近年来，深度学习方法逐渐被引入计算材料科学领域，并开始用于晶体材料的粗粒化建模[1]。然而，纯数据驱动的范式通常具有黑盒性质，并且严重依赖于大量高质量的训练数据[2]。这极大地限制了它们在复杂物理系统中的应用。为了解决这些限制，Raissi等人[3]提出了物理信息神经网络（PINNs），该网络将控制方程和边界条件直接嵌入损失函数中，从而为解决复杂物理问题提供了一种新的计算方法。
自那时起，PINNs在固体力学[4]、热传递[5]等工程应用中表现出良好的性能，并逐渐发展成为一个有吸引力的无网格计算框架[6]。尽管如此，现有研究仍主要集中在连续体偏微分方程的求解[7]和连续体层面的多尺度建模上。对于涉及原子间相互作用的非局部性和跨尺度界面一致性的原子-连续体耦合问题，直接且有效的计算框架仍然缺乏。在本研究中，我们专注于将PINNs应用于原子-连续体（CAC）建模。
通过原子-连续体耦合进行多尺度材料建模是计算力学和材料科学交叉领域的一个核心挑战[8]。原子方法（例如分子静力学和动力学）能够高精度地捕捉微观力学行为，但其计算成本随系统尺寸呈指数级增长，限制了它们在宏观问题中的应用。相反，连续体方法（如有限元方法（FEM）[9]在计算上高效，但无法解析原子异质性或缺陷引起的非线性[10]。
为了在精度和效率之间取得平衡，已经开发了多尺度原子-连续体耦合方法，这些方法基于在含有缺陷的区域（例如位错、裂纹、夹杂物）保持完全原子分辨率的策略[11]，而对无缺陷的体区域则使用连续体模型。然而，由于FEM的局部框架与原子相互作用势的非局部本质之间的理论不匹配[12]，在原子和连续体域之间实现无缝耦合仍然是一个主要挑战。
跨尺度传递物理信息需要能量守恒、力平衡和位移连续性的兼容性，以准确捕捉材料行为。现有的CAC方法[13]通常分为两类：
（1）基于能量的方法（例如准连续体方法（QC [14]）；长度尺度耦合（CLS [15]）；簇能量准连续体（CQC(m)-E [16]）；桥接域方法（BD [17]）；以及桥接尺度方法（BSM [18]）通过构建包含原子、连续体和界面区域的全局能量泛函来确定系统平衡。这些方法统一了能量描述，但经常在界面产生非物理的“幽灵力”。人工能量泛函可以部分缓解这个问题，但通常会增加计算复杂性并降低收敛性。
（2）基于力的方法（例如混合模拟方法（HSM [19]；耦合原子学和离散位错（CADD [20]）；原子到连续体（AtC [21]）；有限元/原子方法（FEAt [22]）；以及簇力准连续体（CQC(m)-F [23]）通过强制界面原子与网格节点的对齐来消除幽灵力。然而，它们会复杂化复杂几何体的网格生成，并且由于其非保守性质，经常遭受数值不稳定性和收敛性受限的问题。
随着技术的进步，已经开发了多种CAC框架来应对不同物理条件下的界面耦合挑战。对于晶体材料，Xu等人[24]率先提出了耦合原子/离散位错（CADD）方法，引入了检测带机制来监测跨域的位错迁移。Davis [25]基于原子场理论（AFT）建立了统一的原子-连续体公式，通过FEM实现多尺度耦合。对于有限温度和大规模并行模拟，Wang等人[26]开发了一种基于平滑分子动力学的并发MD-MPM框架，并在计算集群上展示了可扩展的效率。Towhidi等人[27]提出了一致线性耦合（CLC）方法，该方法放宽了兼容性约束以提高效率而不牺牲精度。这些发展增强了CAC模型的适用性和可靠性。
进一步的进展改进了界面建模。例如，Adytia等人[28]引入了一种基于锚点的统计耦合方法，使用拉格朗日乘数来为FEM-分子动力学（MD）混合体构建虚拟功原理，实现连续位移映射。Chakraborty [29]开发了一种重叠界面域方法，结合粒子和配置方法在保持牵引力和运动学兼容性的同时传递位错密度。在此框架的基础上，CAC与相场模型相结合，研究了裂纹尖端的位错形核。Wang [30]扩展了混合准连续体方法，开发了基于能量的BQCE和基于力的BQCF方法，实现了平滑的能量和力过渡，并严格验证了收敛性。
从这篇综述中可以看出，当前的CAC框架主要基于传统的能量和基于力的范式。虽然它们在均匀变形情况下表现稳健，但在非均匀变形场景中存在固有的局限性[31]。此外，传统的CAC方法面临两个主要的计算障碍[32]：依赖于连续体区域的网格离散化[33]以及依赖于迭代求解器[34]来求解控制方程，这两者都显著增加了计算成本并影响了效率-精度权衡。
与此同时，最近开发了几种基于PINNs的多尺度建模策略，包括通过域分解[35]或在连续体PDE层面进行多尺度表示[36]的方法，以及用于放大的基于操作符学习的替代模型[37]。然而，这些方法主要针对连续体尺度的多尺度问题，并没有直接解决原子-连续体耦合问题，其中的核心挑战源于原子间相互作用的非局部性和需要界面一致的能量传输。
作为回应，本研究将PINNs整合到CAC框架中。跨尺度耦合问题被重新表述为全局能量驱动的变分优化问题，其中总系统能量作为训练目标。使用配置方法[38]作为界面处理的基础，我们构建了一个用于多尺度耦合的全面损失函数。这种基于配置的CAC框架实现了无网格建模和无缝耦合[39]。此外，通过PINNs，传统的迭代求解控制方程的方法被重新表述为神经网络参数空间中的基于梯度的优化问题，为多尺度模拟提供了另一种计算范式。
本研究的主要贡献总结如下：
（1）方法论贡献：将跨尺度耦合重新表述为神经网络参数空间中的基于梯度的优化问题[40]。在这个框架中，全局能量驱动的损失函数通过最小化总系统能量来指导训练，利用神经网络的并行性来减少多尺度模拟中的自由度（DOFs）和复杂性。
（2）算法框架：整合配置方法 [38] 与 K均值聚类[41]，构建了一个具有自适应代表性原子选择和能量加权的训练框架。这种方法克服了显式界面耦合函数和有限元网格离散化的双重限制，提高了通用性和适用性。
（3）强边界约束方案：通过为受边界约束的原子指定预定义的位移，在网络层面直接施加边界条件。这消除了弱约束方法中固有的错误，确保了独立于惩罚参数的准确性，并稳定了总能量损失的收敛性。同时，它减少了参数搜索空间和训练开销，同时提高了稳定性并降低了优化中的自由度。
本文的其余部分组织如下。第2节介绍了所提出的PINNs-CAC框架，包括使用K均值聚类构建具有自适应能量加权和代表性原子选择的损失函数。第3节概述了采用的神经网络架构。第4节通过三个基准问题评估了PINNs-CAC模型的性能：（i）在外部载荷下的一维原子系统的变形，（ii）二维原子晶格中的表面效应表征，以及（iii）含有缺陷的三维原子结构的静态松弛。使用LAMMPS进行的完全原子模拟作为参考。第5节总结了贡献并讨论了潜在的未来研究方向。
