在增材制造中，具有特征尺寸的非均匀共形晶格结构的拓扑优化

非均匀仿生格构拓扑优化方法有效解决了增材制造中狭窄区域格构尺寸不足的问题，通过隐式建模与等参变换实现密度和尺寸梯度分布，结合实时特征尺寸优化准则和细胞合并机制确保制造可行性，数值和实验证明该方法能显著提升格构结构的力学性能和适应性。

张月|李宝通|曾亮|李宇涛|孙慧斌|孙鹏飞|周静|牛俊|洪军

西安交通大学机械工程学院，710049，中国西安

摘要

增材制造在轻量化设计中应用日益广泛，建立能够适应复杂几何形状的共形晶格结构成为关键研究焦点。然而，大多数共形晶格依赖于均匀的单元分布，这种分布难以应对设计空间中的显著变化。这通常会导致狭窄区域内的单元尺寸低于制造工艺的限制，从而限制了其工程应用性。为了解决这个问题，本文提出了一种非均匀共形晶格拓扑优化方法，该方法考虑了单元尺寸和密度的梯度，从而克服了均匀假设所带来的制造约束。该方法结合了隐式建模技术和等参变换理论，生成具有空间变化密度和尺寸的参数化晶格结构。引入了一种实时优化准则，该准则根据增材制造的特征尺寸要求，在迭代过程中触发单元合并机制，以确保可制造性。数值示例和三点弯曲测试表明，非均匀共形晶格结构能够有效保持几何形状，延缓应变局部化，并提高结构刚度和承载能力。对典型工程部件（如返回舱保护结构、发动机叶片和舵）的设计研究进一步证明了该方法在处理复杂几何形状方面的适用性和鲁棒性。

引言

增材制造的快速发展扩展了设计自由度，使得复杂结构的集成制造成为可能，从而加速了轻量化结构的研究和应用[1]、[2]、[3]。作为轻量化结构的典型代表，晶格结构由于其出色的比强度[4]、比刚度[5]和出色的能量吸收能力[6]，在增材制造中受到了广泛关注。最近，研究人员积极探索新的设计策略，以进一步提高晶格结构的性能。例如，将机器学习算法与晶格配置设计相结合，为开发适用于增材制造的多尺度晶格结构开辟了新的研究方向[7]。在这种情况下，拓扑优化起着基础性作用，因为它能够确定最佳的材料分布[8]、[9]。此外，它与增材制造相结合，构成了先进的“设计-制造集成”范式[10]、[11]、[12]。目前，晶格结构的拓扑优化方法已经相当成熟；然而，这些方法主要适用于规则的设计领域。在实际工程应用中，特别是在航空航天领域，由于空气动力学形状[13]、[14]、承载性能[15]和减重[16]等严格要求，设计领域往往受到狭窄空间的限制，如图1a所示。传统上，对于涉及复杂几何形状的晶格设计问题，使用布尔运算来修剪规则晶格结构[17]，然后将其与复杂形状结合生成共形晶格结构（图1b，顶部）。然而，这种方法在边界处会产生许多不完整的单元，从而影响晶格结构的性能。

为了解决这个问题，已经开发了用于生成共形晶格结构的拓扑优化方法[18]、[19]、[20]、[21]。这些方法旨在设计出精确适应复杂几何形状的晶格结构，同时提供出色的机械性能（图1b，中间）。尽管已经取得了一些进展，但大多数现有方法仍然依赖于单元均匀的假设。当设计空间发生显著变化时（图1b，l₁→l₂），这种假设就不再适用。例如，在较宽的区域（图1b，l₁），均匀单元可以确保性能并可靠制造。然而，在空间有限的狭窄区域（图1b，l₂），均匀单元假设会导致狭窄区域内的单元数量与较宽区域相同（图1b，②→②），这压缩了狭窄区域内的单元空间和单元构件，使其尺寸低于增材制造的特征尺寸限制。因此，会出现制造缺陷，如构件缺失、结构变形和封闭空腔。为了解决这个问题，研究人员提出了基于投影和过滤的最小尺寸控制方法[22]、[23]，这些方法可以在优化过程中自动避开尺寸过小的结构特征，从而确保设计的可制造性。然而，这些方法需要将高阶几何连续性约束直接嵌入前端优化模型中，大大增加了问题解决的复杂性。因此，在考虑增材制造特征尺寸限制的情况下，实现大规模晶格结构的高效优化设计仍然是一个需要进一步探索的领域。

自然晶格结构[24]，如竹子[25]、骨头[26]和珊瑚[27]，通过非均匀的单元尺寸和相对密度分布[28]、[29]（图1b，底部）适应外部载荷和空间约束。基于这种生物学灵感，本文提出了一种用于空间受限复杂几何形状的非均匀共形晶格结构拓扑优化方法，旨在克服均匀单元分布的局限性（图1c）。所开发的方法可以总结如下：对于几何建模，结合了基于三周期极小表面（TPMS）的隐式建模技术和等参变换理论，开发了一种非均匀共形晶格隐式建模技术。为了确保梯度晶格在尺寸和密度变化过渡区域的几何连续性，引入了Heaviside插值函数并将其集成到隐式建模技术中，从而实现梯度晶格结构的高阶连续性建模。使用等参变换技术将规则晶格结构转换为精确适应复杂几何形状的共形晶格结构，从而确保几何一致性。对于物理计算，采用了非均匀共形晶格结构的均质化映射技术[30]。该技术将复杂的晶格结构简化为具有等效机械性能的均质化材料，提高了拓扑优化迭代的效率。对于拓扑优化，引入了基于增材制造特征尺寸限制的实时优化准则。在优化过程中，监测晶格中每个单元的支柱直径。一旦支柱直径低于特征尺寸，就会触发单元合并机制，将多个小单元合并为一个较大的单元，以增加支柱直径。这确保了共形晶格结构，特别是在容易产生制造缺陷的狭窄区域，满足增材制造工艺的要求。最后，研究了两种在受限空间中的晶格结构设计问题。数值和实验结果证明了所提出方法在设计非均匀共形晶格结构方面的有效性。

本文的其余部分组织如下：第2节介绍了受限空间中非均匀共形晶格结构的建模和设计方法。第3节开发了一种有效的隐式共形建模技术，用于生成大规模非均匀共形晶格结构。第4节将数值均质化方法与映射策略相结合，计算共形晶格结构的等效机械性能。第5节提出了基于增材制造特征尺寸限制的优化准则，并建立了非均匀共形晶格结构的拓扑优化框架。第6节描述了用于生成与优化机械性能相匹配的非均匀共形晶格结构的映射方法。第7节通过数值示例验证了所提出方法的有效性。最后，第8节总结了研究并提供了最终评论。

部分摘录

非均匀共形晶格结构的建模和设计方法概述

为了实现受限空间中晶格结构的优化设计，本文提出了一种非均匀共形晶格结构的拓扑优化方法。该方法包括四个步骤（图1c）。第一步，基于TPMS隐函数的几何建模技术用于参数化具有密度和尺寸梯度的晶格结构（见第3节）。第二步，将均质化映射模型与

非均匀共形晶格结构的几何建模

几何建模是实现非均匀共形晶格结构设计的基础。传统的晶格结构，如体心立方（BCC）、面心立方（FCC）和简单立方（SC）结构，通常在显式建模框架内使用边界表示（B-Rep）方法进行建模[31]。该方法基于面、边和顶点的拓扑关系描述单元几何形状，并生成晶格结构

共形晶格结构等效属性的计算

数值均质化是一种评估晶格结构机械性能的经典方法[39]、[40]、[41]。然而，共形晶格结构中的每个单元都有独特的形状，传统的数值均质化方法在计算复杂晶格结构的等效弹性属性方面存在局限性。根据张[30]提出的均质化映射方法，可以通过结合

拓扑优化模型

本文提出了一种拓扑优化方法，该方法同时优化单元相对密度和单元尺寸，以设计非均匀晶格结构。该方法旨在最小化晶格结构的柔顺性，以轻量化设计准则作为体积约束，并使用单元相对密度$\rho$和尺寸因子$d$作为设计变量。因此，优化问题可以表述为寻找密度场和尺寸的最优分布

非均匀共形晶格结构映射方法

在获得优化的相对密度场和尺寸场后，使用基于TPMS的隐式建模技术将晶格结构映射到设计域中，以构建非均匀晶格结构。如图5所示，该方法首先将相对密度转换为隐函数的级别控制参数，将尺寸因子转换为隐函数的尺寸控制参数，用于生成四维级别集。然后，通过

结果与讨论

在本节中，通过两个数值示例展示了所提出优化方法的有效性和适用性。第一个是经典的弯曲梁结构，用于原理验证，其有效性通过三点弯曲测试得到证明。第二个涉及工程部件的共形晶格结构设计，包括雷达罩、返回舱保护结构、叶片和舵，旨在验证

结论

为了解决均匀共形晶格结构在复杂设计域中特征尺寸不足导致的可制造性挑战，本文提出了一种拓扑优化方法，该方法结合了尺寸和密度梯度来设计非均匀共形晶格。通过结合基于TPMS的隐式建模、等参变换和均质化映射，该方法能够实现晶格的参数化生成和机械性能预测

CRediT作者贡献声明

孙鹏飞：可视化、验证、研究、概念化。李宇涛：可视化、验证、研究、数据整理。孙慧斌：可视化、验证、研究、数据整理。李宝通：撰写——审稿与编辑、监督、资源管理、项目管理、资金获取。曾亮：形式分析、数据整理。张月：撰写——初稿、可视化、项目管理、方法论、研究、概念化。洪军：

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金（批准号52175249）的支持，特此表示感谢。