埃桑·加德里（Ehsan Ghaderi）| 穆罕默德·阿里·比贾尔奇（Mohamad Ali Bijarchi）| 西亚马克·卡泽姆扎德·哈纳尼（Siamak Kazemzadeh Hannani）| 阿里·努里-博鲁杰尔迪（Ali Nouri-Boroujerdi）
伊朗德黑兰沙里夫理工大学机械工程系
**摘要**
本研究对在磁场作用下的二维通道中的流体流动和热传递进行了参数化模拟与逆向分析。采用物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）框架来求解控制方程，并研究各种无量纲参数的耦合效应。模拟过程中采用了无量纲方程的低阶导数形式，主要目的是逆向估计未知的物理属性。本研究的核心目标是评估PINN方法在解决磁流体动力学（MagnetohydroDynamic, MHD）通道流动中的参数化和逆向问题方面的能力。系统地考察了哈特曼数（Hartmann number）、雷诺数（Reynolds number）、普朗特数（Prandtl number）和焦耳加热参数（Joule heating parameter）等关键参数对流体速度场和温度场的影响。结果表明，PINN方法能够成功预测主要物理机制，其中哈特曼数和焦耳加热参数的预测相对误差小于2%，与数值基准结果相当。研究结论表明，PINN方法是热流模拟的强大工具。具体而言，所提出的框架具有较高的预测精度（平均相对误差<1%），并且与传统的计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）方法相比，计算速度提高了约1.4倍。此外，该模型还展示了良好的泛化能力，在参数值超出训练范围时仍能保持合理的精度（误差<4%）。
**1. 引言**
磁流体动力学（MagnetohydroDynamics, MHD）研究的是在磁场存在下导电流体的动力学行为，一直受到研究人员的广泛关注。在含有导电流体的系统中应用磁场可以带来一系列技术优势，包括提高换热器的换热效率[1]、无需侵入式组件即可准确测量流量[2]以及实现非侵入式流量控制[3]。因此，理解在磁场影响下通道内的温度和速度分布对于这类热流体系统的设计和优化至关重要。然而，多物理现象的复杂性给纯分析或实验研究带来了重大挑战。幸运的是，数值方法和计算能力的最新进展使得通过计算流体动力学（CFD）模拟能够高保真度和高效地分析这些复杂系统[4]。在这一计算框架内，研究人员广泛采用了多种数值方法，尤其是有限体积法（Finite Volume Method, FVM）、有限元法（Finite Element Method, FEM）和格子玻尔兹曼法（Lattice Boltzmann Method, LBM）来模拟MHD流动[5][6][7]。
MHD流动的模拟已在多种应用中得到深入研究。伊巴涅斯（Ibanez）等人[8]分析了纳米流体在磁场下的行为，重点研究了哈特曼数等无量纲参数对换热率和熵生成的影响。研究结果表明，哈特曼数与熵生成和换热性能之间存在非线性关系。此外，增加纳米颗粒体积分数会改变流体对磁场增强的热响应和熵响应。在另一项研究中，穆萨维（Mousavi）等人[9]对微通道内的磁场效应进行了二维和三维分析，特别关注了能量方程。他们发现，在较高的哈特曼数（代表较强的磁场）下，将磁源项（即焦耳加热）纳入能量方程变得至关重要。马尔万迪（Malvandi）和甘吉（Ganji）[10]研究了在磁场作用下的二维微通道中氧化铝纳米流体的流动，发现哈特曼数的增加会增强磁场强度，从而提高流动阻力。他们将观察到的换热增强和压降增加与通道壁附近更陡的速度梯度联系起来。费尔萨杜（Fersadou）等人[11]研究了在强制对流和非均匀磁场下多壁碳纳米管（MWCNT）-水纳米流体射流在水平通道中的行为，发现高哈特曼数和低雷诺数时会出现停滞区和加速区。随着磁场强度的增加，通道入口处的涡旋尺寸逐渐减小并最终消失。
除了热系统外，MHD原理还应用于生物医学工程。巴拉苏布拉马尼安（Balasubramanian）等人[12]利用磁共振成像（MRI）可视化脑脊液（CSF）的动力学，以诊断脑积水。脑脊液相对于其他颅内组织具有较高的电导率，因此特别容易受到磁场的影响。在心血管流动领域，阿卜杜拉扎德（Abdollahzadeh）等人[13]分析了在磁场作用下通过狭窄血管流动的血液这一导电流体，研究了狭窄程度和哈特曼数对流动参数（包括速度、温度和壁面剪切应力）的影响。结果表明，哈特曼数的增加会降低血流速度，这表明适当施加的磁场可能用于调节血液流动行为。
传统的数值方法，如有限元法和有限差分法，由于其准确性和效率[14][15][16]，仍然是求解适定偏微分方程（PDEs）的金标准。然而，这些方法依赖于离散化和网格生成，对于高维问题来说计算成本较高，且通常难以应用于不适定或逆向问题。这些局限性促使人们发展了科学机器学习（Scientific Machine Learning, SciML）中的替代计算范式[17,18]，其中物理信息神经网络（PINNs）作为一种有前景的方法脱颖而出[19]。通过将控制方程直接嵌入损失函数，PINNs在利用神经网络灵活性的同时确保了物理一致性[20]。在传统的PINN公式中，神经网络以空间和时间坐标作为输入，求解固定物理参数和几何形状下的PDEs。因此，任何系统配置的变化都需要重新训练网络，这可能导致较高的计算成本。尽管存在这一限制，PINNs已成功应用于各种流体动力学问题，包括圆柱周围的流动[21,22]、湍流[23,24]和生物流体传输系统[25,26]。此外，还探索了多物理问题的扩展，引入了迁移学习等改进措施以提高复杂配置下的预测精度[27][28][29]。PINNs的一个关键优势在于它们能够处理高维参数空间和逆向问题[30][31][32][33]。最近的研究将物理和几何参数（如机翼形状[34]、通道几何形状[35]和马赫数[36]）直接纳入网络输入，以实现参数化学习并降低计算成本。在逆向场景中，PINNs展示了从稀疏测量数据重建未知量（如壁面剪切应力[37]或流场[38]的能力。然而，大多数现有方法依赖于标记数据进行未知参数的训练[39][40][41][42][43]，这限制了它们在实际工程场景中的适用性，因为在这些场景中此类数据往往稀缺或不可用。在许多实际应用中，边界条件测量数据是可获得的，而标记的内部数据则不然。尽管关于逆向PINNs的研究很多，但这一领域在文献中受到的关注较少。本研究旨在填补这一空白，提出了一个适用于MHD应用的统一参数化-逆向PINN框架。与以往分别处理参数化和逆向建模的工作不同，所提出的方法将这两种能力整合到了单一架构中。控制方程以无量纲、低阶导数形式表述，提高了数值稳定性和参数范围内的泛化能力。本研究的一个关键贡献是一种数据独立的逆向策略，仅通过施加出口边界条件即可推断未知物理参数，无需标记数据集。此外，该框架通过利用参数化解构建逆向推断所需的边界信息，实现了无需外部数据的一致参数估计，为解决逆向MHD问题提供了实用且计算效率高的途径。
**2. 问题描述**
本研究探讨了在施加磁场作用下的二维通道中导电流体的流动。问题几何形状及相应的边界条件如图1所示。图中，u、v和T分别代表x和y方向上的流体速度分量及温度，p、L和H分别表示压力、通道长度和通道宽度。流体以指定的均匀速度和温度剖面进入通道，随后其速度和温度场因加热和磁场的作用而沿通道演变。
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**图1. 问题几何形状及相应边界条件的示意图。**
在稳态条件、流体性质恒定和不可压缩流动的假设下，控制微分方程被简化为方程（1）至（6）。方程（1）表示连续性方程，方程（2）和（3）分别表示x和y方向上的动量守恒方程。此外，使用柯西应力张量表示法，方程（4）至（6）构成了二维牛顿流体的本构关系。导电流体在磁化通道中的运动会产生洛伦兹力，该力的效应作为相关源项纳入动量方程。为简化反向传播过程中的计算并便于更有效地实施诺伊曼边界条件（本研究关注的指定热通量），控制方程以一阶导数形式表示。所引入的方法也适用于非恒定性质的情况，如非牛顿流体模型或非傅里叶热传导。
**3. 控制方程**
除了连续性和动量方程外，还考虑了能量守恒方程（方程（7）。为了在PINN框架内保持计算效率，能量方程同样以低阶导数形式表示。假设傅里叶热传导，二维公式由方程（8）和（9）表示。磁场对能量方程的影响作为源项纳入，特别考虑了焦耳加热效应。上述方程中，ρ、μ和cₚ分别表示流体的密度、动态粘度和恒压比热容。符号B₀、σ和k分别表示外部施加的均匀磁场强度、流体的电导率和热导率。
**4. 参数化与逆向分析**
鉴于所选方法，采用无量纲形式的对上述控制方程进行平衡，以增强训练过程的稳定性和收敛速度。为了无量纲化控制方程，定义了以下无量纲参数：
x*=x/H,
y*=y/H,
u*=u_平均,
v*=v_平均,
p*=p/ρ_平均,
T*=T_入口-ΔT,
τ11*=τ11/ρ_平均^2,
τ22*=τ22/ρ_平均^2,
τ12*=τ12/ρ_平均^2,
qx*=qx/kΔT_H,
qy*=qy/kΔT_H,
{ΔT=T_壁-T_入口 如果 T_壁=常数, ΔT=H/q_壁 如果 q_壁=常数}
在上述方程中，u_平均、T_壁和q_壁分别表示抛物线速度剖面中的平均速度（即均匀流动的入口速度）、通道壁温度和施加在通道壁上的热通量。假设热量从通道壁传递给流体，通过引入的无量纲参数简化了控制方程和物理问题的本构关系（方程（11）至（19）。
**5. 结论**
本研究提出了一个适用于MHD应用的统一参数化-逆向PINN框架。与以往分别处理参数化和逆向建模的工作不同，所提出的方法将这两种能力整合到了单一架构中。控制方程以无量纲、低阶导数形式表述，提高了数值稳定性和参数范围内的泛化能力。本研究的一个关键贡献是一种数据独立的逆向策略，仅通过施加出口边界条件即可推断未知物理参数，无需标记数据集。此外，该框架通过利用参数化解构建逆向推断所需的边界信息，实现了无需外部数据的一致参数估计，为解决逆向MHD问题提供了实用且计算效率高的途径。方法论
本节介绍了本研究中采用的PINN方法的架构，随后介绍了在此研究中被考察的相关扩展，即参数化PINN和逆PINN方法，这些方法应用于MHD流动问题。
3.1 PINN
本节介绍了本研究中采用的PINN方法的架构。如前一节所讨论的，MHD流动的模拟涉及求解偏微分方程（PDEs）。鉴于引言中概述的传统数值方法的局限性，本文采用了PINN方法。PINN方法利用神经网络，其中损失函数是基于控制方程和边界条件构建的。为了在损失函数各项之间取得更好的平衡，并减少网络内链式法则求导的计算成本，采用了低阶导数的无量纲公式。如图2所示，使用了一个多层感知器（MLP）网络，在输入层提供无量纲空间坐标。输出层产生两个方向上的无量纲速度（u*，v*）、压力（p*）、无量纲柯西应力（τ11*，τ12*，τ22*）、无量纲温度（T*）以及无量纲热流分量（qx*，qy*）。这些无量纲输出随后通过自动微分（AD）进行求导，并代入控制方程。在隐藏层中，每个神经元内应用双曲正切（tanh）激活函数以引入非线性。优化过程结合了Adam [44]和L-BFGS [45]算法。这种混合策略利用了Adam的快速初始收敛性和准牛顿L-BFGS方法的高精度和稳定性，从而提高了探索能力和收敛性能。
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图2. 本研究中使用的物理信息神经网络（PINN）的示意架构。
损失函数定义为控制方程和边界条件残差的总和。控制方程残差根据方程（24）至（32）计算，而边界条件残差由方程（33）至（41）定义。方程（40）和（41）用于求解逆问题，并已在逆PINN部分（第3.3节）中使用。需要注意的是，在训练过程中没有使用标记的模拟数据；网络完全基于物理定律进行训练，构成了一种纯粹的“物理驱动”方法。该方法的目标及其性能评估标准是将残差值尽可能地趋近于零。
(24)rCon=∂u*∂x*+∂v*∂y*
(25)rx,Mom=u*∂u*∂x*+v*∂u*∂y*−(∂τ11*∂x*+∂τ12*∂y*)+Ha2Reu*
(26)ry,Mom=u*∂v*∂x*+v*∂v*∂y*−(∂τ12*∂x*+∂τ22*∂y*)
(27)rτ11*=τ11*+p*−2Re∂u*∂x*
(28)rτ22*=τ22*+p*−2Re∂v*∂y*
(29)rτ12*=τ12*−1Re(∂u*∂y*+∂v*∂x*)
(30)rEn=u*∂T*∂x*+v*∂T*∂y*+1RePr(∂qx*∂x*+∂qy*∂y*)−Ju*2
(31)rqx*=qx*+∂T*∂x*
(32)rqy*=qy*+∂T*∂y*
(33)ru*,inlet=u*−uinletumean
(34)rv*,inlet=v*
(35)rT*,inlet=T*
(36)ru*,wall=u*
(37)rv*,wall=v*
(38)rT*,wall=T*−1
orrq*,wall=qy*−1
(39)rp*,outlet=p*−poutletρumean
(40)ru*,outlet=u*−uoutletumean
(41)rT*,outlet=T*−Toutlet−TinletΔT
损失函数正式定义如下：控制方程损失由方程（42）给出，边界条件损失（包括Dirichlet和Neumann条件）由方程（43）指定，总损失函数由方程（44）定义。需要注意的是，在方程（43）中，仅用于求解逆问题（第3.3节）的无量纲速度和无量纲温度的两个损失函数项。
(42)LGE=1NGE∑j=1NGE(rCon2+rx,Mom2+ry,Mom2+rEn2+rτ11*2+rτ12*2+rτ22*2+rqx*2+rqy*2)
(43)LBC=1NBC,inlet∑j=1NBC,inlet(ru*,inlet2+rv*,inlet2+rT*,inlet2)+1NBC,wall∑j=1NBC,wall(ru*,wall2+rv*,wall2+rT*,wall2)+1NBC,outlet∑j=1NBC,outlet(rp*,outlet2+ru*,outlet2+rT*,outlet2)
(44)LTotal=LGE+βLBC
在本研究中，边界条件损失项的权重系数（β）被赋予了一个常数值1。
与需要在整个计算域内进行方程离散化和网格生成的传统数值方法不同，PINN框架使用神经网络来近似连续解函数。然而，为了训练网络，必须在离散的点集上施加控制方程和边界条件。如图3所示，这些配置点——分布在域内和边界上——是使用拉丁超立方抽样（LHS）[46]选定的，以确保高效和均匀的覆盖。
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图3. 使用拉丁超立方抽样（LHS）为物理信息神经网络（PINN）框架生成的计算域内的配置点空间分布。
为了更清楚地理解PINN方法，本研究中采用的解决步骤在算法1中进行了概述。更多细节以及示例可以在GitHub仓库中找到。
算法1. MHD通道流的PINN。
3.2 参数化PINN
本节介绍了用于通道内MHD流动参数化求解的参数化PINN方法。在传统的数值方法中，解决不同物理或几何参数值范围内的问题需要重复模拟，每个参数值对应一次模拟。换句话说，采用了一种基于循环的程序，其中问题针对考虑范围内的每个参数分别求解，这本质上导致了高计算成本。相比之下，参数化PINN方法只需要一次训练过程，之后模型就能够预测各种参数值的解。图4展示了用于参数化求解的物理信息神经网络（PINN）的结构。如图所示，输入层不仅包含空间坐标，还包括控制问题物理特性的无量纲数值。因此，在训练过程完成后，开发的框架能够预测这些无量纲参数的整个预定义范围内的解，有效地充当了一个替代模型。
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图4. 参数化模拟的网络结构（参数化PINN），其中无量纲参数是输入，实现了多参数解的近似。（注意：用红色突出显示的元素表示与标准PINN方法的修改）。
通过将物理参数作为输入到神经网络中，问题可以连续预测给定范围内的不同值的解。此外，这种方法提供了泛化能力，使模型能够进行外推，并为训练范围之外的参数值提供相对准确的预测。参数化PINN解决方法的实现细节在算法2中给出，并在GitHub仓库中提供了示例。
算法2. MHD通道流的参数化PINN。
3.3 逆PINN
本节讨论了使用PINN方法解决逆问题。在问题的物理属性或几何参数未知的情况下，通过传统数值方法获得解变得具有挑战性。实际示例包括流体属性未确定或边界条件未完全指定的情况。由于PINN框架中的神经网络架构具有灵活性——允许在训练过程中同时结合数据和控制方程——这种方法被采用为解决逆问题的可行策略。此外，图5(a)和图5(b)展示了本研究中调查的逆问题的配置。在这些情况下，一个额外的未知参数被引入为网络中的可训练变量。具体来说，图5(a)中的未知数是Hartmann数，而图5(b)中的未知数是Joule加热参数。为了便于识别这些参数，从单独的模拟中获得的通道出口处的相应边界条件被纳入损失函数。这些数据点在示意图中用红色突出显示。
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图5. (a) Hartmann数识别逆问题的架构。未知的Ha作为可训练变量添加，出口边界数据（红色）被纳入损失函数。(b) Joule加热参数识别逆问题的架构，其中未知的J使用出口数据类似地学习。
鉴于逆问题中引入了额外的未知数，将数据纳入网络训练过程是必要的，以实现解。在本研究中，没有在域内的特定点使用标记数据，而是利用根据方程（40）和（41）定义的已知目标边界条件来帮助训练神经网络和解决问题。这些方程在损失函数中的包含在图5中示出。使用PINN方法进行逆解的实现细节在算法3中给出。在GitHub仓库中也提供了所提出方法的示例。
算法3. MHD通道流的逆PINN。
从算法1到3可以看出，与其他基于神经网络的方法类似，PINN方法涉及一组影响解决过程的超参数。本研究中使用的超参数值在表1中给出。
表1. 本案例研究中用于参数化和逆方法的超参数。
项目 值
隐藏层数量 [3,5,7]
隐藏层中的神经元数量 [40,60,80]
配置点数量 [30000, 50000, 70000]
初始化 Xavier
激活函数 tanh
初始学习率 10−4
本研究中开发的参数化和逆求解器的完整Python代码已在GitHub上公开。在这个仓库中，提供了与本研究中介绍的所有算法相对应的示例解，以便更好地理解所提出的方法。
4. 结果与讨论
损失函数的变化，包括边界条件损失和控制方程损失（在（42）、（43）、（44）中引用），作为迭代次数的函数在图6中展示。如图所示，所提出的方法已成功将损失降低到预定的最小值。在迭代30,000时观察到损失曲线的明显突变。这归因于优化器从Adam切换到L-BFGS。显然，如图所示，L-BFGS算法在优化的最后阶段非常有效，以最小的振荡收敛到最优解。
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图6. 损失函数（包括边界条件损失和控制方程损失）随迭代次数的变化。
4.1 解决方案与层数、神经元数量和点数的独立性
为了评估解决方案并验证从PINN方法获得的结果，本文检查了解决方案与网络架构的独立性，类似于CFD方法中的网格独立性概念。如图7、图8所示，本分析考虑了通道中间的无量纲水平速度分量和无量纲温度。图7(a)展示了层数的影响，图7(b)展示了神经元数量的影响，图7(c)展示了内部配置点数量对通道中间无量纲速度剖面的影响。从图中可以看出，神经元数量对解决方案的影响相对较小。具体来说，将神经元数量从40加倍到80并不会导致结果的显著变化。考虑到所需的准确性和计算效率，本研究采用的最佳配置包括5层、60个神经元和50,000个配置点。
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图7. 通道中间的无量纲速度剖面：(a) 层数的影响，(b) 神经元数量的影响，(c) 配置点数量的影响。
图8. 通道中间的无量纲温度剖面：(a) 层数的影响，(b) 神经元数量的影响，(c) 配置点数量的影响。
图8展示了层数、神经元数量和点数对通道中间无量纲温度剖面的影响。如图8所示，层数或点数不足会导致温度剖面偏离正确解，引入超过4%的误差。
4.2 验证
为了验证从PINN方法获得的结果，图9(a)展示了与Aminossadati等人[47]引入的解析解的无量纲速度剖面的比较。此外，为了确认PINN框架内能量方程的解，图9(b)提供了PINN方法预测的无量纲温度与Mousavi等人[9]的数值结果的比较。结果表明PINN方法具有高精度。预测无量纲温度的最大误差发生在靠近壁面的区域。这种差异归因于使用的配置点数量合理，以减少PINN求解器的运行时间。
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图9. (a) 从PINN解获得的无量纲速度剖面与解析解[47]的比较。(b) PINN方法预测的无量纲温度与CFD解[9]的比较。
4.3无量纲速度在参数化仿真和逆问题求解中的应用
在前面的章节中，我们验证了求解方法的有效性，并评估了该方法对神经网络超参数的依赖性。本节重点关注速度等值线以及物理参数对通道内速度分布的影响。为了比较参数化PINN解与CFD仿真得到的等值线，根据方程（45）定义了相对误差。
（45）相对误差 = |φPINN − φCFD| / (φPINN + ε)
在上述关系中，变量φ代表本研究中研究的物理参数，即无量纲速度和温度。此外，为了防止分母为零，引入了参数ε，并赋予其一个足够小的值10^-6。
图10展示了不同雷诺数下通道内的无量纲速度等值线。可以看出，参数化PINN方法得到的结果与CFD解非常吻合，最大相对误差为8×10^-3。由于通道壁附近的速度梯度，这些区域的误差最大。此外，随着雷诺数从图10(a)增加到图10(c)，通道内的速度剖面变得更加细长和尖锐。
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图10. 在Pr= 1, Ha= 10, 和 J= 0.01条件下，PINN和CFD解得到的通道内无量纲速度等值线比较：(a) Re = 10, (b) Re = 100, (c) Re = 1000
图11展示了三个不同哈特曼数对通道内无量纲速度剖面的影响，并比较了PINN和CFD解。哈特曼数的增加导致速度剖面变平，因此在高哈特曼数时，剖面迅速达到完全发展状态。最大误差出现在哈特曼数为45时，这可以归因于纳维-斯托克斯方程中哈特曼数的平方依赖性。
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图11. 哈特曼数对通道内无量纲速度剖面的影响，以及在Re= 30, Pr= 0.8, 和 J= 0.34条件下，PINN方法和CFD解的比较：(a) Ha = 10, (b) Ha = 25, (c) Ha = 40
本节重点关注使用PINN方法得到的无量纲水平速度分量。为了更详细的分析，图12显示了不同雷诺数（图12a）和哈特曼数（图12b）下通道出口处的无量纲速度分布。在图8a中，随着雷诺数的增加，出口速度剖面变得更加尖锐，通道内的最大速度也升高。相反，图12b表明，随着哈特曼数的增加，出口速度剖面趋于均匀。
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图12. 通道出口处的无量纲速度剖面：(a) 不同雷诺数，(b) 不同哈特曼数
在使用PINN方法的参数化解中，经过一次训练后，该方法能够对各种参数值进行预测。此外，除了定义范围内的参数值——即雷诺数在10到1500之间，普朗特数在0.1到10之间，哈特曼数在0到40之间，以及焦耳加热参数在0到1之间——PINN方法还能够对未见过的参数组合进行预测。如图13所示，即使所有参数都超出了原始范围，即Re=1700, Pr=12, Ha=45, 和 J=1.2，该方法也能得到通道中线（x*=1.25）处的无量纲速度剖面。尽管所有参数都超出了范围，但与CFD解相比，最大相对误差仅为2×10^-2。这表明PINN能够有效地外推物理趋势，相比纯数据驱动的黑盒模型具有显著优势。使用所提出方法的参数化解的实现细节在算法2中有所概述。如需进一步了解，读者可以参考论文GitHub仓库中的示例。
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图13. 在Re=1700, Pr=12, Ha=45, 和 J=1.2条件下，CFD解和PINN方法外推预测得到的通道中线无量纲速度剖面比较
随后，为了研究逆问题，使用了哈特曼数为25时的通道出口无量纲速度剖面。为了解决这个逆问题，根据图5a中介绍的神经网络架构，从通道出口的无量纲速度剖面推断出哈特曼数。需要注意的是，这次逆分析没有使用任何外部数据；学习过程仅使用出口处指定的额外边界条件进行。如图14所示，所提出的方法成功且准确地预测了哈特曼数。需要强调的是，由于逆问题本质上是一个优化任务，解对初始猜测非常敏感。如果寻找哈特曼数的迭代过程从一个不准确的初始估计开始，问题可能无法收敛到正确解。
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图14. 使用PINN方法在逆问题解中估计哈特曼数
4.4. 参数化仿真和逆问题求解中的无量纲温度
为了研究物理参数对温度剖面的影响，本节评估了两个无量纲量——普朗特数和焦耳加热参数——在指定范围内的影响。图15展示了普朗特数对通道内无量纲温度剖面的影响，并将PINN方法得到的结果与CFD仿真结果进行了比较。从图中可以看出，普朗特数的增加导致最大相对误差为10^-2。此外，在普朗特数为0.1时，通道出口的温度几乎达到了壁温。
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图15. 在Re=100, Ha= 10, 和 J= 0.01条件下，PINN和CFD解得到的通道内无量纲温度等值线比较：(a) Pr = 0.1, (b) Pr = 1, (c) Pr = 10
图16展示了焦耳加热参数对通道内无量纲温度剖面的影响，提供了对参数化PINN解及其与CFD结果准确性的更详细评估。由于焦耳加热参数是能量方程中的一个源项，其值的增加导致通道内温度升高，因此在图16(c)中，温度超过了通道壁温。此外，PINN和CFD解的比较显示了参数化PINN方法在预测温度分布方面的高准确性（最大误差为8×10^-3）。
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图16. 在Re= 30, Ha= 10, 和 Pr= 1条件下，PINN方法和CFD仿真得到的无量纲温度分布比较：(a) J = 0.01, (b) J = 0.34, (c) J = 1
在研究的后续部分，对通道出口的温度剖面进行了更详细的检查。图17(a)展示了在恒定温度边界条件下普朗特数对无量纲温度剖面的影响。普朗特数的减小导致沿通道的热扩散加快，使温度在出口处达到最大值。此外，图17(b)展示了在恒定热流边界条件下焦耳加热参数对温度剖面的影响。这个无量纲参数的增加提高了通道内的温度，因为它在能量方程中充当一个源项。在图17(a)中，对应于恒定温度边界条件，整个出口达到了壁温。相比之下，图17(b)表明，随着焦耳加热参数的增加，出口温度可以超过壁温，这是恒定热流边界条件在通道壁上的特征。
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图17. 通道出口处的无量纲温度：(a) 普朗特数的影响，(b) 焦耳加热参数的影响
此外，还评估了所提出的基于PINN方法的参数化求解能力及其泛化性能。为了评估方法的鲁棒性，输入参数到网络（图18），该方法成功地对通道中线的无量纲温度分布进行了外推，与真实CFD解相比，最大相对误差为1×10^-2。就计算效率而言，参数化PINN框架消除了每次新参数集都需要重新网格化和从头开始求解线性系统的需求。考虑到参数的广泛范围，如果使用CFD方法对每种参数组合进行计算，将需要大量的运行次数。相比之下，一旦训练完成，参数化PINN方法就能够对各种情景进行预测。值得注意的是，使用这种方法可以大约减少40%的计算成本。这展示了该方法在实时参数化研究中的潜力。
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图18. 在Re=1700, Pr=12, Ha=45, 和 J=1.2条件下，CFD解和PINN方法外推预测得到的通道中线无量纲温度分布比较
在本节的逆问题分析中，使用了图17(b)中提到的哈特曼数为25时的出口无量纲温度。为了解决这个逆问题，根据图5a中介绍的神经网络架构，从通道出口的无量纲温度剖面推断出哈特曼数。需要注意的是，这次逆分析没有使用任何外部数据；学习过程仅使用出口处指定的额外边界条件进行。如图14所示，所提出的方法成功且准确地预测了哈特曼数。需要强调的是，由于逆问题本质上是一个优化任务，解对初始猜测非常敏感。如果寻找哈特曼数的迭代过程从一个不准确的初始估计开始，问题可能无法收敛到正确解。
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图14. 使用PINN方法在逆问题解中估计哈特曼数
4.4. 参数化仿真和逆问题求解中的无量纲温度
为了研究物理参数对温度剖面的影响，本节评估了两个无量纲量——普朗特数和焦耳加热参数——在指定范围内的影响。图15展示了普朗特数对通道内无量纲温度剖面的影响，并将PINN方法得到的结果与CFD仿真结果进行了比较。从图中可以看出，普朗特数的增加导致最大相对误差为10^-2。此外，在普朗特数为0.1时，通道出口的温度几乎达到了壁温。
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图15. 在Re=100, Ha= 10, 和 J= 0.01条件下，PINN和CFD解得到的通道内无量纲温度等值线比较：(a) Pr = 0.1, (b) Pr = 1, (c) Pr = 10
图16展示了焦耳加热参数对通道内无量纲温度剖面的影响，提供了对参数化PINN解及其与CFD结果准确性的更详细评估。由于焦耳加热参数是能量方程中的一个源项，其值的增加导致通道内温度升高，因此在图16(c)中，温度超过了通道壁温。此外，PINN和CFD解的比较显示了参数化PINN方法在预测温度分布方面的高准确性（最大误差为8×10^-3）。
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图16. 在Re= 30, Ha= 10, 和 Pr= 1条件下，PINN方法和CFD仿真得到的无量纲温度分布比较：(a) J = 0.01, (b) J = 0.34, (c) J = 1
在研究的后续部分，对通道出口的温度剖面进行了更详细的检查。图17(a)展示了在恒定温度边界条件下普朗特数对无量纲温度剖面的影响。普朗特数的减小导致沿通道的热扩散加快，使温度在出口处达到最大值。此外，图17(b)展示了在恒定热流边界条件下焦耳加热参数对温度剖面的影响。这个无量纲参数的增加提高了通道内的温度，因为它在能量方程中充当一个源项。在图17(a)中，对应于恒定温度边界条件，整个出口达到了壁温。相比之下，图17(b)表明，随着焦耳加热参数的增加，出口温度可以超过壁温，这是恒定热流边界条件在通道壁上的特征。
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图17. 通道出口处的无量纲温度：(a) 普朗特数的影响，(b) 焦耳加热参数的影响
此外，还评估了所提出的基于PINN方法的参数化求解能力及其泛化性能。为了评估方法的鲁棒性，输入参数到网络（图18），该方法成功地对通道中线的无量纲温度分布进行了外推，与真实CFD解相比，最大相对误差为1×10^-2。关于计算效率，参数化PINN框架消除了每次新参数集都需要重新网格化和从头开始求解线性系统的需求。考虑到参数的广泛范围，如果使用CFD方法对每种参数组合进行计算，将需要大量的运行次数。相比之下，一旦训练完成，参数化PINN方法就能够对各种情景进行预测。值得注意的是，使用这种方法可以大约减少40%的计算成本。这展示了该方法在实时参数化研究中的潜力。
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图18. 在Re=1700, Pr=12, Ha=45, 和 J=1.2条件下，CFD解和PINN方法外推预测得到的通道中线无量纲温度分布比较
在本节的逆问题分析中，使用了图17(b)中提到的哈特曼数为25时的出口无量纲温度。选择恒定热流情况作为逆问题，因为在恒定壁温条件下，出口温度不能超过无量纲值1，从而导致解的非唯一性。图19展示了使用PINN方法估计焦耳加热参数的过程，遵循图5(b)中介绍的神经网络架构。图中第30,000次迭代时的突然变化是由于优化器从Adam切换到L-BFGS。从图中可以看出，所提出的方法在解决逆问题方面表现出很强的能力。
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图19. 使用PINN方法估计焦耳加热参数
为了进一步使用PINN研究逆问题，检查了噪声对预测精度的影响。与现有文献不同，本研究没有使用标记数据；相反，仅使用通道出口边界条件作为解决逆问题的目标。因此，噪声效应仅限于出口边界。如图20所示，在三种情况下分析了出口处的无量纲温度：无噪声、1%噪声和5%噪声。
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图20. 高斯噪声对通道出口无量纲温度的影响
随后，通过PINN框架解决了逆问题。由于基于PINN的解过程被构建为一个优化问题，因此需要一个初始猜测的焦耳加热参数来启动网络训练和参数估计，无论是在无噪声还是有噪声的条件下。与其他优化任务类似，如果初始猜测与真实值相差太大，就会导致发散；具体来说，初始值低于0.05或高于2的情况无法收敛到正确解。表2总结了在不同噪声水平下，从基于PINN的逆解得到的焦耳加热参数与CFD真实值之间的相对误差。如图所示，相对误差随着噪声水平的增加而增加；然而，该方法仍然能够高精度地估计焦耳加热参数。鉴于本研究中没有使用标记数据，噪声效应仅在出口边界进行了研究，并且仅与CFD结果进行了比较。应该注意的是，传统的神经网络（NN）方法需要在整个计算域中分布有大量的数据集；如果没有基于物理的约束，传统的NN无法仅使用出口边界数据来解决逆问题。
表2.在不同噪声水平下，预测的焦耳加热参数与CFD结果的相对误差。噪声百分比（%）相对误差03.463×10−314.142×10−358.211×10−3为了更好地说明噪声的影响，如图21所示，在使用逆PINN方法确定焦耳加热参数的值并将其结果与CFD解进行比较后，展示了通道内的无量纲温度等值线。从图中可以清楚地看到，通道出口温度的噪声水平增加5%会导致识别的焦耳加热参数发生变化，进而改变训练过程结束时通道内的无量纲温度分布。鉴于所提出方法的鲁棒性，该方法有效地结合了问题的物理定律，在5%噪声情况下观察到的最大相对误差为9×10−3，如图所示。还需要重申的是，由于在求解过程中没有使用标记数据，仅采用了出口边界条件，因此不利用问题物理特性的传统神经网络方法无法解决这个问题，这就是为什么仅与CFD方法进行比较的原因。考虑到在许多工程应用中，目标是获得期望的输出，并且预标记数据的可用性通常有限，PINN方法可以作为此类逆问题的一个有前景的解决方案，值得研究人员进一步关注。下载：下载高分辨率图像（744KB）下载：下载全尺寸图像图21. 在Re= 400、Ha= 25、Pr= 0.8和J= 0.34条件下，从PINN方法和CFD模拟得到的无量纲温度分布的比较：(a) 噪声百分比（%）= 0，(b) 噪声百分比（%）= 1，(c) 噪声百分比（%）= 5.5。结论本研究成功应用了物理信息神经网络（PINN）方法来进行参数模拟，并解决了受磁场影响的流体流动的逆问题。系统地研究了关键无量纲参数——雷诺数、哈特曼数、普朗特数和焦耳加热参数——对通道内速度和温度分布的影响。结果表明，所提出的方法能够准确预测通道内的速度和温度场。此外，它在解决旨在识别物理属性（即哈特曼数和焦耳加热参数）的逆问题方面非常有效。这项研究的一个重要发现是PINN方法能够作为一个完全基于物理的框架运行。这一点在逆问题中尤为明显，因为在逆问题中没有引入外部数据；解决方案仅通过将额外的出口边界条件纳入求解过程来实现。这项工作的结果突显了该方法在优化应用中的潜力。具体来说，参数研究可以用来探索期望的参数范围，而逆解可以用来实现特定的目标参数值。CRediT作者贡献声明Ehsan Ghaderi：概念化、方法论、验证、可视化、软件、研究、撰写原始草稿。Mohamad Ali Bijarchi：审阅和编辑、监督。Siamak Kazemzadeh Hannani：审阅和编辑。Ali Nouri-Boroujerdi：审阅和编辑。声明和声明本手稿的准备工作未获得任何资助。CRediT作者贡献声明Ehsan Ghaderi：撰写——原始草稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、研究、数据管理、概念化。Mohamad Ali Bijarchi：撰写——审阅与编辑、监督、概念化。Siamak Kazemzadeh Hannani：撰写——审阅与编辑、监督。Ali Nouri-Boroujerdi：撰写——审阅与编辑、监督、概念化。
