张杰|赵子轩|姚丹|吴志军|李江|郭少云
中国四川大学先进聚合物材料国家重点实验室/聚合物研究所，成都，610065
**摘要**
声学黑洞（Acoustic Black Holes, ABHs）在轻量化振动控制方面具有巨大潜力；然而，材料属性在控制其振动抑制机制中的作用尚未得到充分理解。本研究通过数值建模、参数分析和实验验证，从材料驱动的角度探讨了嵌入式ABH结构。系统比较了采用代表性金属和聚合物材料的ABH板的振动特性，并定量分析了关键材料参数（包括弹性模量、质量密度和损耗因子）的影响。研究结果表明，不同材料表现出不同的行为：基于金属的ABHs在高频率区域具有狭窄但振幅较大的衰减带，而基于聚合物的ABHs从较低频率开始就具有较宽的衰减带，但衰减程度较低。进一步研究表明，ABH结构中的振动抑制效果是局部结构共振、能量局域化和ABH诱导的波形操控共同作用的结果，而不仅仅是ABH效应本身。弹性模量与密度之比（E/ρ）决定了有效衰减带的起始频率，而E和ρ的独立变化通过改变结构刚度和惯性来调节振动幅度。增加材料阻尼可以显著提高能量耗散，而不改变特征频率。这些发现为ABH结构的材料驱动设计提供了新的见解，并为在轻量化工程系统中实现宽带和高效的振动抑制提供了实际指导。
**1. 引言**
振动控制是现代工程中的一个关键问题，尤其是在精密仪器和高性能设备中。过度振动不仅会降低结构可靠性，还会缩短使用寿命。随着航空航天、汽车工程和轨道交通等领域对能效提升和能耗减少需求的增长[[1], [2], [3]]，在保持轻量化结构设计的同时实现有效的振动抑制已成为一个紧迫的挑战[[4]]。与传统阻尼和振动抑制材料[[5], [6], [7]]不同，声学黑洞（ABH）概念[[8]]为轻量化振动控制提供了理论基础。当薄板的厚度遵循幂律分布时，结构阻抗会平滑变化，从而导致弯曲波的相位和群速度逐渐减小。在理想情况下，波速趋近于零，从而实现几乎无反射和强烈的能量集中。然而，实际的ABH结构不可避免地涉及边缘截断，无法完全消除波反射。为了解决这一限制，Krylov[[9,10]]证明在ABH区域施加局部阻尼处理可以显著降低反射系数并有效抑制弯曲振动。基于这种方法，Xiao等人[[11]]开发了一种由幂律变厚度悬臂梁组成的ABH吸声器，并覆盖了粘弹性阻尼层，用于抑制轨道振动，并系统分析了阻尼层厚度和损耗因子的影响。Liang等人[[12]]研究了阻尼材料和边界条件对具有二维ABH阵列的平板能量耗散的影响，发现与单个或大型ABH配置相比，其低频（50–180 Hz）能量集中效果更优。Wan等人[[13]]提出了一种轻量化的ABH阻尼层，能够在宽频率范围（100–4000 Hz）内有效抑制振动。Xu等人[[14]]通过将ABH嵌入粘弹性阻尼材料中实现了宽带和轻量化的振动抑制，而Ma等人[[15]]进一步证实了在含有粘弹性填充物的薄复合ABH结构中实现ABH效应的可行性。Mizukami[[16]]利用碳纤维的各向异性粘弹性行为设计了碳纤维增强塑料ABH梁，即使没有额外的阻尼层也能提高阻尼性能并降低截止频率。Bao等人[[17]]设计了一种由尼龙ABH区域和均匀钢区域组成的复合ABH结构，并报告了与传统的均匀ABH板相比，弯曲波的能量收敛更为明显。Han等人[[18]]研究了纳米复合ABH板，发现纳米复合增强材料提高了平面刚度，而粘弹性阻尼层增强了弯曲波的衰减。
总体而言，ABH技术为轻量化振动控制提供了有力支持，并吸引了越来越多的研究关注，涵盖了从结构优化到材料设计的多个方面。然而，不同类型的基础材料（如金属和聚合物材料）以及材料参数（如弹性模量、质量密度和损耗因子）的变化如何影响具有相同几何特征的嵌入式ABH结构的振动特性仍不清楚。为了解决这个问题，本研究从材料驱动的角度深入探讨了ABH结构的振动抑制机制。研究方法和论文框架如图1所示。
**2. 四种代表性材料中的嵌入式ABHs**
首先建立了一个经典的薄板ABH模型。然后选择了四种代表性材料——铝（Al）、钢、UV固化树脂和聚丙烯（PP）。这些材料在弹性模量、质量密度和损耗因子方面存在显著差异，从而可以从“现象识别”的角度比较不同材料基底的嵌入式ABH结构的振动传递和响应特性。第三节以基于Al的ABH板为代表案例，结合位移响应、应变能量密度和反射系数的分析，从“机制识别”的角度研究了嵌入不同材料中的ABH结构的有效振动衰减频率带及其潜在机制。第四节进一步进行了“参数研究”，探讨了材料参数（包括弹性模量、质量密度和损耗因子）的变化对嵌入式ABH结构的振动传递和响应特性的影响。第五节讨论了材料参数的影响机制，并制备了代表性样品并进行了实验验证，提供了“验证和设计指导”。最后在第六节得出结论。
**3. 机制识别**
考虑到本研究主要探讨不同基础材料对嵌入式ABH结构振动衰减性能的影响，材料属性是关键参数和核心变量；因此，需要控制ABH的结构参数。与方形或矩形ABH等其他几何形状相比，圆形ABH具有更好的几何对称性，可以忽略入射弯曲波方向的影响。因此，选择圆形ABH作为本研究的代表案例。参考文献[[19]]中报道的典型ABH薄板模型，建立了一个带有嵌入式ABH的板结构有限元模型，如图2所示。板的尺寸为800 mm × 120 mm × 5.14 mm，板上有五个均匀分布的ABH。其中，二维ABH横截面的厚度通常遵循幂律梯度，表示为：
(1)
h(x) = {h0, (0≤x≤x1)ε(x−x1)m + h0, (x1≤x≤x2, m≥2)
其中x是沿薄板长度或宽度方向的坐标，ε是系数，m是幂指数，h0是中心平台的截止厚度，x1是中心平台的半径，x2是ABH的外半径。图2中所示ABH结构的实际参数为ε = 0.0029，m = 2，h0 = 0.5 mm，x1 = 10 mm，x2 = 50 mm。在没有ABH的区域，板的最大元素尺寸设置为6 mm；而在ABH区域，最大元素尺寸细化为3 mm。采用扫描网格策略，通过厚度定义了两层元素。在条板的一侧边缘的中点施加1 N的Z方向单位点力，并分别提取激励侧和接收侧的平均振动响应。
**4. 参数研究**
为了探讨材料参数（包括弹性模量、质量密度和损耗因子）的变化对嵌入式ABH结构振动传递和响应特性的影响，进行了进一步的“参数研究”。
**5. 验证与设计**
讨论了材料参数的影响机制，并制备了代表性样品并进行了实验验证，提供了“验证和设计指导”。最后在第六节得出结论。
**结论**
本研究从材料驱动的角度深入探讨了ABH结构的振动抑制机制，为轻量化振动控制提供了新的见解，并为在轻量化工程系统中实现宽带和高效的振动抑制提供了实际指导。同样地，对于基于钢的ABH板，有效的衰减带主要分布在1440–1860 Hz、3260–3990 Hz、4200–4800 Hz、6020–6240 Hz和6660–6960 Hz范围内，相应的平均衰减值分别为9.4 dB、38.1 dB、26.5 dB、15.2 dB和11.7 dB。累积有效带宽为2320 Hz，整个有效带宽内的平均衰减达到23.9 dB，最大衰减出现在3660 Hz。因此，这两种金属材料表现出几乎相同的有效衰减带和累积有效带宽。然而，基于钢的ABH板在每个有效带内的平均振动传输衰减以及累积有效带宽上的衰减都比基于铝的ABH板高出约2 dB。对于基于聚合物的ABH板，UV固化树脂和PP都表现出非常宽的有效带宽，累积带宽分别约为7500 Hz和7300 Hz。然而，它们的平均振动传输衰减水平相对较低，仅为8.5 dB和6.1 dB，比金属材料低约16 dB。这些结果表明，对于金属和聚合物来说，属于同一基材类别的ABH板表现出相似的有效衰减带和累积有效带宽。然而，在有效带宽内的平均振动传输衰减在金属材料之间以及聚合物材料之间有所不同。
如图5（b）所示，在接收端的总振动响应方面，由金属材料制成的均匀板的固有振动响应低于由聚合物材料制成的板。然而，在嵌入ABH后，基于聚合物的ABH板的振动减少性能优于基于金属的ABH板。对不同材料制成的嵌入ABH板的接收端总振动响应减少的统计分析显示，基于UV固化树脂的ABH板实现了最高的振动减少（6.4 dB），其次是基于PP的板（3.8 dB），而基于铝的（2.3 dB）和基于钢的（1.4 dB）ABH板的振动减少性能相对较低。因此，不同类型的材料对ABH的振动减少效果既有相似之处也有差异。这突显了进一步深入研究的必要性，以明确将材料属性参数与ABH的有效衰减带宽、其潜在机制以及材料参数对ABH性能的影响联系起来。
3. ABH的有效衰减带及其潜在机制
根据ABH的基本原理[20]，当弯曲波的特征波长与ABH尺寸相当或更小时，波会被有效捕获，从而产生明显的能量积累效应。ABH的截止频率通常定义为一个指示频率，高于该频率时，弯曲波可以在ABH区域内有效减速并集中：(4)fcut−on=πh2RABH2E12ρ(1−ν2)，其中fcut-on是ABH的截止频率，h表示局部板厚度，RABH是ABH的半径，E、ρ和ν分别表示板材料的弹性模量、质量密度和泊松比。对于有限尺寸的二维ABH结构，除了上述截止频率外，半波长频率也是一个重要的特征频率。它通常表示ABH结构内局部共振和模态耦合的开始。当弯曲波长的半长与ABH的特征尺寸相当时，相应的半波长频率可以近似为：(5)fhalf=πh8RABH2E12ρ(1−ν2)。根据方程（4），表1中列出的四种不同材料基底的ABH板的截止频率分别为：基于铝的板为4955 Hz，基于钢的板为4921 Hz，基于UV固化树脂的板为948 Hz，基于PP的板为1313 Hz。根据方程（5），对于基于铝、钢、UV固化树脂和PP的ABH板，半波长频率分别为1239 Hz、1230 Hz、237 Hz和328 Hz。可以观察到，所有四种材料配置的第一个衰减带的起始频率都位于半波长频率和截止频率之间。特别是对于基于铝的ABH板，尽管1420 Hz到1810 Hz的衰减带与“局部结构共振”效应有关，但它仍然符合ABH的基本工作原理。
此外，方程（4）和（5）表明，对于给定几何尺寸的ABH，主要影响其有效工作频率的材料参数是弹性模量和质量密度。当弹性模量与质量密度的比值（E/ρ）相同时，ABH表现出相同的截止频率（由于泊松比的变动有限，其影响可以忽略不计）。然而，不同材料基底的ABH板的振动减少性能在有效频率带内的衰减幅度并不直接与E/ρ相关。例如，铝和钢的E/ρ值分别为0.0252和0.0268 GPa·m3/kg，非常接近。因此，尽管这两种材料的损耗因子相同（均为0.001），但它们的ABH板的有效衰减带和累积有效带宽几乎相同，但这些带内的平均振动传输衰减却有所不同。同样，UV固化树脂和PP的E/ρ值分别为0.0009和0.0017 GPa·m3/kg，虽然有显著差异，但它们的ABH板仍然表现出几乎相同的有效衰减带和累积有效带宽，只是有效带宽内的平均衰减有所不同。因此，尽管理论上的ABH公式揭示了基本工作原理，但它们无法完全解释不同材料参数下ABH板的振动减少特性。为了解决这个问题，以基于铝的ABH板为代表，从多个角度系统地研究了有效振动衰减带及其潜在机制，包括位移、应变能量密度和反射系数。
3.1. 位移响应
如图4（a）所示，在8000 Hz以下的频率范围内，基于铝的ABH板表现出五个主要的有效振动衰减带：1420–1810 Hz、3190–3830 Hz、4100–4680 Hz、5770–6020 Hz和6470–6810 Hz。根据方程（4）和（5），基于铝的ABH板的截止频率和半波长频率分别为4955 Hz和1239 Hz。因此，在这五个带中，有三个位于半波长频率和截止频率之间，而另外两个位于截止频率之上。为了阐明这五个带的潜在振动减少机制，图6展示了在有效衰减带内的低谷点处基于铝的ABH板的位移等高线图。
如图6所示，在所有五个衰减带中，ABH区域内都观察到了明显的局部共振现象。不同之处在于振动分布：在前三个带中，振动主要集中在ABH的中心平台区域（均匀厚度区域），而在最后两个带中，振动主要位于中心平台与ABH尖端之间的连接处。此外，第②、③和④带的峰值振动位移明显高于其他两个带，这可能解释了它们更强的衰减性能。总之，无论频率是在ABH截止频率以下还是以上，这五个带中的振动减少机制都涉及局部模态行为和振动位移的抵消。众所周知，ABH代表了一种典型的慢波效应。当振动波向ABH中心传播时，其波长被压缩，传播速度减慢。在理想的ABH中，振动能量在中心点汇聚而不会向外反射。因此，接下来我们将从能量集中和波反射的角度进一步分析这些机制，具体通过应变能量密度和反射系数来探讨。
3.2. 应变能量密度
图7显示了基于铝的ABH板在五个有效振动衰减带的低谷点的结构应变能量密度分布。首先可以观察到，在第一个带中，ABH区域内没有明显的能量集中，而在其他四个带中，ABH区域内表现出不同程度的能量积累。这表明第一个带中的振动衰减仅由局部结构共振引起。其次，对于后四个衰减带，经历能量集中的ABH单元数量随频率增加而增加。特别是第②和④带显示出相对较高的应变能量密度，这进一步解释了图4（a）中不同带之间观察到的振动衰减幅度的差异。
3.3. 反射系数
在分析ABH结构的振动特性时，反射系数用于表征入射弯曲波在结构梯度区域（例如，幂律厚度变化区域）内的反射程度。较小的反射系数表明ABH“捕获和耗散”振动能量的能力更强。对于基于铝的ABH板，反射系数是使用基于测量点处的位移场的波分解方法估计的[21,22]。考虑到ABH区域可以改变上游波的反射行为，在上游均匀板段选择了几个测量点。应用双波分解模型对复杂位移进行处理，并使用最小二乘拟合程序提取入射波和反射波之间的复振幅比。
在测量点区域，弯曲波场被近似为沿±x方向传播的一对行波的叠加[22]：(6)w(x,ω)=Ainc(ω)e−jk(ω)x+Aref(ω)ejk(ω)x，其中Ainc和Aref分别表示入射波和反射波的复振幅；k是弯曲波数，ω是角频率，x表示测量点的位置。在激励端和第一个ABH之间的均匀段上，沿传播方向排列了n个测量点（i =1, …, n）。提取z方向的位移w(xi)，从解析表达式中获得波数，并使用伪逆方法估计矩阵系统的系数Ainc和Aref。(7)[e−jkx1…e−jkxnejkx1…ejkxn]{ArefAinc}={w(x1)…w(xn)}。然后计算反射系数：(8)R(ω)=Aref(ω)Ainc(ω)。在这项研究中，使用了10个测量点的数据。第一个点位于激励点沿x方向的15 mm处，其余点沿x方向以5 mm的步长排列。图8显示了在不同频率下基于铝的ABH板的计算反射系数。考虑到图2中的ABH结构并不表现出完美的幂律厚度变化，并且在中心区域保留了残余厚度以确保数值收敛，因此除了直接的结构比较外，还引入了关于阻尼的额外讨论。在ABH的中心区域的下表面施加了阻尼材料，并对相应的均匀铝板区域进行了相同的处理。然后重新计算了阻尼铝基ABH板和阻尼均匀铝板的反射系数。阻尼材料是橡胶，其质量密度为1404.2 kg/m3，弹性模量为0.2 MPa，泊松比为0.49，损耗因子为0.3，厚度为2 mm，半径为10 mm。
如图8（a）所示，在分析的频率范围内，均匀铝板和基于铝的ABH板的反射系数大致相等，表明入射的弯曲波几乎完全被反射。具体来说，均匀铝板的平均反射系数为0.98，而基于铝的ABH板的平均反射系数为0.97。根据第3.1节的结果，基于铝的板中ABH效应的截止频率为4955 Hz。在这个频率以上，均匀铝板的平均反射系数为0.97，而基于铝的ABH板的平均反射系数为0.94。尽管基于铝的ABH板的反射系数略低于均匀铝板，但差异并不显著。因此，尽管在截止频率以上振动能量集中在基于铝的板的ABH区域，入射弯曲波的反射系数与均匀铝板相比几乎没有差异。如图8(b)所示，在板的下表面施加阻尼材料后，反射系数发生了显著变化。对于基于铝的ABH板，反射系数在大约2900 Hz以上开始明显下降，并在4955 Hz之后降至0.5以下，表明入射弯曲波被有效捕获和耗散。对于均匀铝板，反射系数也在大约4955 Hz时下降；然而，它通常仍保持在0.7以上，表明仍然存在显著的反射。表2总结了不同板在相应频率范围内的反射系数。反射系数略高于1是由于它是基于位移幅度而不是能量通量来定义的。此外，两波分解忽略了衰减（近场）分量，这可能导致局部幅度的过高估计。因此，获得的反射系数应被视为基于幅度的指标，而不是严格的能量反射系数。
表2. 不同板的平均反射系数。
- 无阻尼层的均匀铝板
- 无阻尼层的基于铝的ABH板
- 有阻尼层的均匀铝板
- 有阻尼层的基于铝的ABH板
所有频率范围：0.98, 0.97, 0.90, 0.63
4955 Hz以下：0.98, 0.98, 0.98, 0.83
4955 Hz以上：0.97, 0.94, 0.79, 0.32
频率带①：0.99, 1.02, 1.00, 1.06
频率带②：0.98, 0.97, 0.95, 0.67
频率带③：0.96, 0.98, 0.96, 0.51
频率带④：1.02, 0.96, 0.69, 0.35
频率带⑤：0.99, 0.94, 0.71, 0.15
如表2所示，添加阻尼材料为均匀铝板中的入射弯曲波提供了一定程度的能量耗散，但这种效果主要在高频（大约4955 Hz以上）观察到，此时反射系数通常仍高于0.7。相比之下，基于铝的ABH板的效果更为明显，有效频率范围可延伸至大约2900 Hz。特别是对于基于铝的ABH板的频率带①，反射系数保持在1左右，进一步表明该频段的振动衰减完全是由局部结构共振引起的。对于频率带②和③，尽管反射系数显著下降且明显低于均匀铝板，但它们仍保持在0.5以上，表明这些频率范围内仍存在显著的反射。对于频率带④和⑤，反射系数达到相对较低的水平，大约在0.1到0.4之间，表明在这些频段中，入射弯曲波不仅集中在ABH中心区域，而且还被有效捕获和耗散。因此，引入阻尼增强了ABH结构的能量耗散能力。
3.4. 总结
区分以局部共振为主和以ABH为主频段是基于位移模式、应变能量局部化和反射系数降低的综合证据。从上述分析中可以得出以下结论：
(1) 在8000 Hz以下的频率范围内，基于铝的ABH板的五个有效振动衰减带的机制如下：1420–1810 Hz纯粹是由于局部结构共振；3190–3830 Hz和4100–4680 Hz涉及局部共振和显著的能量集中；5770–6020 Hz和6470–6810 Hz主要由ABH效应主导。
(2) 如果没有足够的阻尼，ABH结构仍然可以引起波速减慢和能量局部化；然而，被困的能量无法有效耗散，可能会部分重新辐射或反射，导致振动衰减有限。引入额外的阻尼在将局部振动能量转化为耗散能量方面起着关键作用，从而显著提高振动衰减性能。
根据前两节的结果，材料属性对ABH的有效振动衰减带及其机制有显著影响。接下来，我们进一步研究材料参数（包括弹性模量、质量密度和阻尼）的变化对ABH性能的影响。
4. 材料参数对ABH性能的影响分析
使用图2中所示的基于铝的ABH板模型作为研究对象，分别使用单变量控制方法分析了基底材料的弹性模量、质量密度和阻尼的影响。
4.1. 弹性模量
铝基底的弹性模量分别乘以E×5、E×2.5、E、E×0.1和E×0.01的因子。图9显示了10–8000 Hz范围内基于铝的ABH板和均匀铝板的振动传输谱(a)，有效带宽内的平均振动衰减(b)，以及接收端的总振动响应(c)，并比较了振动衰减性能。随着弹性模量的增加，ABH板的有效振动衰减带向更高频率移动，8000 Hz内的特征峰值减小。弹性模量对有效频率的影响是因为模量E直接影响结构刚度，而结构刚度与自然频率呈正相关。对于薄板弯曲振动，等效弯曲刚度由D = Eh³/12(1-ν²)给出。较低的弹性模量显著降低了弯曲刚度D，从而降低了弯曲波的传播频率和相关模态频率，使ABH的有效衰减带向更低频率移动。相反，增加E会提高D，使衰减带向更高频率移动。图9(b)总结了五种模量情况下五个衰减带①–⑤的平均衰减。注意对于E×5和E×2.5，衰减带④和⑤已经移出8000 Hz范围，因此未包括在内。比较表明，随着模量的增加，所有五个衰减带的平均衰减都增加，表明振动衰减带的衰减幅度随着模量的增加而增加。每个振动衰减带内的平均衰减通常随log(E/E0)的增加而增加。五个衰减带的拟合模量灵敏度系数分别约为0.40、3.45、1.82、4.95和1.70 dB/decade。这表明弹性模量增加一个数量级会导致这些幅度的相应增加。在五个衰减带中，衰减带②和④对弹性模量的变化最为敏感，而衰减带①仅表现出弱依赖性。结合图9(c)中的总加速度水平和振动衰减比较，可以看出随着模量的增加，整体振动幅度减小，而振动衰减性能则表现出波动。
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图9. 不同弹性模量参数下的结构振动特性比较。
4.2. 质量密度
铝基底的质量密度分别乘以ρ×5、ρ×2.5、ρ、ρ×0.5和ρ×0.25的因子。图10展示了相应的计算结果。与弹性模量的趋势类似，随着质量密度的减小，ABH板的有效振动衰减带向更高频率移动。从图10(b)中有效衰减带内的平均衰减比较可以看出（注意对于ρ×0.5和ρ×0.25，衰减带④和⑤移出8000 Hz范围），随着质量密度的增加，衰减带的宽度减小，振动传输的平均衰减也减小。这表明振动衰减带的衰减幅度随着质量密度的增加而减小。对质量密度对平均振动传输衰减的影响进行了类似的拟合分析。五个衰减带的密度灵敏度系数分别约为−0.81、−1.15、−0.79、−0.49和−0.55 dB/decade。这些结果表明，增加质量密度通常会降低衰减水平，其中衰减带②对密度变化最为敏感，而衰减带⑤的敏感性相对较低。结合图10(c)中的总加速度水平比较，可以看出虽然增加质量密度降低了均匀板和ABH板的整体振动幅度，但ABH板与均匀板相比的振动传输幅度（即平均振动传输衰减）减小。振动衰减性能并不随质量密度的变化而呈现规律性趋势。
这些定量结果进一步表明，虽然E/ρ的比率决定了衰减带的频率缩放，但E和ρ的独立变化对衰减幅度有明显且可测量的影响，从而强调了在实际ABH设计中分别考虑这两个参数的必要性。
4.3. 阻尼损耗因子
铝基底的损耗因子分别乘以η×10、η×20、η×50和η×100的因子。图11展示了10–8000 Hz范围内的振动传输谱，以及仅改变基于铝的ABH板的损耗因子时的接收端总振动响应和振动衰减性能的比较。可以观察到，随着损耗因子的增加，整体谱线减小，而有效振动衰减带的位置保持不变。这表明损耗因子不改变结构振动的特征频率，只影响振动幅度。此外，随着损耗因子的增加，截止频率之后的曲线减小得更明显。结合第3.3节的结果，向ABH中心区域添加阻尼和增加基底材料的固有阻尼都能促进ABH区域内振动能量的有效耗散，从而增强ABH效应。这表明，在没有额外阻尼的情况下，铝-ABH板中的ABH效应并非无效；由于其厚度梯度特性，它仍然可以产生一定程度的弯曲波集中。然而，由于耗散仅依赖于基底材料的固有能量损失能力，集中在中心区域的振动能量无法充分耗散。因此，当损耗因子较小时，不会形成宽的衰减带。
此外，通过观察五个衰减带的最小值，发现随着损耗因子的增加，这些最小值减弱。这是因为较高的损耗因子增强了结构内的能量耗散，减弱了由局部共振或模态耦合形成的山谷。图11(b)显示，较大的损耗因子导致振动加速度降低和振动衰减性能的提升。从材料阻尼机制的角度来看，损耗因子本质上反映了材料内部耗散能量的能力。高损耗因子材料通过分子链段之间的摩擦和粘弹性变形等机制在振动过程中将更多振动能量转化为热能，从而降低振动加速度的幅度。由于损耗因子不参与控制结构刚度和质量的机械平衡方程，因此对振动特征频率没有显著影响，仅作用于振动能量衰减过程。
4.4. 材料参数的标准化
4.1弹性模量和4.2质量密度的结果表明，弹性模量（E）和质量密度（ρ）通过改变它们的特征频率来影响ABH结构的有效振动衰减带。为了提供这种行为的统一解释，进一步研究了基于E/ρ比率的标准化方法。
从薄板弯曲波传播的理论角度来看，色散关系由结构刚度和惯性共同控制。对于给定的几何形状，弯曲波的特征频率随E/ρ的比率变化而变化。因此，具有不同材料特性的ABH结构的有效振动衰减带可以使用以下归一化关系映射到统一的频率尺度上：(9)fx=f0(Exρx/E0ρ0)，其中fx和f0分别表示目标材料和参考材料的截止频率，比率E/ρ决定了特征振动频率的缩放。为了验证这种关系，比较了E和ρ独立变化但E/ρ比率相同的案例。如图12(a)所示，当E减少1.25倍而ρ相应增加时，或者当E增加2.5倍而ρ相应减少时，经过频率归一化后，振动传递曲线重合。这证实了比率E/ρ决定了ABH结构的频率缩放行为，并为比较不同材料提供了物理意义上的基础。下载：下载高分辨率图像（660KB）下载：下载全尺寸图像图12. 不同E和ρ的结构振动特性比较。此外，为了探索这种归一化是否可以扩展到频率特性之外，在相同条件下分析了弹性应变能密度分布。如图12(b)所示，尽管弹性应变能密度的绝对值不同，但在相应的归一化频率下，空间分布模式几乎相同。这表明E/ρ归一化也适用于ABH结构中的能量局部化的空间特性。为了进一步扩展这一分析，在E和ρ独立变化但保持恒定E/ρ的条件下检查了弹性应变能密度。如图13所示，尽管弹性应变能密度的绝对值不同，但在相应的归一化频率下，其空间分布几乎相同。这表明E/ρ归一化也适用于ABH结构中的能量局部化的空间特性。下载：下载高分辨率图像（579KB）下载：下载全尺寸图像图13. 不同E和ρ的结构中弹性应变能密度比较。然而，也观察到振动幅度和弹性应变能密度的绝对值不能仅通过E/ρ来完全归一化。当E单独变化时，较大的E会导致较高的弹性应变能密度；而当ρ单独变化时，弹性应变能密度保持不变。当E增加时，等效弯曲刚度（D=Eh3/12(1–ν2)）增加，导致在相似的变形状态下应变能密度更高。相比之下，质量密度的变化主要影响惯性响应。因此，即使E/ρ保持恒定，绝对振动响应仍然对E和ρ的独立值敏感。总之，E/ρ归一化为分析ABH结构中的频率缩放和空间能量分布提供了一个稳健的框架，但它没有捕捉到与幅度相关的特性，这些特性在实际设计中必须单独考虑。最后，应当注意的是，这种归一化适用于具有相同几何配置和边界条件的结构。5. 实验验证5.1. 实验设置为了进一步验证前一节的结果，选择了两种E/ρ值接近的材料：6061铝（E=71 GPa，ρ=2820 kg/m3，E/ρ=0.0251 GPa·m3/kg）和钛合金（E=110 GPa，ρ=4360 kg/m3，E/ρ=0.0252 GPa·m3/kg）。根据图2所示的模型尺寸，使用计算机数控（CNC）铣削制造了样品，如图14(a)所示。实验设置如图14(b)所示：ABH板通过两根细弹性绳悬挂在其长度上，并在激励端的中点通过振动台施加10–6400 Hz范围内的宽带白噪声力激励。在激励端和接收端各放置了五个加速度计测量点。为了最小化加速度计质量的影响，每次测试在两端选择了两个对称点进行安装。通过平均多个测量点的加速度来量化振动传递特性，并按以下公式计算振动传递比：(10)Ta=20log10[1n∑i=1n(aout−i/Fi)1n∑i=1n(ain−i/Fi)]，其中Ta是实验测量的振动传递比，aout-i是接收端第i个测量点的加速度，ain-i是激励端第i个测量点的加速度，n是测量点的数量（n=5），F是激励力。下载：下载高分辨率图像（635KB）下载：下载全尺寸图像图14. 振动特性测量：(a) 样品；(b) 实验设置。5.2. 结果与讨论图15比较了基于铝的ABH板的实验结果与数值模拟结果。结果显示，在大约3000 Hz以下，两条曲线几乎相同。在3000 Hz以上，可以观察到一些差异，这可能是由于建模中使用的材料阻尼参数不同、制造过程中ABH轮廓的截断误差以及实验设置中边界条件的影响，以及在更高频率下对建模分辨率的敏感性增加所致。尽管存在这些差异，实验和模拟结果一致地捕捉到了ABH结构的振动衰减特性，主要区别在于幅度。因此，总体而言，数值模拟结果可以被认为是可靠的。下载：下载高分辨率图像（202KB）下载：下载全尺寸图像图15. 实验结果与模拟结果之间的比较。图16展示了基于铝的ABH板和基于钛合金的ABH板的振动传递比谱与其相应均匀板的比较，以及它们的振动响应谱的比较。如图16(a)所示，尽管实验结果也显示了ABH板的振动传递有明显的衰减，但与之前的数值预测相比，振动减少性能有所降低。这种差异主要是由于ABH轮廓的加工公差和实际材料阻尼特性的不确定性所致。尽管存在实验不确定性，但模拟预测的振动衰减带对于基于铝和基于钛合金的ABH板都得到了很好的再现，相应的衰减带总体上是一致的。然而，基于钛合金的ABH板表现出比基于铝的ABH板更明显的振动传递衰减，并且在典型频率带之外也可以观察到额外的衰减。结合图16(b)可以看出，基于铝和基于钛合金的ABH板的振动响应谱显示出相似的整体趋势，而基于钛合金的ABH板始终产生较低的振动幅度。基于钛合金的ABH板的平均振动幅度比基于铝的板低7.8 dB（图16(b)中的虚线表示加速度水平的算术平均值）。这些实验结果进一步证实，尽管比率E/ρ决定了ABH结构中振动传递衰减的频率特性，但E和ρ的绝对值显著影响ABH结构的振动响应。6. 结论本研究通过数值分析和实验验证，从材料驱动的角度系统地研究了嵌入式ABH结构的振动减少机制。主要发现总结如下：(1) 材料类型强烈影响衰减特性。基于金属的ABH在 medium–high 频率范围内表现出狭窄、高幅度的衰减带，而基于聚合物的ABH提供了扩展到更低频率的更宽衰减带，但衰减水平较低。尽管峰值衰减较低，基于聚合物的ABH可以实现更好的整体振动减少。(2) ABH结构中的振动抑制受多种耦合机制的控制，包括局部结构共振、能量局部化和ABH诱导的波形操控。主导机制随频率而变化：低频衰减主要与局部共振相关，而在较高频率下，特别是在存在阻尼的情况下，ABH效应变得显著。(3) 材料参数在控制振动行为中起着不同的作用。弹性模量–密度比（E/ρ）决定了有效衰减带的起始频率，而弹性模量和密度的独立变化通过改变结构刚度和惯性来影响振动幅度。增加阻尼可以增强能量耗散，而不改变特征频率。CRediT作者贡献声明张杰：撰写 – 审稿与编辑，撰写 – 原始草稿，监督，方法论，概念化。赵子轩：撰写 – 原始草稿，验证，软件，方法论。姚丹：撰写 – 审稿与编辑，方法论。吴志军：验证，软件。李江：撰写 – 审稿与编辑。郭少云：撰写 – 审稿与编辑。
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