分数阶全复值不确定竞争神经网络的动态分析及其在图像隐私保护中的应用

本文构建了分数阶全复数不确定竞争神经网（FFCUCNN）模型，通过构造新收缩映射证明平衡点存在唯一性，结合分数阶李雅普诺夫方法和不等式技巧分析全局 Mittag-Leffler 稳定性，设计非线性自适应控制器实现同步，并通过数值仿真验证应用效果。

陈胜龙|李志明|韩思宇|杨继凯|李洪利

新疆大学数学与系统科学学院，乌鲁木齐830017，中国

摘要

本文探讨了一种新型网络——分数阶全复值不确定竞争神经网络（FFCUCNNs），并通过直接方法分析了其动态特性，包括但不限于FFCUCNNs平衡点（EP）的存在性和唯一性（EU）、全局Mittag-Leffler（M-L）稳定性以及基于非线性自适应控制的同步性。首先，通过应用压缩映射原理证明了EP的EU。此外，利用分数阶李雅普诺夫方法和不等式技术，推导出了一些易于验证的代数不等式准则，以保证FFCUCNNs的全局M-L稳定性。同时，通过设计新型非线性自适应控制器，得到了几个计算复杂度较低的同步性准则。最后，通过两个数值模拟和一个与图像隐私保护相关的实际应用，证明了这些动态结果的可行性和实用性。

引言

近年来，神经网络（NNs）的动态特性成为最热门的研究领域之一，因为它在包括图像处理在内的多个领域具有重要的实用性[1]、[2]、[3]。作为传统NNs的重要扩展，竞争神经网络（CNNs）最初由Michael A. Cohen和Stephen Grossberg在1983年提出[4]。目前，已经证实CNNs不仅可以协调NNs层之间的合作与竞争关系，而且在机器人、模式识别等方面也发挥着不可或缺的作用。状态变量分为两类：短期记忆（STM）和长期记忆（LTM），分别对应快速的神经活动和缓慢的无监督突触修改。迄今为止，许多研究者致力于CNNs动态特性的研究，并在[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]、[12]、[13]、[14]等文献中报告了大量的有价值成果。

值得注意的是，上述关于CNNs的研究都是在实数域中进行的。随着研究的深入，人们发现复数值变量在包含信息流和光电子学的众多实际应用中广泛存在。通过将复数值变量引入NNs，复值NNs（CVNNs）应运而生，并受到了广泛关注[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]。由于实值神经网络（RVNNs）只是CVNNs的一种特殊形式，因此基于CVNNs的模型构建更为通用。此外，CVNNs具有更复杂的特性和广阔的应用前景，能够解决基于RVNNs无法解决的对称性检测和XOR问题。基于这些考虑，结合复数值变量和CNNs来建模复值CNNs（CVCNNs）非常重要。例如，Xu等人研究了CVCNNs的多稳态问题[15]。与CVCNNs相比，全复值CNNs（FCVCNNs）的动态特性更为复杂和有意义，因为其所有状态都是复数值。目前，尚未有相关学术成果分析FCVCNNs的动态行为，这激发了我们研究这一有趣且具有挑战性的问题。

分数阶微积分已成为一种强大的数学工具，用于精确建模NNs并研究其复杂动态[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]。Pratap等人首次引入了分数阶CNNs（FOCNNs），并获得了稳定性和同步性准则[28]。此后，FOCNNs的动态分析引起了学术界的关注，出现了许多创新成果，如稳定性[28]、[30]、[31]、[32]、[34]、分岔[29]、稳定化[32]以及同步性[28]、[33]、[34]、[35]、[36]、[37]。同时，由于外部噪声和干扰的影响，NNs参数的不确定性在实际应用中难以避免，这可能会破坏NNs的性能并产生不准确的结果[13]、[18]、[20]、[21]、[35]、[36]、[37]。幸运的是，一些学者在FOCNNs研究中考虑了不确定参数的因素，并取得了有价值的发现。例如，Ansari等人利用分数阶导数性质研究了不确定FOCNNs的投影同步性[37]。因此，从上述分析来看，研究不确定全复值FOCNNs（FFCUCNNs）在理论和应用上具有重要意义。然而，FFCUCNNs的动态特性至今尚未被分析，这激励我们填补这一研究空白。

众所周知，NNs的稳定性一直是研究者关注的重点，因此研究FFCUCNNs的稳定性非常有趣。此外，由于其在密码学和安全通信中的广泛应用，同步性已成为最重要的动态特性之一。为此，已经设计了多种控制策略，如脉冲控制[2]、量化控制[9]、自适应控制[36]、[42]、[43]、混合控制[38]以及反馈控制[39]、[40]、[41]。为了使控制方案更具通用性并降低成本，设计合适的非线性自适应控制器具有重要意义。据我们所知，目前还没有相关论文探讨FFCUCNNs的稳定性和基于非线性自适应控制的同步性，更不用说相关的应用研究了。因此，以下问题自然而然地出现了：应该采用哪些分析工具来研究FFCUCNNs的稳定性和同步性？如何设计有效的非线性自适应控制器以实现控制目标并获得同步性准则？如何将动态结果应用于实际应用，如图像保护？这些有趣且具有挑战性的问题值得我们进一步研究。

受上述讨论的启发，本文致力于FFCUCNNs的动态特性研究。本研究的主要创新点如下：

• (i)
  通过同时考虑分数阶微积分、全复值变量和不确定参数，构建了一种新的网络模型FFCUCNN。
• (ii)
  通过构造一个新的压缩映射，严格证明了FFCUCNN的EP的EU。
• (iii)
  设计了一种有效的非线性自适应控制器，以实现FFCUCNN的完全同步，该控制器具有更高的通用性和更低的成本。
• (iv)
  以代数不等式的形式获得了一些充分的稳定性和同步性准则，从而降低了线性矩阵不等式（LMI）带来的计算复杂性。并且将FFCUCNN的同步结果应用于图像隐私保护的研究。
• (v)
  本文的主要结果基于直接方法，不仅使结果更加简洁，还保留了全复值信号引入的原始特性。

本文的结构如下：第2节回顾了与分数阶微积分相关的一些基本知识和重要不等式，并描述了FFCUCNN模型。第3节获得了关于EP的EU、全局M-L稳定性和基于非线性自适应控制的同步性的一些充分准则。第4节给出了三个数值示例，以检验所得结果的有效性和实用性。最后，第5节总结了研究结论。

符号说明：见表1。

部分摘录

初步知识和模型描述

本节回顾了分数阶微积分的一些基本知识，并构建了FFCUCNN模型，并给出了相应的假设。

定义1

[44](Riemann-Liouville分数积分) $$的分数积分定义为$$

定义2

[45](Caputo分数导数) $$的分数导数定义为$$

定义3

[44]、[45]。 (Mittag-Leffler函数) 对于$$，Mittag-Leffler (M-L)函数定义为$$

定义4

如果$$是FCFCUNN (3)的平衡点（EP），则称$$

主要动态结果

本节分别研究了FFCUCNN的EP的EU、全局Mittag-Leffler稳定性和基于非线性自适应控制的同步性。

数值示例

本节提供了三个数值示例，以说明FFCUCNN动态结果的可行性和实用性。

示例1

我们考虑以下由两个神经元状态变量组成的FFCUCNN：$$其中$$、$$、$$、$$、$$$$

根据假设1的条件，FFCUCNN (1)具有唯一的平衡点。此外，根据假设2的条件，$$和$$，因此FFCUCNN (41)的平衡点是全局M-L稳定的，如图1和图2所示。示例2

结论

本文基于直接方法分析了FFCUCNN的动态特性。首先，通过新构造的压缩映射严格证明了EP的EU。此外，利用分数阶李雅普诺夫方法和一些不等式技术探讨了FFCUCNN的全局M-L稳定性。此外，通过设计新型非线性自适应控制策略，得到了FFCUCNN的同步条件。本文获得的所有准则都

CRediT作者贡献声明

陈胜龙：撰写——原始草案、方法论、资金获取。李志明：撰写——审稿与编辑、监督、资金获取。韩思宇：撰写——审稿与编辑、验证、形式分析。杨继凯：软件开发、形式分析、概念化。李洪利：撰写——审稿与编辑、资金获取、形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系可能影响本文所述的工作。

致谢

本工作得到了中央地方科技发展引导基金（ZYYD2025ZY20）、国家自然科学基金（项目编号12561047、12262035）、新疆维吾尔自治区自然科学基金（项目编号2024D01E01、2025D01B89）、天山人才培训计划（项目编号2024TSYCCX0003）以及新疆维吾尔自治区研究生科研创新计划（项目编号XJ2025G015）的支持。

陈胜龙1997年出生于中国山东。他分别于2019年和2022年在山东菏泽大学获得数学和应用数学学士学位，以及新疆大学获得应用数学硕士学位。自2022年9月起，他目前在新疆大学攻读数学博士学位。他的当前研究兴趣包括微分方程和动力系统、复杂系统