牵引力显微镜（TFM）量化了细胞与细胞外基质界面处的细胞力，但其弹性公式忽略了粘性耗散，可能错误解读在粘弹性基底上的细胞力。研究人员提出了一种半解析的二维粘弹性TFM（veTFM），该方法将弹性TFM的布辛内斯克（Boussinesq）框架推广至具有一或两个组分的广义麦克斯韦（GMX）基底。通过结合傅里叶变换和拉普拉斯变换，veTFM量化了有限厚度基底中的时间分辨牵引力，并解决了无应力参考状态和基底预应力问题。研究人员推导出了该框架下弹性区域仍然有效的判据。这使得veTFM成为标准二维TFM（eTFM）在粘弹性基底上的可扩展延伸，能够识别eTFM何时仍然足够、适用哪种弹性极限，以及何时需要完整的粘弹性量化。将该方法应用于在聚丙烯酰胺（linear-polyacrylamide）和海藻酸盐（alginate）粘弹性水凝胶上培养的心肌细胞、上皮细胞和真皮成纤维细胞时，veTFM表明，细胞所激活的弹性或粘弹性区域取决于加载速率与基底松弛时间之间的时间尺度匹配。值得注意的是，对于此处分析的广义麦克斯韦基底，粘弹性牵引力幅值与基底的总耗散而非单个松弛时间成正比，其中总耗散决定了牵引力幅值，而时间尺度匹配决定了细胞是以弹性还是粘弹性区域与基底相互作用。
在机械生物学中，细胞与细胞外基质（ECM）界面处的牵引力是细胞感知、探测和适应其环境的核心力学输出，因此不仅与机械生物学相关，也与新兴的机械医学以及通过细胞指导性生物材料进行的再生工程相关。细胞外基质的粘弹性并非仅仅是背景材料特性，而是细胞行为、组织结构和疾病相关反应的主动调节者，这使得在粘弹性基底上准确量化牵引力对于将基质力学与细胞产生的力传递联系起来变得至关重要。然而，当基底具有粘弹性时，推断的牵引力场不仅取决于施加的基底变形，还取决于细胞加载的时间内容与基底流变学重叠的方式。因此，只要基底耗散能够改变计算力的大小、时间分布或空间组织，研究粘弹性牵引力就是必要的。
标准二维弹性牵引力显微镜（eTFM）广泛应用于机械生物学，其核心是利用从布辛内斯克解导出的、基于傅里叶域格林函数的快速半解析算法。然而，这些弹性公式不考虑粘性耗散，而粘性耗散在许多生物组织和生物材料中是相关的，并在细胞加载的时间尺度上基底耗散不可忽略时会影响牵引力量化。虽然诸如有限元建模（FEM）等数值方法可以纳入粘弹性，但其计算成本限制了其在常规或高通量环境中的应用，也阻碍了其集成到大规模自动化或AI驱动的分析流程中。随着粘弹性基质在机械生物学和生物材料研究中的应用日益广泛，这一限制变得越来越重要。然而，在此类基底上的定量牵引力读数却滞后于基于位移的分析，因为常规的粘弹性牵引力量化工具尚不普及。现有方法包括基于FEM的实现、经验或正向公式，以及为特定本构模型或几何结构开发的解析解，但这些方法未能为用于平面有限厚度粘弹性基底的标准二维TFM提供一个常规的逆向半解析对应方法，部分原因是它们涉及更高的计算成本、额外的实验复杂性或不能直接对应于常见TFM工作流程的假设。相比之下，解析的布辛内斯克框架因其速度、精度和易用性仍然是标准二维弹性TFM（eTFM）的首选基础。
为此，研究人员提出了一种用于二维粘弹性TFM（veTFM）的半解析方法，该方法将主流二维eTFM推广到建模为具有一个或两个粘弹性组分的线性广义麦克斯韦（GMX）材料的平面有限厚度基底——这是一种用于描述多种生物组织和生物材料的离散弛豫类别。通过结合傅里叶和拉普拉斯变换，该方法从与传统eTFM相同的主要实验可观测量（即细胞朝向的基底表面的位移场）量化时间分辨的细胞牵引力，同时保持计算高效的半解析结构。从这个意义上说，veTFM并非旨在成为一个小众的力学变体，而是一个实用的标准牵引力量化的推广，可以集成到常规分析流程中。该框架兼容于任何基于平面有限厚度连续介质基底的二维TFM工作流程，无论位移场是来自无应力参考构型还是无参考构型方法，也无论用于测量细胞-基底界面位移的显微镜模式如何。它也不限于特定的基底化学性质，原则上适用于任何在相关区域内可被描述为线性粘弹性连续介质的基底，包括弹性体材料（如硅或聚二甲基硅氧烷（PDMS）），只要其粘弹性响应得到适当表征。
veTFM并非普遍取代eTFM，而是解决了在粘弹性基底上研究细胞时出现的两个实际模糊问题。首先，当弹性近似足够时，veTFM提供了确定适用弹性极限的原则性基础，而不是先验地假设单一刚度。其次，它识别了没有单一弹性刚度能提供可靠近似的区域，因为细胞在不同时间探测了基底流变学的不同部分。因此，veTFM可以作为粘弹性基底的实用默认方法——当粘性贡献在相关加载频率范围内可忽略时，它可简化为有效的弹性牵引力量化，而当粘性贡献不可忽略时它仍然有效。由于该方法保留了标准二维TFM的半解析结构，它在常规使用和可扩展分析方面仍保持计算上的实用性。更广泛地说，粘弹性基质在机械生物学中的日益增长的应用已超过了基于常规牵引力的读数的可用性，veTFM旨在通过将标准的位移-牵引力工作流程扩展到不可忽略耗散的基底上来弥合这一差距。
研究人员通过理论一致性检查和与独立解析及定制基于FEM的解决方案进行基准测试来验证该方法。同时，他们解决了实际实验挑战，即确定合适的无应力参考构型和校正基底预应力，这在粘弹性环境中尤为重要。他们进一步推导出定量判据，以界定半解析弹性TFM近似何时仍然有效，以及何时需要完整的粘弹性公式。研究人员将veTFM应用于三种具有不同加载动力学的人类细胞类型——在聚丙烯酰胺和海藻酸盐水凝胶上培养的搏动心肌细胞、乳腺上皮细胞和真皮成纤维细胞。结果表明，在粘弹性基底上的细胞所采样的有效机械响应取决于基底变形的速率和时间内容：快速加载采样更硬的高频响应；慢速加载采样更软的低频响应；中间区域产生的力分布与任何单一弹性近似都有偏差。这些效应无法用单一的弹性刚度值捕获。因此，veTFM提供了一个统一的、速率依赖的框架，用于量化粘弹性基底上的细胞产生力。
这种牵引力的时间依赖性调节是纯弹性模型所不具备的，与先前的运动学和生物学观察一致，这些观察提示了速率依赖性的细胞-基质相互作用。这也引发了一个问题：哪些粘弹性材料属性最强烈地影响牵引力幅值。在此处分析的GMX2框架内，结果显示耗散比任何单个松弛时间都是更重要的细胞牵引力幅值决定因素，这细化了强调材料时间尺度的机械生物学解释。更广泛地说，研究结果表明，细胞所激活的粘弹性区域是由基底耗散以及材料松弛与细胞诱导基底变形的频率谱之间的重叠共同决定的。在这个框架中，根据细胞探测的加载谱，基底行为可能是有效弹性的或真正的粘弹性，这反过来决定了弹性近似是否足够，还是需要完整的粘弹性量化。
总之，veTFM为粘弹性基质提供了一个实用的力读数，它解决了刚度选择的模糊性，识别了弹性量化不可靠的区域，并捕获了历史依赖性和局部牵引力特征，即使在弹性和粘弹性量化产生相似的中值牵引力幅值时也可能被遗漏。这将主流的二维牵引力显微镜扩展到了机械生物学、生物材料和再生工程中日益增长的基底耗散不可忽略的应用场景。
研究人员开展的研究包括：首先，他们提出了veTFM的半解析问题表述和求解。在细胞运动准静态近似下，强制基底内部的力学平衡，并将细胞牵引力通过z=h处的边界条件与柯西应力张量联系起来。通过对位移场应用时间上的拉普拉斯变换和空间上的二维傅里叶变换，将复杂的积分微分方程简化为沿垂直坐标z的常微分方程，其解给出了牵引力场与位移场在傅里叶-拉普拉斯域中的关系，其中涉及粘弹性格林函数。
其次，他们介绍了傅里叶-拉普拉斯veTFM解的离散数值实现。由于实验位移场是在离散空间网格和离散时间点上采样的，连续的傅里叶变换被二维离散傅里叶变换（2D-DFT）取代，并采用分段线性插值来数值逼近拉普拉斯变换。牵引力场在傅里叶-拉普拉斯域中计算后，再通过数值逆变换恢复到实空间。
第三，他们具体阐述了双组分广义麦克斯韦（GMX2）模型下的veTFM公式。GMX2模型由一个纯弹性支路与两个麦克斯韦粘弹性元件并联组成。模型参数包括弹性支路的弹性刚度E，两个麦克斯韦元件的弹性刚度E1、E2和粘性系数η1、η2，以及泊松比ν。这些参数被重新参数化为更直接反映其粘弹性响应的量：瞬时刚度E0、长期刚度E∞、每个麦克斯韦元件引起的应力耗散分数αi及其特征松弛时间τi。
第四，他们验证了veTFM算法。验证分为一致性（算法是否正确实现了理论）和可靠性（算法预测是否与独立方法匹配）两个方面。通过使用谐波位移场和四极子位移场作为输入，并比较veTFM与解析解或定制的FEM-veTFM方法的输出，评估了算法在不同采样间隔下的性能。结果表明，veTFM在高频率和中间频率采样下表现出良好的一致性和可靠性，且计算速度远快于FEM-veTFM。
第五，他们讨论了将veTFM应用于实验数据时的参考构型和预应力效应。研究指出，veTFM需要测量相对于定义的无应力构型的位移场。对于无应力工作流程，参考构型需在细胞移除后通过充分弛豫获得。对于预应力效应，由于实验成像可能无法从细胞粘附时刻开始，初始位移可能已包含残余应力。因此，牵引力计算需要从成像起始时间加上一个有效自由历史时间偏移tfree（取为5倍最长松弛时间）之后开始。
第六，他们进行了三个体外案例研究：在聚丙烯酰胺上培养的搏动心肌细胞（CM）、在聚丙烯酰胺上培养的MCF10A上皮细胞，以及在海藻酸盐上培养的人真皮成纤维细胞（HDF）。通过原子力显微镜（AFM）表征了基底的粘弹性参数，并采用GMX2模型拟合。测量了细胞诱导的基底位移场，并计算了其时间傅里叶功率密度谱S(ω)。结果发现，对于位移谱以零频为中心且非振荡为主的MCF10A和HDF，veTFM的平均牵引力幅值与长期弹性极限eTFM∞匹配。而对于具有双峰位移谱（包含零频和高频分量）的心肌细胞，在舒张期（低加载速率）veTFM估计值偏向eTFM∞，在收缩期（高加载速率）则偏向eTFM0，显示出速率依赖性的切换。
第七，他们建立了选择粘弹性与弹性TFM公式的判据。通过系统地改变虚拟GMX2基底的材料参数（耗散幅值和时间尺度），并使用上述三种细胞类型的实验位移场作为输入，量化了veTFM与eTFM∞或eTFM0之间的差异。分析表明，粘弹性牵引力幅值对总耗散αt的增加非常敏感，而对单个松弛时间的变化相对不敏感。当基底总耗散接近流体状极限（αt ≈ 1）时，弹性近似变得不可接受，必须使用完整的veTFM。eTFM∞适用于细胞加载谱集中在主要流变学拐点以下的低频区域时；eTFM0适用于加载谱集中在拐点以上的高频区域时；否则或总耗散较高时则需要veTFM。
最后，论文讨论部分总结了以下要点：veTFM扩展了标准二维TFM，使其适用于粘弹性基底，同时保持了半解析结构的计算效率。它解决了粘弹性特有的实验问题，如参考构型处理和预应力校正。研究的核心发现是，在分析的GMX2框架内，基底的总耗散比单个松弛时间更能决定牵引力幅值。veTFM将粘弹性牵引力量化从一项临时或专家型工作转变为一个实用的决策框架：它能识别弹性近似何时有效，当有效时应选用哪种弹性极限，以及何时需要完整的粘弹性量化。该方法与现有TFM工作流程兼容，并具有明确的适用条件，因此可立即投入使用，同时也为未来向更广泛的粘弹性材料类别扩展提供了基础。veTFM使得用户能够超越仅位移分析和临时刚度选择，通过解析时间依赖的牵引力动力学和局部力组织来获得更全面的理解。
