由于纤维增强复合材料层压板具有高比强度、强的设计能力和优异的疲劳抗性，因此被广泛应用于航空航天、土木工程、光学元件、车辆和船舶等众多工程领域。层压板的固有特性与其结构的稳定性、可靠性、使用寿命和安全性密切相关。因此，准确确定层压板的自然振动模式对于实际工程结构的设计和性能评估至关重要。
为了更好地研究不同厚度和不同边界条件下的层压板自然振动模式，层压板理论已经从最初的经典层压板理论（CLT）发展到了一阶剪切变形理论（FSDT）、高阶剪切变形理论（HSDT）以及基于连续介质的3D弹性理论[1]。尽管3D理论精度更高，但由于其复杂的几何模型和边界条件，其在适用性和计算效率方面存在明显限制。因此，2D层压板理论在纤维增强层压板的求解中应用更为广泛。
由于层压板复杂的耦合力学行为，很难获得其控制微分方程的解析解。因此，数值解法受到了广泛关注。其中，有限元方法（FEM）应用最为广泛。为了提高其精度和求解效率，已经进行了大量的研究[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7]、[8]、[9]。Zang等人[3]提出了一种基于非均匀有理B样条的等几何缩放边界FEM，有效地求解了复合材料层压板在弹性基础上的弯曲和自由振动问题。Zhao等人[4]将Jacobi正交多项式与分割策略结合到通用FEM中，改变了其动态刚度矩阵的稀疏性，并提高了该多项式FEM的收敛速度。Guo[5]基于HSDT和拟协调元技术，开发了一种高效的四节点四边形板单元，用于求解层压板的自然频率，其单元刚度和质量矩阵可以显式计算。
无网格方法[10]、[11]、[12]、[13]也在层压板研究中得到广泛应用，学者们构建了不同的位移函数。Motamedi[10]提出了一种基于Trefftz框架和局部指数基函数的无网格方法，近似求解了任意形状薄层压板的自由振动和屈曲问题。Bui[11]采用移动克里金函数进行插值，避免了在一般无网格方法中应用本质边界条件的困难。Kwak[13]提出了一种新的无网格移动最小二乘-切比雪夫形状函数，用于具有孔洞的层压复合任意四边形板的自由振动特性研究。
其他数值解法包括等几何分析（IGA）方法[14]、[15]、[16]、[17]、有限差分（FD）方法[18]、微分求积（DQ）方法[19]和离散奇异卷积（DSC）方法[20]等。Secgin[20]利用基于分布理论和小波的网格离散化方法，通过DSC方法数值研究了对称薄层压板的自由振动。Khalid等人[21]、[22]基于广义逆DQ方法，通过Moore-Penrose伪逆预处理将一个欠定系统转化为标准特征值系统，求解了任意形状层压板的自由振动。这种方法在显著提高计算效率和稳定性的同时，减少了自由度（DOFs）的数量。Liew[19]采用DQ方法和移动最小二乘近似相结合的解决方案，分析了对称层压板的自由振动，突破了常规DQ方法在规则网格上的限制。
作为高效准确的近似解法，瑞利-里兹方法[23]、[24]、[25]、[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]、[32]、[33]、[34]被广泛用于研究层压板的动态力学行为。其精度、稳定性和收敛性取决于Ritz基函数的选择和构造，这些基函数应满足位移边界条件并且在计算上稳定。因此，为了实现计算精度和收敛性，大多数文献在使用瑞利-里兹方法时引入了惩罚函数来近似处理边界条件[26]、[27]、[28]、[29]。Liang等人[26]基于瑞利-里兹方法和惩罚函数，研究了在弹性边界条件下具有任意双轴对称几何形状的交叉层压板的自由振动。通过域分割积分方法和Gram-Schmidt正交化过程，实现了能量积分的解析简化，从而提高了计算效率。Pang[27]和Li[28]结合多段分割策略和惩罚函数，提出了用于任意边界条件下层压圆柱壳和球壳自由振动分析的Jacobi-Ritz方法。Qin[29]提出了一种基于Jacobi-Ritz方法和惩罚函数的统一模型，用于具有任意边界条件的层压板自由振动研究。除了使用惩罚函数处理边界条件外，Khov[30]还构建了一种以傅里叶余弦级数形式的位移函数，并引入了额外的位移函数项，以确保边界上位移及其相关导数的准确性和收敛性。这种新的位移函数可用于具有通用弹性边界支持的各向异性板的静态挠度和自然振动模式。一些学者还采用了满足边界条件的梁模态函数作为近似位移函数。Nallim[31]、[32]选择了满足边界条件的梁正交模态函数作为基函数，求解了在各种边界条件下的矩形对称层压板和任意四边形反对称层压板的自由振动。Cheung[33]、[34]提出了一种基于静态梁函数和瑞利-里兹方法的高效数值方法，分析了对称和反对称层压矩板的自然振动。
从上述文献综述可以看出，关于层压板自由振动的研究主要局限于数值解法，缺乏能够完全揭示层铺参数与自然振动模式之间关系的解析或半解析方法。在此背景下，本文提出了一种矩形薄层压板自由振动的解析解法和半解析解法，包括对称和反对称的交叉层压板以及角层压板情况。在这两种方法中，特征微分方程和边界条件是基于瑞利商推导出来的。对于对称交叉层压板，通过迭代SOV（iSOV）方法[35]获得了封闭形式的解析解，该方法是包括直接SOV方法[36]、变分SOV（vSOV）方法[35]、iSOV方法[35]、改进的SOV（imSOV）方法[37]和扩展的SOV（eSOV）方法[38]在内的广义SOV方法之一。对于具有弯曲-扭转耦合的对称角层压板，广义SOV方法得到的封闭形式解无法满足精度要求。因此，本文提出了一种基于瑞利-里兹方法的半解析方法。在半解析方法中，不考虑弯曲-扭转耦合的封闭形式模态函数作为Ritz基函数，然后根据瑞利商得到频率方程和模态函数。与一般的三角级数或正交多项式叠加解相比，满足边界条件的封闭形式模态函数更接近层压板的实际模态函数。因此，无需像其他文献中那样通过惩罚函数来近似边界条件。对于具有耦合刚度的反对称层压板，本文提出了中面位移与挠度之间的简化关系，将三个独立位移简化为一个单一挠度，然后通过iSOV方法或半解析方法求解自然振动模式。数值比较验证了该模型的准确性，并显著简化了计算复杂性。
本文的其余部分安排如下。第2节阐述了四种特殊层压板自由振动的解析方法和瑞利-里兹方法，并介绍了对称角层压板的变分不一致性和反对称层压板的简化模型。第3节通过将本文结果与FEM和现有文献的结果进行比较，验证了所提出方法的有效性。最后，第4节给出了结论。
