一种基于增强型长短期记忆预测的动态多目标优化进化算法

王宇|马永杰
中国甘肃省兰州市西北师范大学物理与电子工程学院，邮编730070

**摘要**
动态多目标优化进化算法作为一种解决动态多目标优化问题的关键方法，因其对变化环境的出色适应性和强大的优化性能而受到重视。然而，现有算法在模拟种群进化趋势方面存在不足，导致搜索方向偏离和优化稳定性降低。因此，本研究提出了一种结合长短期记忆（LSTM）预测和多维自适应校正策略的算法。首先引入了加权质心概念，并利用历史数据构建样本集来训练预测模型；其次，通过将LSTM的时间建模能力与卡尔曼滤波的状态校正机制相结合，开发出质心预测模型，以实现种群进化的前瞻性指导；随后提出了一种结合进化方向指导和正交扰动的个体生成机制，以形成具有更强环境适应性的预测种群；最后，应用多维自适应校正策略来减少潜在的预测误差，进一步提高种群适应性。在17个基准问题上与10种竞争算法进行的广泛实验表明，所提出的算法在动态环境中表现出更优的稳定性和适应性。

**引言**
多目标优化问题（MOPs）是描述多个目标之间权衡的重要数学模型，在复杂系统建模中占据重要地位（Liu, 2010）。作为MOPs的时间扩展，动态多目标优化问题（DMOPs）描述了目标函数、决策变量和约束条件具有时变特性的场景。DMOPs的最优解构成了一组随时间演变的帕累托最优解（PS）（Zheng et al., 2016）。近年来，路径规划（Ding et al., 2018）、动态调度（Wang et al., 2017）和资源分配（Ghannadpour et al., 2014）等优化场景中的时变需求推动了DMOPs的系统性研究，并促进了众多优化算法的持续发展和完善。作为基于进化算法的代表性方法，动态多目标优化进化算法（DMOEA）因其对环境变化的出色适应性和强大的多目标搜索能力而成为解决DMOPs的主要方法。2003年，Farina等人首次给出了DMOPs的数学定义。随后，Deb等人基于Farina的数学模型改进了NSGA-II（Deb et al., 2002），并提出了DMOEA——DNSGA-II（Deb et al., 2007），该算法能够优化DMOPs。尽管DNSGA-II在解决DMOPs方面不如现代DMOEA，但其将环境变化检测模块和环境变化响应机制整合到现有的多目标优化进化算法（MOEA）中，为后续DMOEA的发展提供了可行的设计范式。目前，鉴于MOEA对DMOEA优化性能的限制，研究环境变化响应机制已成为提高算法适应性和稳定性的关键方向。主流的响应机制主要包括基于多样性的策略、基于记忆的策略、基于多种群的策略、基于特殊模型的策略和基于预测的策略。

基于多样性的策略（Liu et al., 2023, Liang et al., 2020, Hu et al., 2021）通过保持或增加初始种群的多样性来确保快速适应新环境；然而，如果控制不当，可能会削弱种群的收敛性，从而降低优化效率（Yang et al., 2023）。基于记忆的策略（Zhao et al., 2021, Y. Wang et al., 2025, Guo et al., 2022）通过重用历史进化信息为当前搜索提供方向指导，但过度依赖过去经验可能会降低种群对新环境的适应性。基于多种群的策略（Yu et al., 2024a, Chen et al., 2023）通过维护多个子种群并行工作来实现任务分工与合作，从而提高算法的环境响应能力和解决方案多样性；但如果子种群之间的合作效率低，可能会导致冗余搜索或计算资源浪费。基于特殊模型的策略可以提高算法对环境变化的敏感性。基于预测的策略（Sarkar et al., 2025, Xu et al., 2021）利用历史数据或模型提前估计环境变化趋势，从而指导算法快速调整搜索方向并提高优化效率。作为最流行的响应策略，最小化预测误差是优化这一方法的关键。总体而言，上述每种策略都有其局限性，因此整合多种策略成为增强环境变化响应机制的关键方向（Li et al., 2024, Zou et al., 2025, WANG et al., 2025）。

近年来，计算智能领域深度学习的发展为解决DMOPs提供了新的见解。特别是，由于深度学习模型在特征提取和时间建模方面的优势，它们被广泛探索并应用于环境变化响应策略中。Hou等人（2023）开发了一种以门控循环单元（GRU）神经网络为核心响应机制的DMOEA。该算法使用双层GRU网络作为预测器来捕捉种群进化趋势并实现前瞻性预测。Feng等人（2022）虽然没有直接使用深度学习模型，但引入了自动编码器作为预测模块来捕捉历史解的特征分布并预测新环境中的个体。目前，深度学习模型在环境变化响应策略中的应用主要分为两类：一类是预测种群的整体进化趋势并据此生成适应性个体，另一类是直接预测个体位置以构建初始种群。然而，这两种方法都存在一定的局限性：前者容易因复杂动态环境中的趋势偏差而产生预测误差，后者可能忽略种群结构，影响解决方案多样性。此外，深度学习模型高度依赖高质量训练数据的可用性，并且计算成本较高，这在涉及频繁环境变化或资源有限的实际情况中带来挑战。因此，如何在增强深度学习实用性的同时充分利用其优势成为亟待解决的问题。

为此，本研究提出了一种基于LSTM预测和多维自适应校正策略的DMOEA——LSTM-MDAC。与基于深度学习模型的现有DMOEA相比，LSTM-MDAC构建了一个结合LSTM和卡尔曼滤波的质心预测器。该模型结合了序列建模和误差校正能力，显著提高了预测的稳定性和准确性。此外，为了更准确地反映高质量个体对种群进化趋势的影响，本研究基于个体适应度开发了加权质心，作为上述预测器的训练数据，以增强预测模型感知和响应种群动态的能力。在个体生成阶段，LSTM-MDAC沿预测进化方向生成一半个体，沿正交方向生成另一半个体，形成预测种群。与传统方法相比，该策略能更有效地提升算法的全局搜索能力和动态适应性。最后，设计了多维自适应校正策略来动态调整预测种群，从而补偿LSTM模型中的潜在误差和偏差，提高种群多样性和收敛性能。高性能LSTM预测模型与自适应校正机制的协同作用使LSTM-MDAC在处理复杂DMOPs时表现出更强的竞争力和更高的优化效率。本研究的主要贡献如下：
- 提出了加权质心的概念，该方法引入个体权重来衡量每个个体对质心位置的贡献，从而让高质量解决方案在质心计算中发挥更大作用，避免传统质心中优劣个体影响相等导致的代表性不足问题；
- 提出了一种由LSTM引导的质心预测策略，首先利用加权质心的历史数据构建训练样本，然后通过将卡尔曼滤波集成到LSTM网络中，设计并实现了五层LSTM质心预测模型；最后根据预测的质心确定种群的进化方向，并沿进化方向生成一半个体，沿正交方向生成另一半个体以形成预测种群；
- 考虑到预测结果可能包含误差，进一步提出了多维自适应校正策略，从个体、决策空间和目标空间三个维度依次对预测结果进行微调，以获得兼顾快速收敛和多样性的初始种群，从而提高算法的优化性能。

**问题定义**
在最小化背景下，DMOP通常表示为方程（1）所示的数学模型（Farina et al., 2003）：
minF(x,t) = f1(x,t), f2(x,t), …, fm(x,t)
s.t. x ∈ Ω = ∏i=1n[Li,Ui]
其中t表示时间变量，x = (x1, x2, …, xn)表示决策变量，F = (f1, f2, …, fm)表示目标函数。Li是决策变量的下界，Ui是其上界。

**定义1 帕累托优势**
对于种群中的任意两个个体e和v，如果f(e) ≺ f(v)，则e支配v。

**提出的算法**
本节将详细描述LSTM-MDAC。具体而言，LSTM-MDAC的整体框架将在3.1节中介绍，而3.2节将介绍LSTM引导的质心预测策略，3.3节将介绍多维自适应校正策略。

**测试函数**
为了评估LSTM-MDAC在各种DMOPs上的优化性能，对17个测试函数（DF1–DF14 (Jiang et al., 2018) 和 DMOP1–DMOP3 (Goh and Tan, 2008)）进行了相关实验。其中，DMOP测试套件包含3个相对容易优化的两目标测试函数，DF测试套件包含9个两目标测试函数（DF1–DF9）和5个三目标测试函数（DF10–DF14）。这些测试函数全面模拟了各种情况。

**结论**
尽管现有的DMOEA能够响应动态变化，但它们对种群进化趋势的描述不够准确，容易导致搜索偏差，从而降低优化效果和稳定性。为了解决这个问题，本文提出了一种基于LSTM预测和多维自适应校正策略的DMOEA（LSTM-MDAC）。LSTM-MDAC主要由两个优化模块组成：LSTM引导的质心预测策略和多维自适应校正策略。

**作者贡献声明**
王宇：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、软件开发、方法论、数据整理、概念化；
马永杰：撰写——审稿与编辑、监督、项目管理、资金获取。

**利益冲突声明**
作者声明没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文报告的工作。

**致谢**
本工作得到了国家自然科学基金（NSFC）项目（项目编号：62466054, 62066041）的支持。