针对儿童疾病传播的分数阶SIR模型（包含疫苗接种情况）的稳定性分析及数值研究

摘要

本研究提出了一个分数阶SIR模型框架，用于探讨在疫苗接种影响下儿童传染病的传播动态。该模型通过引入Caputo分数阶导数对经典流行病模型进行了扩展，以纳入生物系统中常见的记忆依赖性效应。将人群划分为易感者、感染者和康复者三个群体，并研究了疫苗接种率、传播系数和康复率等关键流行病学参数的影响。通过适当的Banach空间中的不动点理论证明了该模型的解的存在性和唯一性，从而确立了其良定性。利用雅可比矩阵和基本再生数分析了无病状态和地方性流行状态的动力学稳定性。在数值近似方面，采用了分数阶Adams-Bashforth-Moulton预测-校正方案，并对其性能进行了评估。通过对有无疫苗接种的不同情景进行数值模拟，突显了免疫接种在控制疾病传播中的作用。研究结果表明，提高疫苗接种覆盖率可以显著降低基本再生数并增强无病状态的稳定性。此外，比较分析表明，所提出的数值方法相较于现有的分数阶Euler方法和隐式\(L_1\)方法能够得到稳定且准确的解。本研究强调了在流行病建模中纳入记忆效应的重要性，并为有效的疾病控制策略提供了有益的见解。