摘要
研究硅的非线性光学特性，特别是非线性折射率和双光子吸收（TPA），对于开发近红外、中红外和远红外区域的高效光子器件至关重要。本研究探讨了掺杂和注入过量载流子对硅非线性光学特性的影响。结果表明，掺杂浓度导致的带隙变窄现象显著影响了与非线性折射率和TPA相关的光谱函数。具体来说，随着掺杂量的增加，这些函数的峰值向更长波长移动，TPA的光谱宽度也会增加。此外，还研究了载流子类型（施主或受主）对非线性折射率的影响。结果显示，在掺杂浓度恒定的情况下，p型硅的非线性折射率高于n型硅，尤其是在高掺杂杂质的情况下这种差异更为明显。这种行为归因于线性折射率和长波长下载流子响应的差异，突显了掺杂类型在精确设计电光器件中的重要性。同时，掺杂浓度的增加提高了硅的非线性折射率和TPA，为增强非线性光学相互作用提供了潜力。然而，这也为某些应用引入了不希望出现的光学损耗。为了验证我们的研究结果，将其与文献中的实验数据进行了比较。因此，精确控制带隙能量以及掺杂的类型和浓度对于优化基于硅的光子器件在红外区域的性能非常重要——尤其是在调制器、光开关、光波导和放大器中。作为将研究结果应用于非线性现象的一个简单例子，研究了载流子浓度对自相位调制（SPM）现象的影响。最后，模拟了光脉冲通过具有不同载流子浓度的硅波导的传播情况。
1 引言
硅光子学因其与互补金属-氧化物-半导体（CMOS）制造工艺的兼容性、具有成本效益的生产潜力以及能够与大量单片光学组件集成而受到了广泛关注[1-3]。此外，随着硅光子学扩展到新的波长范围，特别是在中红外和远红外区域，理解硅的非线性光学特性对于开发先进的光子器件变得至关重要[1-8]。硅的所有电子和光学特性都很重要。然而，研究非线性现象，特别是双光子吸收（TPA）和非线性折射率，对于基于硅波导的电光器件的设计和性能尤为重要[3, 5, 6]。由于新型高功率光源的出现[10]，非线性光学（NLO）的研究势头得以加强[9]。文献中既有对非线性光学的经典处理方法，也有量子处理方法以及实验报告[11-13]。在忽视非线性效应二十年后，NLO在20世纪80年代开始受到重视[14]。在接下来的几十年里，光纤通信的发展避免了非线性光学缺陷的负面影响[15-17]。然而，到了世纪之交，非线性光学效应开始被用于推进光学系统的发展[17]。描述非线性光学现象的一个重要方面是非线性易感性，它将施加的电场强度与材料的极化联系起来[13]。对于硅这种中心对称材料，偶数阶易感性消失，因此研究重点主要放在与三阶及更高阶非线性易感性相关的光学效应上[13]。当将强电磁场施加到具有显著非线性折射率的材料中时，材料的总折射率会发生变化，这可能导致各种自相互作用效应，如自聚焦、自相位调制（SPM）、自陡化等[13]。这与TPA有关，而TPA过程显著影响[18, 19]。实际上，电子非线性折射率主要被视为TPA的因果结果，类似于线性折射率是线性吸收的结果[18-20]。早期对光学固体中非线性折射率的研究主要集中在远低于带隙能量的波长范围内[18, 19]。然而，最近的研究已经扩展到远高于TPA边缘的波长区域，甚至在某些材料中发现了负值的非线性折射率[21]。TPA是一种材料同时吸收两个光子的非线性过程；这一现象在硅波导和电光器件中尤为重要[13, 21]。首先，TPA可能导致不必要的非线性损耗，限制了非线性光学过程的效率[21]。其次，理解和控制TPA对于双光子显微镜等应用以及为了制造目的而改变光学材料的折射率至关重要[21]。对于硅光子学，特别是在近红外区域，TPA被认为是非线性光学过程的一个限制因素[20]。然而，在中红外和远红外区域，可以通过减少硅中的TPA来利用由三阶非线性易感性效应引起的非线性现象[20]。TPA现象最早由Kaiser和Garret在1961年发现[21, 22]，其主要应用之一是确定能级位置。这促使开发了一种有用的光谱工具，帮助研究人员更准确地了解原子和分子的电子结构。TPA在研究奇异态和复杂能量结构方面变得尤为重要[21]。先前的研究广泛探讨了硅的非线性光学特性。Tsang及其同事等人报告了近红外区域的Kerr系数和TPA系数[20]。Bristow及其同事以及Lin及其同事提供了覆盖更宽波长范围（直至2300纳米）的这些参数的全面测量[20, 23, 24]。Hoon及其合作者对体块晶体硅的三阶非线性光学系数进行了建模，包括三阶非线性易感性的实部，直至中红外波长[20]。他们的工作强调了这些系数的波长依赖性，并指出了之前实验数据中的不一致之处[20]。虽然基础模型建立了体块晶体硅在中红外和长波红外波长范围内的波长依赖的三阶非线性系数（包括非线性折射率n2和TPA系数β）[20]，但这项研究主要关注了本征/轻度掺杂材料的非线性特性，没有考虑高掺杂浓度或注入过量载流子引起的带隙变窄（BGN）效应。载流子注入在光学和半导体材料中的效应，导致折射率变化和非线性效应的出现，引起了广泛关注[25, 26]。实验结果表明，硅和锗的三阶非线性折射率系数以及与TPA相关的非线性吸收系数取决于自由载流子的浓度[25, 26]。这对于设计光子芯片中的调制器和光传播至关重要。例如，最近的研究开始关注对这些波导进行工程化（控制色散和非线性效应）[1, 3, 5, 27-29]。非线性折射率和非线性吸收系数强烈依赖于半导体的带隙能量。这种能量会因自由载流子的注入而改变[30, 31]。关于载流子注入存在下带隙能量减少的影响的研究表明，增加载流子浓度会导致带隙能量降低[30, 31]。此外，结果表明，重掺杂会导致热平衡下的电子-空穴产额发生变化。由于带隙能量的降低，掺杂密度的增加导致电子-空穴产额增加[30, 31]。这种减少被称为BGN现象。在之前的研究中，从载流子传输测量中提取BGN值时，对少数载流子的迁移率和寿命做出了各种假设。最近的一个理论模型为n型和p型硅提供了与实验数据非常吻合的BGN参数与载流子浓度之间的理论关系[30, 31]。基于此，已经制造出了各种硅器件[32-34]。值得注意的是，自上个世纪末以来，已有许多研究探讨了过量载流子注入对硅的线性折射率和线性吸收的影响[35-38]。Soref和Bennett证明了自由载流子在近红外区域对活性光子器件（如电光调制器）的设计具有非常重要的影响[35, 36]。最近的研究探索了硅波导在电信范围之外的波长下的电光效应，发现由于自由载流子的吸收，长波长处的光衰减增加，以及2微米附近调制器的性能[37, 38]。最近的实验研究强调了掺杂、缺陷和材料改性在增强非线性光学响应中的关键作用，特别是在近红外光子学应用中。例如，对TlInSSe和Tl2In2S3Se单晶中的缺陷态的研究表明，局部缺陷有助于非线性吸收（单光子和双光子过程），并在近红外激发下改善了光学限制性能[39]。同样，InSe单晶中的硼掺杂被证明可以增强近红外区域的非线性吸收和光学限制阈值，而在更高掺杂浓度下非线性响应更为明显[40]。其他关于某些晶体材料（如Bi12SiO20）的研究探讨了激发波长依赖的非线性机制和增强的限制特性[41, 42]。这些在半导体和晶体系统中的实验发现激发了当前对硅的理论建模，其中（由重掺杂或过量载流子注入引起的BGN可以类似地调节线性和非线性光学特性。特别是在中红外和远红外区域，这种修改预计是有利的，因为在那里TPA被抑制，从而可以更有效地利用三阶非线性效应。最近的一项研究探讨了过量载流子注入对n型和p型硅的线性折射率和线性吸收的影响，波长范围为1-8微米[43]。结果表明，随着载流子浓度的增加，折射率和线性吸收都发生了显著变化，尤其是在长波长处，n型和p型硅的变化不同。对于线性折射率的研究结果表明，在恒定掺杂浓度下，p型硅的变化始终大于n型硅，尽管这种差异随着浓度的增加而减小[43]。还研究了额外载流子注入对折射率的影响。观察到载流子注入显著影响了整体折射率，尤其是在长波长处[43]。总体而言，这项研究表明，自由载流子注入影响了硅在中红外区域的光学行为，这种效应在长波长处更为明显。这突显了载流子注入作为电光器件设计中的一个工程因素的重要性。特别是，准确理解这一因素有助于优化用于中红外芯片技术的波导结构。值得注意的是，我们最近的研究[43]和Nedeljkovic及其同事提出的经验模型[36]主要关注自由载流子引起的线性电折射和线性电吸收，而在本研究中，我们将探讨掺杂浓度和过量载流子注入对硅的非线性光学特性的影响，特别关注红外波长范围内的非线性折射率和TPA系数。因此，全面理解吸收特性，特别是TPA和硅的非线性折射率，对于硅光子学的持续发展至关重要，尤其是对于设计在宽红外波长范围内高效有效的电光器件。本文的目的是研究过量载流子对硅的TPA和非线性折射率的贡献，特别是它们对电光器件设计的影响。首先，将研究过量载流子对n型和p型硅的带隙能量的影响。随后，由于带隙能量的重要贡献，将讨论其对掺杂硅的非线性折射率和非线性吸收系数的影响。最后，通过应用获得的结果，研究了载流子浓度对SPM现象的影响。
2 载流子浓度对非线性电折射和电吸收影响的模型
在磷（n型）或硼（p型）掺杂的硅中，掺杂浓度通过称为BGN的现象显著影响带隙能量[30, 31]。随着载流子浓度的增加，BGN效应变得更加明显[30, 31]。严和库埃瓦斯通过拟合他们自己测量的热复合电流密度，开发了适用于n型硅的BGN模型。他们还使用了费米-狄拉克统计和玻尔兹曼统计来推导“真实”和“表观”BGN的表达式[30, 31]。他们的研究结果表明，当使用费米-狄拉克统计时，Schenk提出的理论BGN模型忽略了复合电流[30, 31]。因此，他们基于自己的测量数据开发了经验模型。这些模型表达了BGN与掺杂浓度的依赖关系。基于费米-狄拉克统计的BGN模型与光致发光测量结果吻合得很好，后者反映了“真实”的BGN。而基于经验数据的“表观”BGN模型则与通常使用玻尔兹曼统计分析的电流测量结果最为吻合[30, 31]。同样，在硼掺杂（p型）硅中，也发现硼原子的浓度会导致BGN现象。使用费米-狄拉克统计，对于这两种掺杂类型，BGN都被建模为：
(1)
其中，是硅中导带和价带之间的BGN，代表n型和p型硅的掺杂浓度，以及[30, 31]中的其他参数。决定半导体材料非线性光学响应（由非线性易感性引起）的关键因素之一是它们的带隙能量。带隙能量不仅直接影响TPA的幅度，还影响非线性折射率[30, 31]。根据Sheik-Bahae及其同事引入的非线性色散关系，非线性折射率由下式给出[18, 19, 21]：
(2)
其中，与带隙能量的四次方成反比（单位为eV）[18, 19, 21]。方程(2)表明，较小的带隙能量会导致更强的非线性折射率。在方程(2)中，分别代表普朗克常数、真空中的光速、光的角频率以及材料的线性折射率。Ep=21eV，常数“K”是通过实验确定的，其单位使得结果符合预期。此外，通用光谱函数由下式给出[18, 19, 21]：
(3)
该函数源自非线性Kramers-Kronig变换，描述了的光谱色散特性，并表明其值在TPA阈值附近增加，然后随着波长的增加而减小，甚至可能变为负值。这一行为已在26种以上不同的材料中得到实验验证[21]。这一特性使设计者能够通过调节掺杂来工程化非线性光学响应的工作范围。在图1中，光谱函数在0.8–5µm的波长范围内对几种掺杂浓度进行了绘制。可以观察到，掺杂浓度不影响光谱函数的峰值；相反，峰值向更长波长移动，函数变得更宽。
图1：基于掺杂剂的光谱函数G2。TPA系数也与带隙能量有关[18, 19, 21]。
(4)
其中，光谱函数为
(5)
一般来说，当两个光子的总能量等于材料的带隙能量时，就会发生TPA。从图2可以得出，掺杂浓度对函数F2有显著影响。通过增加掺杂剂（降低带隙能量），硅的TPA光谱范围变得更宽。换句话说，TPA的截止波长向更长波长移动。这在硅光子学中尤为重要，既可用于利用TPA现象，也可用于管理其不利影响。
图2：基于掺杂剂的光谱函数F2。根据方程(1)（该方程基于实验数据[30, 31]），载流子类型对硅中的BGN没有影响（尽管实际可能存在轻微差异）。因此，载流子类型不会显著影响硅的G2和F2函数，而掺杂浓度，如图1和图2所示，在这些函数中起着重要作用。值得注意的是，方程(2)和(4)中的参数取决于掺杂浓度[36-38, 43]。最近，研究了过量载流子注入对n型和p型硅的线性折射率和线性吸收的影响，波长范围为1–8µm[43]。Nedeljkovic等人[36]对由于过量载流子注入导致的硅的线性折射率变化进行了建模：
(6)
其中，分别代表相对于本征载流子浓度的过量电子和空穴浓度的变化[36]。函数p(λ)、q(λ)、r(λ)和s(λ)是波长依赖的函数，最近在参考文献[43]中进行了计算。根据Sellmeier方程（用于确定介质中的光色散），未掺杂硅的线性折射率由下式给出[13, 21]：
(7)
其中，硅的常数系数（B1、B2、B3、C1、C2和C3）在[44, 45]中给出。使用方程(6)和(7)，可以得到由于过量载流子存在而导致的总线性折射率的变化：
(8)
因此，根据方程(2)和(4)，显然除了掺杂浓度外，掺杂类型也会影响非线性折射率和非线性吸收系数，这将在后续章节中讨论。从图3可以清楚地看到，总线性折射率（方程(8)）受到注入载流子的影响。随着载流子浓度的增加，特别是在较长波长处，变化更为显著。对于p型硅来说，这种变化比n型硅更为明显。
图3：五种不同过量电子（a）和空穴（b）浓度下掺杂硅的总折射率。
3. 硅的非线性电折射和电吸收结果分析
在本节中，我们检查了在不同掺杂浓度下计算出的非线性参数，包括非线性折射率和非线性吸收系数。从图中可以看出，非线性折射率和非线性吸收系数都受到掺杂浓度的影响。值得一提的是，如果想要研究硅波导中的光脉冲传播，可以通过将自由载流子生成率方程与广义非线性薛定谔方程耦合来模拟在各种光脉冲特性（如峰值功率、重复率和脉冲宽度）下产生的自由载流子[44]。
3.1 非线性折射率
非线性折射率是根据方程(1)计算得出的。图4显示，随着掺杂浓度的增加，n型和p型硅的峰值都向长波长移动。图中的变化率与掺杂浓度之间没有线性关系。在10^20 cm^-3的掺杂水平下，与较低浓度相比，变化变得更加明显。此外，在较高浓度下，非线性折射率的零交叉点出现在更长的波长处。这些变化清楚地表明，材料的非线性光学强度随着掺杂浓度的增加而增强。换句话说，随着掺杂的增加，硅波导材料对入射光波的影响能力增强。这一特性在涉及波长调制和其他光子功能的应用中至关重要。
图4：随着硅掺杂，非线性折射率的变化：(a)施主（n型）和(b)受主（p型）杂质。为了更好地理解n型和p型硅两条曲线之间的差异，图5展示了两种掺杂浓度下的情况。在较低浓度下，差异不是很明显；然而，随着掺杂水平的增加，载流子类型的影响变得显著。如图5所示，在较高掺杂浓度下，掺杂了过量受主型载流子的硅的非线性折射率始终高于掺杂了施主型载流子的硅——尤其是在中红外波长范围内。需要注意的是，由于方程(2)中使用的线性折射率依赖于载流子类型和载流子浓度（根据方程(8)和参考文献[43]中的结果），因此不同载流子类型导致的非线性折射率差异源于此。
图5：掺杂了过量受主型（虚线）和施主型（实线）载流子的硅的非线性折射率，掺杂浓度分别为（蓝色）和（红色）。对于用于电信的未掺杂硅，1.55µm波长的非线性折射率通常被作为一个参考值。从图6（图4的放大视图）可以看出，随着掺杂浓度的增加，1.55µm波长的非线性折射率减小，并且在掺杂水平略高于（对于n型情况）时变为负值。这种现象显著影响了脉冲（中心位于1.55µm）在硅波导中的传播过程中的非线性效应，例如自聚焦和自陡化。例如，自陡化会导致超短脉冲输出的光谱展宽不对称。这种非线性效应是由于群速度依赖于光强度[13, 21]。根据克尔效应，高强度光脉冲的折射率变得依赖于强度[13, 21]。因此，群速度也变得依赖于强度。结果，脉冲的峰值以不同于其前沿和后沿的群速度传播。因此，如果，脉冲在后沿形成光学冲击波；如果，则在前沿形成。这导致脉冲形状在传播过程中出现不对称畸变。
图6：随着硅掺杂，非线性折射率的变化：(a)施主（n型）和(b)受主（p型）杂质，波长范围为1.5–1.6 µm。从迄今为止讨论的结果可以得出，掺杂浓度在低水平注入时不影响硅的非线性折射率。图7中，根据所讨论的理论得出的硅的非线性折射率与两组现有实验数据[24, 46]进行了比较。从图7可以看出，在1.8 µm以下的波长范围内，得到的曲线在参考文献[24]报告的实验结果误差范围内。此外，在3.9 µm波长处，Ensley和Bambha报告的实验结果与得到的数据完全一致。但在1.8–2.2 µm的波长范围内，曲线与实验结果偏离。这个范围大约是简并TPA发生的最大值。这里没有考虑非简并TPA、拉曼吸收或由于交流斯塔克效应引起的吸收。鉴于这些效应的物理机制，如果考虑这些效应，预计非线性折射率曲线的峰值将会降低，并在1.8–2.2 µm的波长范围内接近实验数据。然而，目前没有实验数据可以测量高水平注入下的硅的非线性折射率。
图7：低水平注入（实线）掺杂硅的非线性折射率。红色和蓝色圆圈分别代表[24]和[46]报告的实验数据。在1.8–2.2 µm的波长范围内，该范围接近硅的TPA边缘（简并TPA达到最大值），我们当前的模型与现有实验数据[24, 46]有明显偏差。从图7可以看出，在1.8 µm以下的波长范围内，计算出的非线性折射率n2被高估（显示出更明显的峰值）。
3.2 由于TPA引起的非线性吸收
对于非线性吸收系数也观察到了类似的趋势，它主要受TPA控制。这里，根据掺杂剂分析了非线性吸收系数。图8中的结果显示，随着掺杂浓度的增加，非线性吸收系数的峰值显著向长波长移动。此外，观察到在大约2.5 µm以上的波长范围内，非线性吸收系数趋近于零。这种行为可以归因于图2所示，函数F2在这个波长范围之外变为零。这对于设计用于光放大器和开关等应用的材料具有重要意义。如图8所示，随着掺杂浓度的增加，TPA的截止波长向长波长移动。图8 在图查看器或PowerPoint中打开
掺杂硅的归一化TPA（双光子吸收）在五种不同掺杂剂下的表现。“A”是归一化因子，其中Ep=21 eV，“K”是通过实验确定的，单位使得结果得以呈现。根据图3中显示的曲线（这些曲线源自[43]的研究结果），可以明显看出，掺杂浓度对线性折射率的影响在2.5 µm以上的波长最为显著，在此波长范围内，不同载流子类型对折射率的影响和差异变得明显（在此波长以下，掺杂类型对折射率的影响相对较小）。在TPA图中（图8），TPA在约2.5 µm之后趋近于零。因此，可以得出结论，载流子类型对TPA没有显著影响，这与非线性折射率的情况不同。还需要注意的是，除了这里讨论的简并TPA（它在总非线性吸收中起主要作用）之外，非简并TPA、拉曼吸收以及由于交流斯塔克效应（AC Stark effect）引起的吸收也贡献了整体的非线性吸收，每种机制的重要性取决于具体情境。在未来的工作中，我们计划考虑这些额外的机制。由于克拉默斯-克朗尼格关系（Kramers–Kronig relations）将吸收和折射率联系起来，这些效应也会影响非线性折射率。在这里，讨论我们结果的一些预测能力是有用的，这些能力对于波导设计非常有用。表1和表2分别给出了p型和n型硅在1.55 µm和3.88 µm波长下的非线性折射率和双光子吸收系数（TPA）作为掺杂浓度的函数（已经制造了一个用于3.88 µm波长的硅波导作为调制器）。
表1. p型硅在1.55 µm和3.88 µm波长下的非线性折射率和双光子吸收系数（β）作为掺杂浓度的函数。
掺杂浓度，cm−3
载流子类型
波长，µm
n2 × 10^−7，cm2/W
β × 10^−3，cm/GW
10^14
p型
1.55/(3.88)
4.74/(16.6)
2.77/(0)
10^16
p型
1.55/(3.88)
4.27/(16.9)
2.80/(0)
10^18
p型
1.55/(3.88)
0.77/(19.2)
3.02/(0)
10^19
p型
1.55/(3.88)
−3.57/(22.9)
3.26/(0)
10^20
p型
1.55/(3.88)
−11.60/(38.8)
3.62/(0)
表2. n型硅在1.55 µm和3.88 µm波长下的非线性折射率和双光子吸收系数（β）作为掺杂浓度的函数。
掺杂浓度，cm−3
载流子类型
波长，µm
n2 × 10^−7，cm2/W
β × 10^−3，cm/GW
10^14
n型
1.55/(3.88)
4.76/(16.6)
2.79/(0)
10^16
n型
1.55/(3.88)
4.30/(16.9)
2.84/(0)
10^18
n型
1.55/(3.88)
0.81/(19.1)
3.08/(0)
10^19
n型
1.55/(3.88)
−3.55/(22.5)
3.35/(0)
10^20
n型
1.55/(3.88)
−11.72/(37.1)
3.72/(0)
根据表1和表2，可以得出结论：对于p型和n型硅，在1.55 µm波长下，随着掺杂浓度的增加，非线性折射率会降低到负值。负的n2值使得在高掺杂波导中产生新的非线性现象。而在3.88 µm波长下，非线性折射率随着掺杂浓度的增加而增加。非线性折射率的符号来源于之前讨论的光谱函数。可以理解，在1.55 µm波长下，随着掺杂浓度的增加，TPA系数会增加。此外，根据图8，该系数在3.88 µm波长下为零。与n型硅相比，p型硅在较高掺杂浓度下的非线性折射率更高，这主要是由于在较长波长下线性折射率的显著变化（如图3和方程（2）所示）。在高掺杂水平下，自由载流子等离子体色散效应导致折射率的显著降低，p型硅在长波长下的变化（即负值减小）比n型硅更为明显。这种差异主要是由于硅中空穴的有效质量大于电子。由于折射率与非线性克拉默斯-克朗尼格关系（Kramers–Kronig relations）和色散模型（如方程（2）密切相关，这些依赖于波长和掺杂浓度的变化直接导致较长波长和较高掺杂浓度下折射率的更大差异。当等离子体色散贡献占主导时，这种效应尤为明显，放大了两种载流子类型之间的不对称性。此外，空穴的迁移率显著较低，特别是在高掺杂情况下，由于离子化杂质的散射增加，导致散射率更高。这些增强的散射过程可以改变带内贡献，并增强自由载流子介导的三阶非线性易感性，进一步导致p型硅中观察到的n2值升高。更高的散射率可以增强带内跃迁，并改变三阶非线性易感性（χ(3)），可能增加p型硅中的束缚电子或自由载流子介导的克尔非线性。此外，能带结构（价带比导带更弯曲）和态密度的差异可能导致在带边缘或高掺杂区域非线性响应的不对称性。
4 一个简单的例子：将结果应用于非线性现象
在本节中，我们应用我们的发现来分析掺杂浓度对SPM（自相位调制，SPM）现象的影响。这是一种由克尔效应（Kerr effect）引起的非线性光学效应，导致传播光脉冲中心频率周围的光谱展宽[13, 21]。光学克尔效应表明，折射率变得依赖于强度，因此会随时间变化，这是由于脉冲包络的影响。这导致传播常数（propagation constant）随时间变化，从而引起相位移动。因此，在传播过程中会发生频率移动。这种行为将会被讨论。光脉冲的传播常数和总相位作为时间和沿传播方向z的函数可以分别由Agrawal[13]给出。
因此，频率的时间和空间变化可以表示为：
(9)
(10)
图9显示了高斯脉冲在1厘米长度内的频率时间变化，该脉冲的峰值强度为1 GW/cm²，脉冲持续时间为1 ps，中心频率为1.55 µm（t/t0被视为归一化时间）。从图9可以看出，在掺杂浓度为...时，由于相关的正非线性折射率，脉冲的前沿向低频率移动，而后沿向高频率移动。
相比之下，在更高的掺杂浓度下，情况则相反，前沿向高频率移动，后沿向低频率移动。这清楚地表明，注入过多的载流子对SPM现象有显著影响。因此，在涉及SPM的系统中，可以通过载流子注入来主动管理这种效应。值得一提的是，当高强度输入脉冲被注入硅波导时，应该注意由光生自由载流子引起的非线性相位移动。这种非线性相位移动会影响SPM，可以使用微扰方法[47]来处理。
5 硅波导内的脉冲传播：直观理解
在这里，我们打算模拟不同载流子浓度下通过硅波导的脉冲传播，这些载流子浓度导致非线性折射率的不同的符号。完全描述通过硅波导的脉冲传播（包含色散和非线性效应）的方程是广义的非线性薛定谔方程（generalized nonlinear Schrodinger equation），它与自由载流子浓度生成和复合的方程耦合[13, 44]。通常，基于本研究的结果，研究不同载流子浓度对脉冲传播的影响是有指导意义的。一个简单的无色散情况，用于描述低峰值功率脉冲通过硅波导的传播，可以由[13]描述：
(12)
其中z、T、A(z,T)、...分别是传播方向、时间、传播脉冲的幅度、输入脉冲的中心角频率和波导的非线性参数。非线性参数由[11, 13]给出：
(13)
在本文中，为了模拟不同载流子浓度下通过硅波导的脉冲传播，假设一个初始的高斯脉冲，峰值功率为25 W，脉冲宽度为30 fs（中心频率为1.55 µm），被注入到1厘米长的硅波导中，掺杂浓度分别为...和...。波导的有效模式面积被认为是[44]，但应该注意的是，模式面积可能会受到掺杂浓度的影响。在掺杂浓度为...和...时，波导的非线性参数分别为59.5 W和−44.3 W−1m−1（中心频率）。非线性参数的符号来源于相应的非线性折射率的符号。现在，为了模拟脉冲传播，通过实施四阶龙格-库塔方法（4th order Runge–Kutta method）[11, 13]来求解方程（12）。图10a,b显示了在掺杂浓度分别为...和...时，假设脉冲在硅波导内的传播情况。正如预期的那样，由于非线性效应，输入脉冲会发生光谱展宽，但最有趣的特征是掺杂浓度对脉冲演化的影响。因此，可以得出结论，掺杂浓度可以是硅波导设计中的一个工程因素。
图10显示了在掺杂浓度分别为...和...时，脉冲沿硅波导前1厘米的传播结果。图11a,b以对数尺度显示了两种掺杂浓度下的输出光谱和时间剖面。可以看出，输出处的生成光谱宽度受到掺杂浓度的影响。时间剖面也展示了产生的差异。由于在中心频率下，掺杂浓度为...和...时，波导的非线性参数分别为59.5和−44.3 W−1m−1，图11b清楚地显示了由于非线性参数符号导致的相位移动的反转。
6 结论
在这项研究中，调查了掺杂和过量载流子注入对硅的非线性光学性质——特别是非线性折射率和TPA——的影响，涵盖了红外波长范围。结果表明，由于掺杂浓度的增加，BGN（布里渊散射，BGN）直接影响了与非线性折射率（G2）和TPA系数（F2）相关的光谱函数。具体来说，观察到随着掺杂浓度的增加，这些函数的峰值向长波长移动，TPA的光谱范围相应扩展。还研究了载流子类型（施主或受主）对非线性折射率的影响。发现，在高掺杂浓度下，p型硅的非线性折射率高于n型硅。在低注入水平下，掺杂浓度对硅的非线性折射率没有显著影响。通过与现有实验数据的比较，可以得出结论，所提出的理论与现有实验结果吻合良好。此外，在1.55 µm波长下，非线性折射率会降低，甚至在掺杂水平增加时可能变为负值，影响波导中的非线性现象，如自陡化和脉冲整形。例如，研究表明，增加硅中的掺杂浓度会影响SPM现象，即光脉冲的频率移动方向发生反转，从而可以通过载流子注入来控制这种效应。这种行为源于长波长下线性折射率和载流子动态的变化，突显了掺杂类型在精密设计电光器件中的重要性。通过模拟不同掺杂浓度下通过硅波导的脉冲传播，可以得出结论，掺杂浓度可以被视为硅波导工程中的一个设计参数。总体而言，虽然增加掺杂浓度可以增强硅的非线性响应，但也可能导致不必要的光学损耗。因此，精确控制带隙能量、带隙类型以及掺杂水平对于优化基于硅的光子器件在红外区域的性能至关重要——尤其是在调制器、波导、光开关和光放大器的设计方面。作者贡献：
Elahe Namjoo：概念构思（主导），数据整理（主导），初稿撰写（主导）。
Abolfazl Safaei Bezgabadi：概念构思（主导），研究工作（协助），监督（主导），验证（主导），审稿与编辑（主导）。
Mehrnaz Monajati：研究工作（协助），验证（协助），审稿与编辑（协助）。
资金情况：
作者无需报告任何资金来源。
利益冲突：
作者声明不存在任何利益冲突。
数据可用性声明：
本研究分析的数据集可应相应作者的要求提供。
