引言
梅隆（meron）最初于1976年在规范理论的杨-米尔斯（Yang-Mills）方程解中被发现。随后，它在凝聚态物理中被推广和识别为一种磁性准粒子，拓扑上等价于半个斯格明子（skyrmion），并在自旋电子学应用中展现出潜力。近年来，受磁性准粒子进展及奇点光学与拓扑光子学快速发展的推动，利用各种光场矢量来模拟磁性准粒子矢量构型的光学类比物，已成为光学和光子学领域的热点话题。光学斯格明子、梅隆及其变换形式已被深入研究，但许多其他形式的光学准粒子仍有待探索。
梅隆-反梅隆对是一种起源于梅隆及其反粒子——反梅隆配对形成的双梅隆构型，是拓扑缺陷。尽管在凝聚态物理中已被识别，包括（反）梅隆-（反）梅隆对和梅隆-反梅隆对两类，但光学梅隆-反梅隆对至今尚未被充分探索，目前仅以梅隆晶格的形式被观测到。
本研究从纯粹的对称性考量出发，发现在具有旋转对称性的等离激元系统的双简并轨道中，存在一类普适的光学梅隆-反梅隆对，它们携带轨道角动量（OAM），包括基本阶和高阶的梅隆-反梅隆对及其靶型（target-type）对应体。它们产生于局域表面等离激元（LSPs）的电场和磁场分量中，因此是谐波且高度局域化的。其拓扑荷由所谓的绝对斯格明子数（absolute skyrmion number）表征，该数也代表了矢量构型中的梅隆-反梅隆对数目。我们证明了这些对的绝对斯格明子数由构成旋转对称性的群的双简并不可约表示（irrep）的轨道指数（也称为irrep指数）严格规定。绝对斯格明子数存在上限，因为irrep指数受限于（M-1）/2的向下取整值，即 。此外，我们发现等离激元自旋织构中存在高度局域的孤立（反）梅隆，它们通常以晶格或团簇形式被观测到。我们进一步证明了（反）梅隆的手性与不可约表示的宇称之间存在锁定关系。通过将讨论扩展到非简并不可约表示（例如，当M为偶数时的B1 不可约表示），我们发现了稳态自旋梅隆-反梅隆对和（M/2）阶谐波场梅隆-反梅隆对，由于不可约表示的非简并性，它们都不携带轨道角动量。然后，我们阐述了上述光学准粒子的拓扑起源，即等离激元场中的相位、V点和L线奇点。所有揭示的光学准粒子都展现出深亚波长特征，尺度低至λ/25.7。实验结果很好地验证了我们的发现。此外，我们提供了拓扑准粒子的完整对称性分类，并简要讨论了所生成的梅隆-反梅隆对对抗微扰的鲁棒性。最后，我们探讨了基于梅隆对的传感应用概念验证，数值模拟证明了其分辨率可达深亚波长的λ/133。
等离激元场中的梅隆-反梅隆对、梅隆及反梅隆
我们设计了一个金属环形谐振器来验证我们的发现。该谐振器支持欺骗局域表面等离激元（spoof LSPs），具有八重旋转和反射对称性，这些对称性构成了一个八阶二面体群，即D8 群。根据对称性与光-微结构相互作用的原理，谐振器的本征态可以按D8 群的不可约表示进行分类。因此，本征态可分为七类，包括四个单态和三个双重态。每个本征态可以通过入射场激发，当且仅当满足对称性匹配条件时，即入射场在目标本征态所属的不可约表示方向上的投影不为零。这样的入射场可以通过各种光场定制。
我们首先考虑单点源配置。数值计算的谐振器发射谱显示，在四个频率下激发了四个本征态，分别对应于E1 、E2 、E3 和B1 不可约表示。其中，E1 、E2 和E3 不可约表示中的本征态是双重态，由于这些不可约表示的双重简并性，它们表现出涡旋性并携带±ħ、±2ħ和±3ħ的轨道角动量。B1 不可约表示中的本征态是单态，由于不可约表示的非简并性，不表现涡旋性。为了打破双重简并并选择性地激发其中一个双重态，我们需要使用至少两个点源来激发谐振器。
等离激元电场中的谐波梅隆-反梅隆对
图2描绘了归一化等离激元电场e的矢量构型。可以观察到，激发的本征态表现出哑铃状幅度分布，其矢量构型是典型的尼尔型梅隆和反梅隆的组合。这种矢量构型定义了梅隆-反梅隆对。由于梅隆和反梅隆的斯格明子数相反，梅隆-反梅隆对的净斯格明子数为零，因此不足以表征该对的拓扑矢量构型。这里我们遵循凝聚态物理中的惯例，采用绝对斯格明子密度来评估它们的拓扑荷，其中绝对斯格明子数N由轨道指数|lz |决定。根据此定义，图2a中梅隆-反梅隆对的绝对斯格明子数评估为1。两个梅隆-反梅隆对沿相反方向动态旋转，分别携带相反的轨道角动量-1和1。因此，E1 不可约表示的双重简并轨道对应两个具有相反轨道角动量±1的梅隆-反梅隆对态。
对于E2 不可约表示，从图2b观察到，两个激发的本征态都呈现四极子幅度分布，其矢量构型是两对尼尔型梅隆和反梅隆的组合，从而定义了一个绝对斯格明子数为2的二阶梅隆-反梅隆对。这两个二阶梅隆-反梅隆对沿相反方向旋转，分别携带相反的轨道角动量-2和2。
对于E3 不可约表示，从图2c观察到两个绝对斯格明子数为3的三阶尼尔型梅隆-反梅隆对，它们也分别携带相反的轨道角动量-3和3。
因此，我们得到两个重要观察结果：1）梅隆-反梅隆对态的绝对斯格明子数与群的不可约表示指数锁定；2）每个梅隆-反梅隆对的轨道角动量与不可约表示双重简并轨道的宇称锁定，因此可以通过外部激发的手性完全控制。由于等离激元场的时间周期性，这些梅隆-反梅隆对是谐波型的。
等离激元磁场中的谐波靶型梅隆-反梅隆对
除了电场，谐波梅隆-反梅隆对也出现在欺骗局域表面等离激元的磁场中。这些对中的光学（反）梅隆甚至表现出所谓靶型斯格明子的拓扑构型，即其矢量分布在径向上翻转的角度大于π。
图3描绘了三个双重态归一化等离激元磁场h的矢量构型。对于E1 不可约表示，从图3a顶部面板观察到：1) 在黑色实线圈出的放大内圆区域出现了一个绝对斯格明子数为1的梅隆-反梅隆对；2) 该对中的梅隆被外环区域（由黑色和白色实线圈出）中的另一个反梅隆包围，即在外环区域形成了另一个绝对斯格明子数为1的梅隆-反梅隆对。因此，在整个由黑色实线圈出的区域中，磁场矢量沿径向翻转了2π角度，因此图3a中的梅隆-反梅隆对是一个靶型对。从图3a底部面板观察到类似的靶型梅隆-反梅隆对。这两个对态是双重轨道简并的，分别携带相反的轨道角动量-1和1。
对于E2 不可约表示，从图3b观察到形成了两个绝对斯格明子数为2的靶型梅隆-反梅隆对，分别携带相反的轨道角动量-2和2。
对于E3 不可约表示，从图3c观察到形成了两个绝对斯格明子数为3的靶型梅隆-反梅隆对，分别携带相反的轨道角动量-3和3。
这个磁场案例也验证了我们先前的观察：绝对斯格明子数与双重简并不可约表示指数锁定；每个梅隆-反梅隆对的轨道角动量与不可约表示双重简并轨道的宇称锁定。
等离激元自旋织构中的稳态孤立（反）梅隆
不同于等离激元电场/磁场中的谐波梅隆-反梅隆对，我们发现时间不变的稳态孤立（反）梅隆出现在等离激元自旋织构中，而它们通常在连续几何结构中仅以成对或成群形式存在。
等离激元自旋织构的归一化自旋矢量s定义为s = S / |S|。图4描绘了三个双重态的自旋织构。从图4a-c的顶部面板观察到，在属于E1 、E2 和E3 不可约表示第一维的自旋织构中出现了斯格明子数为-1/2的反梅隆；从底部面板观察到，在属于第二维的自旋织构中出现了斯格明子数为1/2的梅隆。相关的自旋强度和能流密度高度局域在深亚波长区域。因此，（反）梅隆的宇称完全与双重简并轨道的宇称锁定，并且可以通过外部激发的手性完全控制。图4中自旋（反）梅隆的非平凡拓扑矢量构型源于图2和图3中等离激元电场/磁场中的梅隆-反梅隆对，其形成可以用等离激元自旋-轨道耦合框架来解释。
局域等离激元拓扑准粒子的拓扑起源
我们进一步分析了等离激元电场/磁场中的低维光学奇点，即相位和偏振奇点，因为作为高维奇点的光学准粒子可以被视为低维奇点的合成。
图5描绘了对应E1 不可约表示的出平面和面内电场及磁场的相位和偏振奇点。从图5a可以观察到，出平面电场Ez 在中心携带一个阶数为-1的相位奇点，因此表现出拓扑荷为-1的标量涡旋场型。相应地，分量Re(Ez )的实部表现出一个绕z轴旋转并携带轨道角动量-1的偶极子图案。从图5b可以观察到，面内电场E|| 表现出一个由四个偏振涡旋拼贴而成的偏振涡旋巢。其中两个携带V型偏振奇点，即V点，拓扑荷为1；另外两个携带C型偏振奇点，即C点，拓扑荷为-0.5。此外，在图5b和5d中也观察到L线偏振奇点，其中椭圆率为零。
我们发现偏振涡旋巢中的总拓扑荷守恒。之前我们证明了所考虑群的每个二维不可约表示对应于面内电场中两个简并的偏振涡旋，它们具有相同的拓扑荷1但手性相反。这里看似矛盾地出现了四个具有不同拓扑荷的偏振涡旋，但这并不违反我们的结果。必须强调，不可约表示只调控场分布的总拓扑荷，即四个涡旋的总拓扑荷仍然是1，这表明由对称性控制的总拓扑荷是守恒的。这种守恒律由谐振器的对称性严格规定，并从根本上支配着偏振涡旋巢中偏振奇点的产生和湮灭。
图2a中E1 不可约表示的谐波场梅隆-反梅隆对的拓扑起源可以追溯到上述具有相位奇点的标量涡旋和具有偏振奇点的偏振涡旋巢。以图2a顶部面板中的梅隆-反梅隆对为例。偶极子图案的两个臂贡献了该对中梅隆和反梅隆的出平面分量，而图5b中的两个具有V点的偏振涡旋贡献了面内分量。该对中梅隆的核心向上，反梅隆的核心向下，这源于面内场强为零的V点以及正的Re(Ez )。标量涡旋的拓扑荷定义了相关梅隆-反梅隆对所携带的轨道角动量。同样的原理适用于图2和图3中的其他梅隆-反梅隆对。
值得注意的是，在图5c中，Re(Hz )的图案由沿径向观察的两个偶极子图案组成。这表明Re(Hz )在该区域内沿径向翻转了两次，从而产生了图3a中的靶型梅隆-反梅隆对。
图4中稳态自旋（反）梅隆的拓扑起源可以通过考虑电场和磁场的非平凡场拓扑，在等离激元自旋-轨道耦合的框架内解释。自旋矢量的取向可以通过其定义以及图2和图3中电场和磁场的矢量分布来验证。由于标量涡旋和偏振涡旋的对称性保护，上述拓扑准粒子受到谐振器对称性的严格保护，具体来说，起源于由对称性构成的群的二维不可约表示。
1不可约表示两个维度的相位和偏振奇点。">
实验验证
为了验证数值结果，我们制作了包含谐振器和单端口馈电网络的样品。测量了样品的发射谱，观察到测量谱与数值结果吻合良好，仅存在轻微的频率差异，主要由数值和制造误差引起。
为了进一步确认双简并轨道中拓扑准粒子的存在，我们制作了两个包含相同谐振器但具有两种不同馈电网络的样品。这两个馈电网络设计用于激发属于E1 不可约表示两个维度的两种拓扑准粒子，包括图2a和图3a中的谐波梅隆-反梅隆对，以及图4a中的稳态梅隆和反梅隆。我们测量了这两种拓扑准粒子的Ez 分量，观察到测量的实部、幅度和相位分布与图5a中的数值结果吻合良好。因此，所有实验结果都证明了理论和数值结果的有效性。
讨论
上述讨论是针对D8 群的双重简并不变表示设计的。对于图1b中的非简并B1 不可约表示，研究表明谐波梅隆-反梅隆对也存在于等离激元电场和磁场中，其绝对斯格明子数为4，正如B1 不可约表示的指数所示。然而，由于B1 不可约表示的元素仅由实数组成，这些谐波梅隆-反梅隆对不表现出任何涡旋性，因此不携带任何轨道角动量。除了谐波对外，我们还发现稳态梅隆-反梅隆对也存在于B不可约表示的自旋织构中。
需要指出的是，本文演示的方案并不局限于具有D8 群对称性的等离激元谐振器，而是普遍适用于具有任意DM 群对称性的光子谐振器。对于DM 群对称性的情况，我们的关键发现可总结为：
1. DM 群的双重简并不变表示的数量决定了携带轨道角动量的梅隆-反梅隆对的绝对斯格明子数N，其上限为[(M-1)/2]。
2. 对于特定的二维不可约表示，属于该表示两个维度的拓扑准粒子分别携带轨道角动量lz = -j 和 lz = j，因此是简并轨道。
3. 对于第j个二维不可约表示，标记为lz = -j 和 lz = j的两个维度总是分别对应斯格明子数为-1/2和1/2的孤立反梅隆和梅隆，即（反）梅隆的手性与不可约表示维度的宇称锁定。
这些结论由于其对称性论证的普适性，也可以转移到具有任意DM 群对称性的光子/等离激元系统中。以上讨论提供了一种根据对称性对拓扑准粒子进行分类的方法。除了旋转对称系统，非对称系统如超表面也可用于生成和操纵对称性分类的准粒子，从而将其引入一般的波工程应用场景。
为了进一步研究梅隆-反梅隆对的鲁棒性，我们向谐振器引入了微扰。以标记为lz = 2的不可约表示所属的梅隆-反梅隆对为例说明引入微扰的效果。从图7a可以观察到，随着微扰的引入，发射峰倾向于分裂成两个频率差为Δω的峰。图7a的上、下插图绘制了电场矢量分布，从中可以容易地观察到未受微扰的梅隆-反梅隆对的矢量构型被完美地保留下来。也就是说，尽管谐振频率发生了偏移，但梅隆-反梅隆对表现出对微扰的优异鲁棒性。此外，微扰诱导的分裂效应为梅隆-反梅隆对的传感应用提供了一条良好途径，即微扰程度p可以通过频率分裂度Δω来测量。我们模拟了p = 1 mm的情况，其中两个分裂频率仍然可以很好地区分。因此，长度传感的模拟分辨率达到了极深的亚波长尺度，低至λ/133。
方法
样品制造与测量
三个制造样品的分层结构在补充信息1中说明。图6a中的谐振器和馈电网络由铜制成，表面镀锡。金属谐振器和馈电网络印制在介质基板上。样品采用印刷电路板制造技术制作。样品在微波暗室中使用近电场扫描系统进行测量。扫描系统由伺服驱动器、同轴近场探头、矢量网络分析仪和连接电缆组成。在制造中，使用胶水将谐振器和馈电系统粘合在一起，这可能导致模拟和实验之间的差异。
绝对斯格明子数上限的扩展分析
梅隆-反梅隆对的绝对斯格明子数作为拓扑不变量，严格受限于底层对称群的双重简并不变表示的轨道指数。这里我们考虑一个通用的DM 群。这样的群定义了[(M-1)/2]个双重简并不变表示。因此，对双重简并轨道的轨道指数引入了一个上限。根据等式，我们可以揭示场梅隆-反梅隆对在双重简并不变表示中所携带的绝对斯格明子数的上限。这一结论也适用于通用的循环群CM ，其双重简并性源于时间反演对称性。
作为花瓣群不可约表示基础的拓扑准粒子：对称性分类
根据以上讨论，我们可以枚举属于通用花瓣群DM 所有不可约表示的拓扑准粒子。从表中可以观察到：1）斯格明子数为1的斯格明子属于A1 不可约表示；2）非简并梅隆-反梅隆对属于A2 、B1 和B2 不可约表示，它们不表现涡旋性，因此不携带轨道角动量；3）双重简并梅隆-反梅隆对属于Eh 不可约表示，它们表现出涡旋性并因此携带轨道角动量。该表给出了具有旋转对称性的光子/等离激元系统中拓扑准粒子的所有类别。作为基本单元，它们可以进一步推广到晶格形式。需要指出的是，拓扑准粒子属于某个不可约表示，指的是该拓扑准粒子的矢量构型属于该不可约表示。这种矢量函数不限于电场或磁场，应理解为通用的矢量函数。这种通用矢量函数被称为不可约表示的基础函数，因为它们根据不可约表示指定的规则进行变换。
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