深度学习的最新进展为CVBD的替代建模开辟了新途径。这些模型旨在从输入条件（例如，车辆和桥梁参数、道路粗糙度、轨道不规则性等）到输出响应（例如，位移、加速度等）之间进行近似映射，而无需显式编码控制物理定律。因此，它们通常被视为“黑盒”模型。尽管如此，它们强大的非线性近似能力和易于部署的特点使其在变化条件下进行动态响应预测时具有吸引力。
多种神经架构已被应用于公路桥梁场景。Zhang等人[5]使用蚁群优化反向传播神经网络（BPNN）在随机交通条件下估计桥梁中跨变形量。Angelo等人[6]结合人工神经网络和遗传编程来捕捉制动引起的车辆-桥梁相互作用。Xu等人[7]使用多层长短期记忆（LSTM）网络根据实时轴荷和车辆速度预测梁端位移。在铁路领域，Li等人[8]、[9]、[10]探索了几种架构，包括反向传播人工神经网络（BP-ANN）和卷积神经网络-长短期记忆（CNN-LSTM）模型，以预测高速列车加载下的桥梁响应。他们的工作后来扩展到估计与安全相关的指标，如脱轨系数和卸载率。其他研究利用循环网络来估计中跨变形量、加速度或动态响应的概率分布[11,12]。值得注意的是，Moon等人[13]根据现场测量的应变和位移数据训练ANN模型，捕捉现实世界的噪声和环境影响，以提高在服役条件下的预测精度。深度学习也被广泛用于车辆-桥梁耦合响应的前向预测。Zhou等人[14]引入了一种使用物理约束生成对抗网络（PC-GAN）的新方法，从两轴车辆振动响应间接估计桥梁表面粗糙度，为车辆-桥梁耦合系统参数识别提供了一种新方法。
CVBD系统的响应预测从根本上可以归结为求解参数偏微分方程（PDEs），这类方程具有共同的结构，但在边界条件、初始状态、材料属性和外部激励等参数上有所不同。这种表述特别适用于随机振动分析和可靠性评估，其中不确定性来源于系统特性（例如，车辆和桥梁的质量、刚度、阻尼）、激励源（例如，道路粗糙度、轨道不规则性）和边界条件。因此，必须在不同的配置下求解大量的PDE实例。
传统的深度学习方法，如ANN和LSTM，近似特定的解实例，并且在参数发生变化时需要重新训练，这使得它们在大规模参数研究中效率低下。为了克服这一限制，最近的研究转向了算子学习，即尝试近似PDE族的解算子，即学习从输入函数到输出响应场的映射。这一范式导致了神经算子框架的发展，如Deep Operator Net（DeepONet）[15]和傅里叶神经算子（FNO）[16]。这些模型将输入函数编码为有限维表示（例如，通过点采样或傅里叶变换），并使用神经网络学习函数到函数的映射。一旦训练完成，它们允许通过单次前向传递快速推断任意可接受的参数，比传统求解器快得多。其中，DeepONet采用分支-主干架构，并在结构可靠性和流体动力学等领域取得了成功[17]、[18]、[19]。然而，由于其单输出设计，在复杂系统（如CVBD）中建模高维输出通常需要多个网络，限制了其可扩展性。
相比之下，FNO利用频域中的谱卷积来高效学习无限维函数空间之间的映射，同时天然支持多输出预测。近年来，傅里叶神经算子（FNO）在广泛的科学领域中得到了快速应用。例如，Wen等人[20]提出了U-FNO模型用于多相流模拟，而Guan等人[21]使用FNO求解均匀介质中的二维光声波方程。O’Brien等人[22]使用FNO进行火山地震信号的正向和逆向建模，展示了其在捕捉传统成像方法无法捕捉的细尺度速度结构方面的能力。Li等人[23]报告了FNO在三维湍流的大涡模拟中的优异性能。在大气科学中，Jiang等人[24]展示了FNO在零样本超分辨率生成一阶估计方面的潜力。Grady等人[25]应用FNO建模地下多相CO₂动态，Zhang等人[26]展示了其在解决由多相流PDEs控制的正向、逆向和参数估计问题中的有效性。这些研究突显了神经算子框架的强大泛化能力和计算效率。特别是，FNO的谱形式在表示振荡和多频率行为方面具有显著优势，使其非常适合具有高分辨率时间数据和多个自由度的动态系统，如车辆-桥梁相互作用。这一更广泛的背景激发了当前的工作，并为将来将基于神经算子的方法扩展到更复杂的多物理耦合系统指明了有希望的方向。
尽管最近在数值算法和深度学习方面的进展改进了CVBD分析，但仍存在一些限制。大多数深度学习应用集中在铁路车辆-桥梁相互作用上，而对公路场景的关注相对较少。在许多情况下，模型是在狭窄的参数范围内训练的，这限制了它们对不同结构或操作条件的泛化能力，这对于可靠性分析和智能维护至关重要。此外，输入配置对模型性能的影响往往被忽视。许多模型仅依赖于位移输入，忽略了可能提高精度的速度和加速度信息，尤其是在具有复杂动态耦合的高维系统中。虽然基于物理的算子学习方法，如物理信息驱动的DeepONet[27]和物理信息驱动的FNO[28]，为结合物理约束提供了有希望的途径，但它们主要应用于低维问题。它们在真实的、参数丰富的CVBD场景中的有效性仍很大程度上未知。
本研究旨在探讨FNO在从简化的1-DOF到全尺寸13-DOF车辆系统的不同复杂度系统中的适用性。研究不仅强调基于物理的约束的集成，还重点比较了不同的输入-输出配置、损失函数公式和训练策略，旨在建立准确高效CVBD响应预测的实际指南。为此，使用传统的数值求解器在不同的物理和操作条件下生成了多个CVBD场景的合成数据集，包括车辆和桥梁的质量、刚度、阻尼、道路粗糙度、跨度长度和车辆速度。这些数据集用于训练和评估各种建模设置下的FNO模型，从纯数据驱动到增强物理的配置。特别关注导数输入、归一化尺度和加权数据损失函数的影响，尤其是在高维情况下。本文的其余部分结构如下。第2节介绍了CVBD建模公式和所提出的基于物理的FNO的架构。第3节提供了1-DOF、2-DOF和13-DOF车辆模型的CVBD系统的数值实验，详细评估了网络架构、输入设计、损失组成和训练策略。第4节总结了主要发现。
