}}}\)。这与具有相同长宽比的矩形波导中模式的频率顺序一致（51）。我们将从有限元模拟获得的经典电场E解释为量子电场的r.m.s.波动\(\sqrt{\langle {E}^{2}\rangle }\)，通过进行重整化处理，使得模式中包含的能量（在由槽口边界限定的区域内，并向正交方向延伸到E衰减到最大值的1/e的深度）等于hf/2，其中h是普朗克常数，f是模式频率。这种方法在较高频率下会产生更大的场波动——这与自由空间中的情况相同——但在更高频率下，该结构不再表现出谐振器的特性。
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