基于变形驱动的自适应条纹偏转测量技术，用于测量具有较大局部曲率的表面

DVF-PMD方法通过基于变形场雅可比矩阵构建像素级空间频率模型，逆设计屏幕空间频率，解决传统均匀频率PMD测量大局部曲率表面（如边缘滚落）时的条纹压缩与混叠矛盾，实现全孔径高精度测量。摘要：

吴振|牛振琪|江国昌|赵亚楠|万松林|魏朝阳|邵建达

中国科学院上海光学精密机械与物理研究所高功率激光元件技术与工程部，上海201800，中国

摘要

相位测量偏转仪（PMD）由于其高动态范围、全孔径覆盖和非接触特性，成为过程测量的一种有前景的技术。然而，传统的均匀频率PMD在测量具有较大局部曲率的表面时面临矛盾的条纹频率要求，例如那些在加工后表现出明显边缘衰减的表面。在低曲率区域需要高频率以保持相位灵敏度，但相同的频率在大曲率区域往往会受到强烈压缩，导致条纹拥挤和混叠。为了解决这一限制，我们提出了一种基于变形驱动的可变频率PMD（DVF-PMD）方法。DVF-PMD通过测量得到的变形场的雅可比矩阵建立逐像素的空间频率模型，并反向设计具有空间变化频率的屏幕条纹。这样，DVF-PMD在大曲率区域抑制了混叠，同时在低曲率区域保持了高相位灵敏度，从而改善了全孔径的条纹采样。仿真和实验验证了该方法在具有边缘衰减的镜子上的稳定相位恢复和全孔径测量效果。使用LUPHOScan测量作为外部参考，DVF-PMD将中心区域的残差RMS降低到3.53纳米，约为低频率均匀PMD配置的四分之一，同时实现了89.07纳米的全孔径残差RMS。相比之下，高频率均匀PMD配置由于在严重压缩的区域相位恢复失效，无法获得有效的全孔径结果。

引言

随着精密光学制造向集成原位计量技术的发展，一个关键技术瓶颈变得越来越突出：传统的计量技术本质上无法满足对光学组件的高精度、原位和全孔径表面表征的严格要求[[1], [2], [3]]。虽然干涉测量能够实现超高测量精度，但它具有狭窄的动态范围和对环境扰动的极端敏感性。这些缺点阻碍了其在加工过程中的实际应用[[4,5]]。相比之下，相位测量偏转仪（PMD）作为一种非常有前景的方法，具有非接触操作、全孔径覆盖和大动态范围等优点[[6], [7], [8], [9]]。在PMD框架中，相机捕获显示在LCD屏幕上的条纹图案，这些图案在从被测表面（SUT）的镜面反射时会发生畸变。通过提取这些畸变条纹的相位，可以建立相机和屏幕之间的逐像素对应关系。结合系统校准参数，这种对应关系映射使得可以通过数值积分计算出SUT的法线向量[[10,11]]。由于表面法线是由入射光和反射光的角度平分线得出的，因此这种逐像素对应关系的准确性是PMD测量性能的关键决定因素。

传统的PMD使用均匀频率的正弦条纹和线性屏幕-像素编码。然而，在测量具有较大局部曲率的表面时，反射的条纹图案显示出明显的不均匀空间频率：凸区域压缩条纹，从而导致混叠和相位测量误差[[12,13]]，而凹区域拉伸条纹，导致相位灵敏度下降[[14]]。这种空间非线性在数据采集阶段会导致不可逆的信息损失，即使使用先进的相位恢复算法也无法完全补偿。这种畸变在常见的制造缺陷中尤为明显，尤其是边缘衰减[[15,16]]。作为局部凸曲率的典型表现，边缘衰减由于较大的局部曲率而引起严重的条纹压缩，这不仅会触发相位混叠，甚至可能导致局部测量无效。为了实现全孔径测量，传统方法被迫降低全局条纹频率以避免混叠。然而，这种调整在曲率相对平缓的区域会产生过于稀疏的条纹图案，从而影响相位分辨率并降低整体测量精度。因此，传统的均匀频率PMD无法在具有较大局部曲率的组件的整个表面上实现平衡的条纹采样。

为了解决这一挑战，研究人员提出了各种改进策略。张等人[[17]]和严等人[[18]]使用先前的表面模型通过逆向光线追踪生成预畸变的条纹。这种方法对于减少凸镜的边缘模糊和低对比度已被证明是有效的。然而，其性能取决于假设的模型与实际测量条件的匹配程度。当由于制造误差（例如边缘衰减）或系统几何形状不准确而发生不匹配时，预期的条纹混叠校正就会受到影响，特别是在局部曲率明显的区域，测量精度会受到影响。

考虑到凸镜的形状和曲率特性，傅等人[[19,20]]提出了基于极坐标条纹和螺旋条纹的PMD方法，这些方法可以利用径向特征来缓解边缘条纹压缩。然而，由于这种方法均匀调整条纹间距且缺乏精确的定量校准机制，可能不足以应对局部压缩变化。这可能导致补偿不足或过度补偿。在此基础上，傅等人[[21]]建立了相机和LCD屏幕之间的极坐标逐像素映射，以实现反射后在相机上恢复理想图案的自适应条纹。邵等人[[22]]使用笛卡尔坐标系中的屏幕和相机之间的逐像素映射来设计投影条纹图案，从而产生理想的莫尔条纹。更一般地，基于映射的自适应条纹策略从测量的相机-屏幕对应关系中派生出投影图案，实现对实际畸变的逐像素适应。然而，在实践中，测量的映射通常包含噪声和有缺陷的像素。当使用这种映射进行图案反投影时，这些缺陷可能会传播到设计的条纹中，阻止连续正弦图案的构建。此外，条纹生成和屏幕坐标反演涉及重复的逆向查找和插值/重采样，这可能会引入残差误差，并影响测量精度，特别是在具有较大畸变的区域。

与这些方法并行，基于深度学习的方法，如Ravi等人[[23]]提出的学习驱动网络（CF3DNet）和Fan等人[[24]]开发的包含勒让德多项式的神经网络，提供了数据驱动的解决方案。然而，它们的性能严重依赖于大规模、具有代表性的训练数据集的可用性。

本文提出了一种基于变形驱动的可变频率PMD（DVF-PMD）方法。首先投影低频条纹以建立屏幕-相机像素对应关系，然后从中导出全场变形。从这个变形场得到的雅可比矩阵明确地将反射后的所需相机侧空间频率场与所需的屏幕侧空间频率场联系起来。然后使用Zernike梯度多项式全局拟合这个频率场，并将其积分以形成连续的解析相位，用于条纹生成和屏幕坐标反演。这减少了对局部插值的依赖，并有助于避免插值引起的伪影。通过根据局部变形自适应地改变屏幕条纹频率，反射条纹在传感器上恢复了规定的相机侧目标图案。这改善了全孔径上的条纹采样一致性，显著减少了强烈压缩区域的相机侧混叠，同时在低畸变区域保持了相位灵敏度。因此，DVF-PMD有效解决了具有较大局部曲率变化表面的测量挑战，例如边缘衰减效应。

本文的结构如下。第2节详细介绍了所提出的DVF-PMD方法的原理；第3节通过仿真和物理测量验证了该方法的有效性；第4节讨论了该方法的局限性并概述了未来的研究方向；第5节总结了本研究。

部分摘录

变形梯度建模

为了获得用于DVF-PMD设计的变形场，首先需要建立相机-屏幕像素对应关系。这种对应关系是通过投影低频条纹并结合三频外差策略进行四步相位移动来获取绝对相位来建立的。低频基线提高了相位解调的鲁棒性，并减少了强烈压缩区域的混叠风险。基于这种基线采集，建立了屏幕和

数值模拟

为了验证所提出的DVF-PMD方法在局部大曲率表面上的有效性，使用了PMD系统进行了仿真，如图2(a)所示。坐标系以SUT的几何中心为基准。相机的光学中心位于(200, 0, 1000)毫米，其CCD平面设置在z = 1035毫米（像素大小：7微米）。屏幕位于z = 1000毫米（像素大小：0.2毫米），面对一个100毫米孔径的凸形自由曲面，其中心隆起的地形是

限制和未来工作

DVF-PMD方法依赖于初始的屏幕-相机像素对应关系来导出变形场并执行频率反演。在实践中，这种初始对应关系中的残差不匹配可能会传播到设计的频率分配中，特别是在严重畸变的区域。未来的工作将探索从粗略到精细的闭环对应关系细化作为可选的增强措施，以减少这种不匹配的影响。

此外，对于具有极端曲率的表面

结论

本研究提出了一种DVF-PMD方法，以解决传统均匀PMD在测量具有较大局部曲率的光学组件时条纹频率适应的矛盾。从测量得到的变形场的雅可比矩阵构建了一个逐像素的空间频率模型。然后使用该模型反向设计具有空间变化频率的屏幕条纹，改善了全孔径上的条纹采样。设计的条纹使相机捕获的图案保持在

资助

本工作得到了中国科学院战略性优先研究计划（项目编号：XDA0380000, XDC0280100）的支持；中国科学院青年创新促进协会（项目编号：2022246）的成员；以及国家自然科学青年基金（项目编号：62205352, 62305351）的资助。

作者声明

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CRediT作者贡献声明

吴振：撰写——原始草案、方法论、概念化。

牛振琪：撰写——审阅与编辑、调查、形式分析。

江国昌：验证、软件、数据管理。

赵亚楠：可视化、调查。

万松林：监督、资源提供。

魏朝阳：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取。

邵建达：撰写——审阅与编辑、监督。

利益冲突声明

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