Herschel–Bulkley流体中最小阻力体的形状优化与表面涡量分析

摘要(Abstract)：研究人员研究了Herschel–Bulkley流体（含幂律指数N与宾汉屈服应力τY，即Bingham数B=τYU1−NLN/μ）中，受恒定体积（三维）或恒定面积（二维）约束下平移刚体的最小阻力(drag-minimising)形状及其表面流动特性。通过形状变分(shape–variation)分析与黏塑性边界层理论，研究人员证明：任意Herschel–Bulkley流体中，最优体表面涡量（即表面应变率ṡγ）非零且非奇异；对于幂律流体(B=0)及高宾汉数(B≫1)宾汉流体，阻力对微小形变的灵敏度正比于表面涡量之(N+1)次幂或表面速度梯度平方，故最优体必具常值表面涡量(constant surface vorticity)。利用尖点处局部渐近分析，研究人员给出二维与三维最优体尖端内角随N及B的变化规律——剪切稀化或高B时尖端更锐(二维内半角→45°)，强剪切增稠(N→∞)时间端钝化(二维内半角→75°，三维→约57.74°)。高B时形状变分公式亦可用于计算圆柱等典型形体的阻力系数，重现Randolph & Houlsby (1984)滑移线结果Cd=2π+4√2。结果表明：最小化耗散势(dissipation potential)之形体于任意Herschel–Bulkley流体亦具常值表面涡量；固定表面积或体积约束下最优形之表面涡量与平均曲率存在幂律关系。

研究背景与意义

低阻力外形设计在黏塑性(non-Newtonian viscoplastic)流体输送与地下工程中具有重要意义。以往对牛顿流体最小阻力体（如Pironneau 1973, Richardson 1995）已有研究，但Herschel–Bulkley流体（幂律黏度+屈服应力）中形状优化理论尚不完善，尤其是屈服应力导致未屈服区(plug/unyielded region)与黏塑性边界层(viscoplastic boundary layer)共存，经典变分法难以直接应用。本文在《Journal of Fluid Mechanics》发表，旨在建立Herschel–Bulkley流体中刚体定常平移时最小阻力形状的变分原理，明确最优体表面涡量(surface vorticity，即表面切向应变率magnitude ṡγ=∣∂u/∂n∣)分布规律，并通过局部尖点渐近分析获得尖端角随流变参数的变化，为高Bingham数情形提供新的阻力计算方法。

主要关键技术方法

采用形状变分(shape–variation)法推导任意微小法向位移h^(ε)(s)引起阻力变化的一阶表达式；对高Bingham数宾汉流体引入黏塑性边界层渐近分析（厚度δ∼B^−1/2贴体层与δ∼B^−1/3分离层），将全域积分化为边界层面积分并利用散度定理化简；对二维及轴对称三维尖点区域建立极坐标/球坐标局部流动方程，假设常值表面涡量后求解三阶ODE边值问题，用打靶法(shooting method)数值求解尖端半角α及函数f(θ)；对纯幂律流体(B=0)通过无量纲化消除未知ω，直接数值求解特征值问题获得尖端角随幂律指数N的变化。

研究结果

§3 Surface vorticity on the optimal body in Herschel–Bulkley fluids

通过分析Herschel–Bulkley本构关系与无滑移边界条件，论证若最优体某处表面涡量消失则可通过局部缩小形体降阻，与该处为最优矛盾；若表面涡量奇异则在尖点邻域积分发散亦不可能最优。故任何Herschel–Bulkley流体中drag–minimising body of fixed volume (3–D)或fixed area (2–D)之表面涡量为有限非零常数，且在尖点附近ṡγ∼r⁰（与径向距离无关）。

§4 Drag variation following a shape change

4.1 Power–law fluids：由动量守恒与应力–应变关系导出一般形体阻力对形变的灵敏度 −F₁^(ε)=N∫_∂Sh^(ε)ṡγ^N+1dS，该式对二维/三维及任意N成立，N=1时退化为牛顿流体Pironneau–Richardson结果。

4.2 Surface vorticity on the optimal body in power–law fluids：结合体积/面积约束泛函变分J^(ε)=∫h^(ε)(Nṡγ^N+1−λ)dS，令J^(ε)=0得ṡγ^N+1=λ/N=const，故幂律流体最优体表面应变率（及涡量）处处相等。

4.3 Change in body shape within a high–Bingham–number fluid：高B≫1时流场由未屈服区与两类黏塑性边界层构成，仅贴体边界层(V_BL)对阻力变分有O(Bh^(ε))贡献。在边界层内采用(s,n)坐标与近似∂u/∂n=ṡγ_sn，推得阻力扰动 −F₁^(ε)=(1/2)∫_VBL(∂u/∂n)(∂u^(ε)/∂n)dV。

4.4 Surface vorticity on the optimal body in high–Bingham–number fluids：最优体不允许有无黏塑边界层之区（否则可外扩降阻），故∂S_BL=∂S，最终 −F₁^(ε)=(1/2)∫_∂Sh^(ε)(∂u/∂n)²dS，与牛顿情形差因子1/2。结合固定面积/体积约束泛函得(∂u/∂n)²=const，即高B宾汉流体最优体表面涡量亦为常数。

§5 Local analysis at the ends of the optimal body

5.1 Two–dimensional optimal body of fixed area

在尖点设极坐标(r,θ)，壁面位于θ=α(外半角)，内半角β=π−α。引入f(θ)表征扰动速度，边界条件f(α)=f′(α)=0, f″(α)²=ω², f(0)=f″(0)=0。对B=0幂律流体无量纲化消去ω得g(t)二阶ODE，打靶法求解得α(N)：N=1(牛顿)时β₀=51.3°；N→0(塑性极限)时β→45°；N→∞(强剪切增稠)时β→75°。对N=1宾汉流体引入修正宾汉数B̂=B/ω，数值求解表明B̂→0→β=51.3°，B̂≫1→β→45°，与未屈服帽(unyielded cap)尖角一致。

5.2 Three–dimensional optimal body of fixed volume

球坐标(r,θ,φ)轴对称分析得类似f(θ)方程。牛顿情形(N=1,B=0)解析解给出内半角β=60°(α=2π/3)。幂律流体数值结果：N→0时β→约57.72°；N增大β增大趋向某值。宾汉流体修正B̂下，B̂→0→β=60°，B̂≫1→β→57.74°，与球体前驻点未屈服区帽尖角吻合。高B̂时本体区ṡγ/ω∼B̂^−1/2，贴体薄层ṡγ较大。

§6 Discussion

五项主要结论：(i) Herschel–Bulkley流体最优体表面涡量非零非奇异；(ii) 幂律流体与高B宾汉流体之形状变分阻力灵敏度分别关联Nṡγ^N+1与(1/2)(∂u/∂n)²；(iii) 上述两情形下最优体具常值表面涡量；(iv) 剪切稀化/高B使尖端锐化(二维β→45°，三维β→57.74°)，剪切增稠使钝化(二维β→75°)；(v) 二维尖点内半角收敛至45°(高B或N→0)及75°(N→∞)。形状变分式(4.20)可用于高B下由已知黏塑边界层计算任意形阻力（验证圆柱C_d=2π+4√2），且指示可通过在高低ṡγ区分别收缩/扩张非优形体以降低阻力。附录A给出固定表面积(3–D)或固定周长(2–D)约束下ṡγ∝κ^1/(N+1)（牛顿时即Montenegro–Johnson & Lauga 2015结果），高B时ṡγ∝κ^1/2。附录B证明最小化总耗散势Φ=∫(Bṡγ+ṡγ^N+1/(N+1))dV之形体对任意Herschel–Bulkley流体亦有常值表面涡量，幂律/牛顿/高B时Φ∝−F₁故与drag–minimiser等价。

结论翻译(Conclusions)

研究人员证明：任意Herschel–Bulkley流体中定体积(三维)或定面积(二维)最小阻力平移刚体之表面涡量(表面应变率)非零且非奇异；对幂律流体(B=0)及高宾汉数(B≫1)宾汉流体，任意形体经微小法向形变所致阻力变化可由表面积分表达——前者正比于h^(ε)Nṡγ^N+1，后者正比于(1/2)h^(ε)(∂u/∂n)²——由此推出此类流体中最优体具常值表面涡量。尖点局部分析显示：屈服应力或剪切稀化流体使高剪切区惩罚较小，故最优体尖端更锐(二维内半角趋近45°，三维约57.74°)；剪切增稠流体中应变率服从极大极小优化，近均匀应变率伴较钝尖端(二维内半角趋近75°)。高B时所得形状变分关系可用于由黏塑边界层直接计算圆柱等形体阻力系数，结果与滑移线理论一致。固定表面积约束下幂律流体最优体满足ṡγ∝平均曲率κ^1/(N+1)，高B时ṡγ∝κ^1/2；最小化总耗散势之形体于任意Herschel–Bulkley流体亦有常值表面涡量。