超材料是人工设计的材料，在拉伸/压缩、剪切或扭转作用下表现出非常规的机械性能[[1], [2], [3]]，例如各向同性[4,5]、拉伸-扭转耦合[6,7]、负剪切模量[8]和负泊松比[[9], [10], [11]]。超材料的非凡机械行为源于其定制的微观结构设计，超越了传统材料化学成分的限制。这使得超材料能够展现出卓越的功能，包括非线性机械响应[[12], [13], [14]]、可调波操控[[15], [16], [17]]、多模态变形机制[18,19]以及可重构的旋转多稳态行为[20,21]，推动了生物医学设备[[22], [23], [24]]、无损检测[25]、自适应制造[20,26,27]和减震结构[[28,29]]的创新。具体来说，这些超材料使得设计负泊松比医疗支架[30,31]、基于声波的缺陷检测[32]、通过多模态变形机制制造可穿戴设备[33], [34], [35]]、通过定制的非线性响应吸收冲击能量[36], [37], [38], [39]]以及基于旋转多稳态机制的动态阻尼器成为可能。
在超材料的多种机械性能中，刚度是一个关键指标，它决定了承载响应[[42], [43], [44]]，使得可以定制设计以实现特定的机械性能。特别是非线性机械响应使得超材料能够实现变刚度，从而能够动态适应不同的工作条件或功能要求[[45], [46], [47]]。根据刚度调制机制，变刚度机械超材料（VSMM）设计可以大致分为两种类型。第一种类型通过外部刺激（如热场[[48], [49], [50]]、磁场[46,51,52]或机械加载[53,54]）来实现可调刚度，从而能够全局调整力-位移曲线。例如，嵌入弹性基质中的多材料结构可以通过温度变化来调节刚度[50]，而受中国太极启发的齿轮结构则通过齿轮旋转来调整整体刚度[53]。第二种类型在不同位移阶段表现出变刚度，通常特征为J形的力-位移曲线：初始阶段的刚度较低，表现出灵活性，随后随着位移的增加刚度迅速增加，赋予了韧性。这种行为通常通过精心设计的超材料实现，例如模仿动物皮肤组织的晶格超材料[55,56]、可穿戴自适应机械超材料[[57], [58], [59]]以及用于振动隔离的折纸超材料[60,61]。最近，在VSMM的开发方面取得了开创性进展，这已成为超材料设计的主要焦点之一。然而，VSMM的设计和应用仍然面临重大挑战，例如J形曲线中刚度和过渡点的精确控制。这源于复杂机制的普遍存在，包括大的几何变形、接触非线性和耦合的多尺度变形，导致宏观响应表现出强烈的非线性和参数敏感性[42]。因此，根据具体应用要求定制VSMM设计仍然是当前研究的重要焦点。
曲线梁的几何形状提供了广泛的可调性，使其成为VSMMs的有前途的构建模块[54,62]。尽管可以通过调整厚度等参数来定制曲线梁的几何形状，但这些参数变化通常与多个性能特性（例如刚度和峰值力）强烈耦合，使得独立控制变得困难。引入一个硬止机制来终止曲线梁的变形可以调整峰值力，但对刚度的影晌有限[63]。相比之下，优化曲线梁的几何配置（如其曲率分布和材料布局）可以精确控制变形模式和内部力路径，从而允许独立调节刚度和峰值力[64,65]。这种基于几何配置的优化策略提供了更广阔的设计空间，从而利用曲线梁固有的非线性行为，在超材料中构建更灵活的机械响应。
将优化设计方法与机器学习（ML）相结合，为超材料的逆向设计提供了一种高效且准确的工具[66,67]。常见的优化方法，如参数优化和拓扑优化，可用于超材料的逆向设计，以精确控制其机械性能和几何结构[[68], [69], [70], [71], [72]]。这些方法结合了有限元模型（FEM）和优化算法，以在给定的设计空间内高效搜索满足目标的超材料配置。例如，参数优化通过调整单元格的几何参数来增强性能，而拓扑优化则重新分配材料以创建实现期望性能的非直观几何形状。然而，这些方法通常需要复杂的敏感性分析和大量的FEM迭代计算。最近将ML与优化算法相结合，显著提高了逆向设计的效率和准确性[42,73,74]。通过多层非线性映射，ML自动揭示了设计空间中隐藏的、非直观的关系和复杂耦合，从而能够精确预测目标性能[[75], [76], [77]]。通过构建替代模型，ML将昂贵的基于物理的高保真模拟的成本转移到了预处理阶段。凭借近乎即时的推理和智能的设计空间探索能力，ML显著加速了参数到性能的映射和搜索过程[66,78,79]。这种能力在处理具有复杂非线性相关性的高维设计空间时具有明显优势。然而，传统的ML回归模型本质上是确定性的one-to-one映射，只能为目标特征提供一个最优结构预测，难以捕捉超材料逆向设计中普遍存在的非唯一性。
生成式人工智能代表了一种解决物理逆问题的范式转变。通过从连续且平滑的潜在空间采样，它系统地探索了超出人类直觉的设计空间，有效捕捉了目标特征和几何参数之间的复杂one-to-many映射。这一能力使得各种深度生成模型在机械超材料设计中得到了成功应用[80]。例如，变分自编码器通过学习结构化的潜在表示生成了具有预定弹性模量的晶格结构[81]；生成对抗网络以完全数据驱动的方式产生了高保真的微结构以实现目标机械响应[73]；扩散模型由于其出色的生成质量，在设计复杂的大变形超材料方面展现了卓越的潜力[82]。在用于超材料逆向设计的深度学习架构中，基于多层感知器的逆向生成流程也被认为是一个可行的途径。尽管在处理多模态映射方面存在固有的局限性，多层感知器仍然是具有明确定义的参数空间和相对简单映射关系的逆向设计任务的实用且可靠的选择。例如，Ha等人基于多层感知器开发了一个框架，用于快速逆向设计机械超材料，同时考虑了制造不确定性[58]。尽管ML已被用于设计复杂的非线性机械行为[81]，但具有强几何非线性的多阶段VSMM的逆向生成仍然具有挑战性。一方面，用于处理非理想结构的神经网络通常需要高质量的训练数据集，而数据生成的高成本构成了瓶颈[75]。此外，非线性超材料中的多个过渡点和区域刚度变化对于定制设计至关重要，但依赖单一回归模型难以精确逆向生成满足所有目标的几何配置。
为了解决这些挑战，本文提出了一种基于ML的逆向设计框架，用于定制目标VSMM。利用FEM中微观结构设计的灵活性和ML强大的非线性拟合能力，该框架通过两个步骤实现VSMM的定制。首先，训练有素的ML模型逆向生成曲线梁的目标特征。其次，编程这些定制的微观结构在变形过程中引入耦合效应，赋予宏观结构变刚度。这种设计策略规避了高度非线性和多目标问题，实现了力-位移曲线上刚度分布的精确控制，并提高了灵活性。测试结果表明，训练有素的逆向网络生成的曲线梁准确率达到96.89%。此外，通过有限元仿真和实验验证了所提出超材料的机械性能。目标和实验测量结果的保真度高于93.8%，实现了完全可定制的变刚度行为。最后，我们使用设计的超材料开发了一种变刚度轮，并通过动态测量验证了其在不同条件下的适应性。所提出的方法为VSMM设计提供了一种高效、可定制的解决方案，为各种应用奠定了基础。
本文的其余部分组织如下：第2节介绍了VSMM的设计概念及其通过ML驱动方法的实现。第3节通过有限元仿真和实验验证并讨论了超材料的变刚度特性。第4节探讨了所提出超材料在工程场景中的应用潜力和实现途径。第5节总结了结论。
