用于开孔机械超材料的极小表面上的属调谐设计

机械超材料通过调控三重周期极小曲面（TPMS）的 genus 实现性能优化。研究表明， genus 增加导致曲率分布变化，提升材料刚度与能量吸收能力，部分指标达哈辛-什特里克曼理论极限177%。该策略为轻质高强材料开发提供新范式。

王岩|雷宇|崔瑞志|金元|达南特·哈利姆|程加利·J.|邓碧薇

中国浙江省宁波市永江实验室，315202

摘要

基于三周期极小曲面（TPMS）的机械超材料通过其数学定义的开放蜂窝结构，为定制机械性能提供了前所未有的机会。尽管现有研究已经探讨了TPMS超材料的固有特性、多物理应用和几何设计，但系统的机械可调性方法仍不完善。在这里，我们引入了一种“属数调节”策略，作为系统设计基于TPMS的机械超材料的新几何自由度。通过综合数值和理论分析，我们证明了增加属数会引发结构演变，从而改变高斯曲率分布，同时保持平均曲率为零。新生成的TPMS超材料上的高斯曲率分布在调节应力分布中起着关键作用，从而实现了在宽范围内的刚度和能量吸收的灵活调节。值得注意的是，在相对密度为0.04-0.12的范围内，杨氏模量平均增加了47%，最大值达到了Hashin-Shtrikman上界的177%，而剪切模量提高了84.0%。定向属数调节使TPMS超材料在单轴载荷下能够达到蜂窝结构的近94%的刚度。随着属数水平的提高，3D打印的TPMS超材料的比能量吸收显著增加，从1.77 J·g⁻¹上升到6.93 J·g⁻¹。总体而言，这项工作确立了属数作为机械性能的基本拓扑描述符，并为开发轻质、高度可定制的超材料提供了强大的设计范式。

引言

具有开放蜂窝结构的材料，其内部蜂窝空间完全连通[1,2]，具有重量轻[3,4]、空气和流体可渗透[5,6]以及调节光和声传播的潜在能力[[7], [8], [9]]。诸如航空航天结构[10,11]、生物医学支架[[12], [13], [14]]、骨植入物[15,16]和声学隔离[17,18]等广泛应用，都受益于开放蜂窝材料提供的独特物理特性。最近，具有卓越机械性能的开放蜂窝机械超材料引起了广泛的研究关注[19,20]。通过创新的结构设计，已经明确展示了高恢复性[21,22]、可拉伸性[23,24]、韧性[25,26]和能量吸收[[27], [28], [29]]。重要的是，由于自支撑几何形状和流体树脂或粉末的容易排出[30], [31], [32]，开放蜂窝结构可以通过3D打印技术轻松制造。因此，在过去十年中出现了丰富的实验验证，这些验证用其他制造技术几乎无法实现。然而，具有开放蜂窝结构的材料面临一个重大挑战：随着密度的降低，刚度和强度会迅速下降。以内部弯曲变形为主的泡沫的刚度与密度成二次方关系[33,34]。而强度则根据失效模式的不同，与密度的关系为1.5或2倍。精心设计的以拉伸为主的晶格超材料与以弯曲为主的泡沫相比性能更好[35]。尽管如此，它们仍然无法达到理论预测的机械性能上限[36]。

另一方面，由平板构建的封闭蜂窝结构的机械超材料在数值上已被证明能够在Hashin和Shtrikmen的理论范围内实现最大模量[[37], [38], [39]]。尽管这些超材料的实验验证需要额外的结构设计修改以适应3D打印过程（例如在板上添加孔作为树脂出口），这不可避免地会降低结构的刚度[40,41]。从封闭蜂窝板超材料的力学中得到的一个关键经验是，当结构受载时，平面应变应主导变形，以实现极端的体积模量和剪切模量。通过精心组装设计厚度的板，可以显著抑制外部载荷下的弯曲变形，从而确保刚度和强度达到理论上限。然而，在现有的开放蜂窝结构设计中实现这一点仍然具有挑战性。

三周期极小曲面（TPMS）是一种独特的开放蜂窝结构，由单一的弯曲膜构成[42,43]。TPMS将三维空间划分为两个无限的子空间，这些子空间对任意边界都是开放的。这种在基于膜的3D结构中极为罕见的开放蜂窝配置源于TPMS的拓扑性质所禁止的自相交[[44], [45], [46]]。有趣的是，也有报道指出基于TPMS的结构可以实现达到Hashin-Shtrikman上界的体积模量[47,48]。这种机械行为表明，TPMS结构在静水载荷下可以抑制弯曲变形。然而，与在剪切载荷下提供卓越刚度的板状超材料以及在单轴载荷下提供最大刚度的蜂窝结构相比，迄今为止报道的TPMS结构在这些载荷条件下的表现仍然不足[49]。尽管一些研究通过混合蜂窝结构将机械性能提高到了接近理论极限[50], [51], [52]]，但传统的单一单元格参数调节方法通常仅关注单元格的几何参数（如厚度和单元格大小[[53], [54], [55], [56]]，这些方法只能在理论极限的有限范围内调整机械性能。为了解决这个问题，战略性地演化TPMS超材料的几何形状以获得目标机械性能而不牺牲其开放蜂窝性质至关重要。

在这项工作中，我们重新发现了TPMS中的拓扑概念“属数”，并开发了一种属数调节策略来创建具有改进机械性能的新TPMS超材料。我们的策略非常灵活，因为生成的高属数TPMS提供了六种不同的TPMS结构，即FRD-A（Schoen FRD表面）、SD（Schwarz' D表面）、FRD-B（Schoen混合表面）、Batwing（Batwing表面）和Manta（Schoen's Manta表面）以及SP（Schwarz' P表面）被选为超材料设计的基本开放蜂窝结构。通过调节每个TPMS的属数，生成了六类超材料。在这些超材料家族中展示了显著的机械性能调制。通过数值模拟验证了机械性能与关键几何参数——TPMS上的高斯曲率积分之间的联系。具体来说，随着高斯曲率积分的减小，弹性刚度和抗压性能得到了提高。值得注意的是，比杨氏模量和比剪切模量都有了显著提升。与理论刚度上限的差距也显著缩小。此外，超材料的抗压性能（通过其比能量吸收来表征）也得到了显著改善，这一点通过数值模拟和实验得到了验证。总之，TPMS结构中的属数调节允许开放蜂窝轻质材料在几何和机械上进行灵活定制。这种方法扩展了超材料的设计能力，并可以扩展到其他基于膜的系统中，实现更加多样化和高效的高级材料设计。

文章的结构如下：第2节首先介绍了新型TPMS机械超材料的几何构造方法和属数调节设计，以及刚度评估方法、有限元分析、制造和机械测试程序。第3节定量讨论了属数调节过程中的几何演变，包括高斯曲率积分、表面积密度和体积相对密度的计算。第4节研究了这些超材料的弹性行为与微观力学理论上限的对比。随后，第5节使用综合数值和实验方法研究了它们的抗压性能。第6节总结了工作内容，并展望了其对超材料研究领域的潜在影响。

部分摘录

方法

在本节中，给出了五种不同属数级别的TPMS的设计。然后介绍了超材料的机械评估方法。最后，展示了样品的制造和机械测试方法。

几何参数研究

本节系统研究了属数变化对TPMS结构的深远影响。分析分为两部分，重点关注几何特性：首先，研究了增加属数级别如何改变基于壳的TPMS中的曲率分布；其次，研究了属数对壁状TPMS相对密度的影响，这是决定机械性能的关键参数。

弹性性能和各向异性

本节研究了属数变化对TPMS结构中的性能-结构关系的影响。它证明了随着属数的增加，定向拓扑演变如何从根本上决定了弹性各向异性。此外，通过展示仅在单一轴上限制属数增长的Schwarz P结构的成功开发，展示了这一原则的战略应用，为定制机械性能提供了途径。

抗压性能和能量吸收

本节全面研究了属数调节如何控制TPMS超材料的大变形响应和能量吸收。分析首先阐明了潜在的变形机制，表明属数引起的高斯曲率分布变化直接影响膜的折叠、扭曲和结构致密化过程中的卡住效应，从而增强了抗压性能。随后，定量研究了属数的影响。

结论

总之，本研究提出并系统研究了一种基于三周期极小曲面的机械可调开放蜂窝超材料的新属数调节策略。六种不同的TPMS结构（FRD-A、SD、FRD-B、Batwing、Manta和SP）作为基础架构，通过控制属数变化生成了六类超材料。几何分析表明，增加属数级别会导致高斯曲率逐渐集中

CRediT作者贡献声明

王岩：撰写——原始草稿，验证，调查，形式分析。雷宇：撰写——审阅与编辑，撰写——原始草稿，可视化，项目管理，数据管理。崔瑞志：验证，调查。金元：监督，资源提供。达南特·哈利姆：监督，软件，资源提供。程加利·J：监督，资源提供，项目管理，概念化。邓碧薇：撰写——审阅与编辑，资源提供，项目管理，资金获取，