太阳能电池陷光结构的正则化拓扑优化：物理先验引导的逆向设计新范式

本综述系统阐述了将光捕获（light trapping）与减反射（anti-reflection）理论作为正则化项（regularization term）融入协方差矩阵自适应进化策略（CMA-ES），以优化太阳能电池倒金字塔阵列（IPA）结构的方法。研究证实，物理先验的引入能有效引导算法跳出局部最优，将吸收率相对提升11.6%，为复杂光电结构的逆向设计提供了兼具数学严谨性与物理洞察力的新思路。

引言

高效陷光体结构对于增强太阳能电池的光吸收并降低制造成本具有重要意义。然而，在复杂的解空间内定位最优设计参数集仍然充满挑战。尽管已有大量优化算法被应用于优化体结构拓扑，但大多数方法将问题视为纯数学问题，忽略了既定的物理原理，如光捕获和减反射理论。通过整合光捕获和减反射正则化，研究者们获得了一种二维硅倒金字塔阵列结构，其吸收率达到0.7076，相较于未正则化的基线实现了11.6%的相对提升。

光捕获结构在太阳能电池研究中被广泛采用以增强光吸收。多种基于物理直觉的设计被提出，例如倒金字塔阵列、三角形光栅、纳米孔、纳米线、纳米锥和光子晶体。然而，光-物质相互作用的复杂性使得仅凭直觉推导最优结构参数颇具挑战性。为此，各种优化算法被应用于优化陷光几何结构，例如粒子群优化、遗传算法和蚁群算法。这些方法虽然有效，但通常将优化视为纯数学问题，忽略了既定的物理原理。

正则化提供了一种引入此类物理直觉的途径，其通过在目标函数中引入偏置项来实现。本研究采用协方差矩阵自适应进化策略来优化倒金字塔阵列，并将光捕获和减反射理论整合为一个正则化项。结果表明，每个物理模型单独都能提升CMA-ES的性能，而将两种理论结合到单一正则化项中，能产生比单独使用任一理论更大的改进。

方法

体结构示意图展示了具有倒金字塔阵列的体结构。入射光从上方垂直照射结构，并在吸收层内被吸收。该结构包含两个区域：蓝色区域代表硅吸收材料，黄色区域代表IPA光栅，为简化模型，其被模拟为空气。受双面光栅设计的启发，研究者们研究了四种构型：仅顶部光栅并结合减反射正则化进行优化；仅底部光栅并结合光捕获正则化进行优化；双面光栅并使用两个正则化项进行优化。关键几何参数包括IPA底边长度a、高度h、吸收层厚度t以及破坏镜像对称性并可能增强吸收极限的偏心距c。对于双面结构，参数(a1, h1, c1)和(a2, h2, c2)用于区分顶部和底部的IPA，由于周期性约束，a1 = a2。变量a、h和c被优化以最大化光吸收。

研究使用CMA-ES来优化这些IPA结构，并以平均吸收作为适应度函数。平均吸收用于量化体结构在一定波长范围内的光吸收。为了引入平均吸收的定量定义，首先定义了单一波长下的光吸收。设P_into(λ)和P_out(λ)分别为波长λ处进入和离开体结构的坡印廷矢量通量，则吸收率Absorption(λ) = (P_into(λ) - P_out(λ)) / P_into(λ)。接着，考虑一组波长Λ = {λ₁, λ₂, …, λ_m}，则平均吸收Average Absorption(Λ)被定义为所有波长吸收率的平均值，即∑_λ∈ΛAbsorption(λ) / m。在实验中，Λ中的波长从600 nm到1000 nm以20 nm为步长进行采样，得到m=21个离散点。选择此光谱范围是基于IPA结构的吸收特性。

陷光优化问题的目标是最大化带有IPA的体结构的平均吸收。a、h和c是待优化的设计变量。解空间的约束条件为0 < a < 2 μm, 0 < h < 2 μm 以及 0 < c < a/2。为了简化c的约束（因其依赖于a的值），定义了c′ = c / (a/2)作为优化变量，其约束相应变为0 < c′ < 1。由于计算资源限制，研究聚焦于二维场景，同时旨在保留三维通用性。为实现此简化，通过将二维结构沿其纵轴均匀挤压到三维环境中进行模拟。这些结构的等效厚度设置为2 μm，意味着所有结构共享与未图案化薄膜（t′ = 2 μm）相同量的硅。

正则化是一种在数学、统计学和计算机科学等领域广泛使用的技术，可以通过在优化问题的目标函数中引入附加项来实现。例如，可以将一个项f(a, h, c)加到平均吸收上，正则化平均吸收RAA(a, h, c)可定义为RAA(a, h, c) = Average Absorption(a, h, c) + f(a, h, c)。优化目标因此被重新定义为最大化正则化平均吸收，它包含了一个物理先验f(a, h, c)来指导搜索。这个先验的影响（可以源自不同理论）通过参数α进行调节，以平衡指导作用和算法灵活性：RAA(a, h, c) = Average Absorption(a, h, c) + α ⋅ f(a, h, c)。

接下来引入了基于光捕获理论的正则化项。根据Yu的光捕获理论，光栅结构的吸收系数A_T可以近似表示为A_T= (2πγ_i/ Δω) ⋅ (M / N)，其中γ_i是由于材料吸收引起的共振固有损耗率，M是频率范围[ω₀, ω₀+ Δω]内的共振数目，N表示结构能够使共振相位匹配的平面波通道总数。Yu给出了M和N的显式表达式：M = (2n²πω₀/ c²) ⋅ (L / 2π) ⋅ (d / 2π) Δω，N = 2 ⌊L/λ⌋ + 1，其中L是陷光结构的周期，t′是吸收层的厚度，n是材料的折射率，λ是入射光波长，⌊x⌋表示小于x的最大整数。因此，吸收增强系数A_T的简化表达式可写为A_T= Cons ⋅ L / (2⌊L/λ⌋ + 1)，其中Cons ≡ (γ_in² ω₀d) / c²。注意到A_T依赖于L和λ，因此，对于一定波长范围，吸收系数的上限可表示为A_T(L, Λ) = ∑_λ∈ΛA_T(L, λ) / m。由于周期L由紧密连接的IPA的底边长度a决定，故用a替代L。通过忽略常数项Cons（其被吸收到重新标度的正则化强度α中）并将A_T归一化使其最大值为1，得到了理论吸收系数A_T与底边长度a之间的关系。研究使用A_T作为正则化项；因此，光捕获理论的正则化平均吸收可写为L-RAA(a, h, c) = Average Absorption(a, h, c) + α ⋅ A_T(a)。该式鼓励优化算法搜索具有高A_T值的a。

随后引入了基于减反射理论的正则化项。高纵横比h/a可以提供从空气到硅的平滑折射率过渡，从而增强光吸收。然而，注意到当a趋近于零时，项h/a会发散至无穷大，这可能使优化算法不稳定。为避免这种奇异性并纳入结构的物理尺度，将该项修改为h/(a + t′)，其中t′代表优化的IPA结构的有效厚度。减反射的正则化平均吸收可写为A-RAA(a, h, c) = Average Absorption(a, h, c) + β ⋅ h / (a + t′)。

CMA-ES算法的实现参数如下：结构形状参数(a, h, c′)的初始值在定义的参数空间内均匀随机采样，收敛容差为1×10^-4，种群大小为8，最大迭代次数为60。为强制执行边界约束，任何采样参数超出规定范围的候选解都会被丢弃并由新生成的解替代。

S4是一种严格的耦合波分析（RCWA）方法。研究使用S4的Python版本来模拟体结构的光吸收。模拟在横磁极化平面波入射下进行。傅里叶展开阶数设置为20，所有其他模拟参数保留其默认值。

结果与分析

图表绘制了CMA-ES实现的平均吸收与正则化强度α的关系，针对仅底部光栅结构。结果表明，光捕获正则化相比未正则化情况提供了最大16.5%的相对提升。正如预期，平均吸收首先随α增加而增加，然后减少。在低α值时，目标函数由平均吸收主导，正则化项作为温和的指导，略微提高了搜索效率。然而，当α过大时，未能完全捕捉复杂吸收物理的简化物理先验压倒了真实目标，误导了优化，导致性能下降。

正则化强度α的选择至关重要。特别是当α过大时，会显著降低算法性能。因此，研究采用了以下策略：从一个非常小的初始值开始，此时正则化项的最大贡献低于优化问题的数值精度阈值；然后以指数方式增加，直到观察到算法性能随α增加先提高后下降。此时的α值近似为最优值。在后续实验中采用了相同的策略。

对于使用减反射正则化优化的仅顶部光栅，平均吸收显示出对正则化强度β的非单调依赖性。在最优β处实现了2.9%的最大增益，超过此点后吸收率下降。这种模式证实了吸收与正则化强度之间的关系具有普遍性。

光捕获正则化比减反射方法带来了更大的性能改进。这一优势源于它们不同的理论基础。光捕获方案源自严格的物理理论，提供了精确的解析表达式和清晰的吸收上限。这种强大的理论基础为优化过程提供了明确的指导。相比之下，减反射正则化主要依赖于物理直觉。

接下来，研究者将光捕获正则化与减反射正则化相结合。双面光栅结构使用目标函数进行优化：D-RAA = Average Absorption + α ⋅ A_T(a₁) + β ⋅ h₂/ (a₂+ d)，其中α和β分别控制减反射和光捕获正则化的强度。结果显示，当α=1.6且β=0.64时，实现了0.7076的最大平均吸收。此配置相比未正则化情况产生了11.6%的相对改进，并且超过了之前两个单正则化实验获得的最高吸收率。

为了研究正则化的效果，绘制了两组小提琴图来可视化收敛算法参数的分布，分别比较了应用光捕获和减反射正则化前后的情况。可以观察到，在没有正则化的情况下，IPA结构的底边长度a主要收敛在1600 nm附近，这对应于理论曲线中局部最大值较宽的区域。相反，在应用正则化之后，算法主要收敛于a = 600 nm，这与理论曲线中峰值较高的区域一致。这清楚地表明，光捕获正则化有效地引导算法将其收敛点从局部最大值转向全局最优。在应用正则化之后，具有小h/(a + t′)值的收敛区域消失了。结合正则化导致更高吸收率的实验结果，这表明正则化在此的主要作用是防止算法陷入某些极端区域，从而提高其整体性能。

图表展示了在四种不同正则化配置下获得的优化几何形状及相应的电场分布。在未正则化的情况下，算法收敛到一个底边长度a = 1492 nm、纵横比h/a = 1.02的结构。当仅应用光捕获正则化时，优化产生一个a = 600 nm、h/a = 0.94的结构。值得注意的是，此底边长度与理论曲线在a = 600 nm处预测的理论最大值一致。当仅应用减反射正则化时，优化产生一个a = 634 nm、纵横比显著更大h/a = 3.32的结构。最后，对于双正则化的情况，算法收敛到a = 596 nm和h/a = 2.29。这些结果共同表明，不同的正则化方案有效地将优化算法引导至设计空间的不同区域，每个区域都体现了特定的物理权衡。

讨论与结论

总之，对于优化二维硅IPA结构吸收率这一具体问题，研究结果表明CMA-ES的性能受到正则化项强度的影响。发现光捕获和减反射正则化都能提升其性能。这种提升最初随正则化强度增加而增加，但在超过最优点后减弱，表明在指导性与过度约束之间存在权衡。

近年来，基于伴随/梯度方法的拓扑优化和逆向设计取得了显著进展。本研究工作证明，通过物理先验进行正则化为改进光子优化提供了一条互补的路径。不是改进搜索策略，而是重新表述问题本身。这种重新表述——尽管是用CMA-ES测试的——本质上是可转移的：通过添加一个正则化项，将一个平滑的、理论驱动的梯度叠加到通常嘈杂的适应度函数上。这在复杂区域提供了一致的定向指导，应有助于启发式和基于梯度的方法的收敛。然而，这种益处是有条件的。正则化项直接改变了目标的梯度，意味着过强的正则化项可能会主导并误导搜索，而不是引导它。为了降低这种风险，研究引入了一种自适应方案，该方案从最小的正则化权重开始，并以指数方式增加它以识别最佳强度，从而确保先验提供建设性的指导。因此，当应用于具有明确物理先验的复杂问题时，正则化往往最有效。这对于高度非凸的问题尤其相关，因为在这些问题中，显著的噪声可能使算法难以仅基于问题自身的梯度进行收敛。在这种情况下，引入适当的正则化项可能有助于将迭代过程引导至更理想的解。