随着信息技术的不断发展，软件系统已深深嵌入现代生活，驱动了移动应用、云平台和自动驾驶汽车等各种应用的发展。由于持续的创新，这些系统在市场上迅速得到采用，从而增强了它们的社会和经济影响力。然而，这种加速的扩散也增加了与安全漏洞相关的风险。与普通缺陷不同，安全漏洞是一类特殊的软件缺陷，攻击者可以利用它们来破坏系统完整性、干扰操作或未经授权地访问敏感信息[1]。此外，在当今高度互联的环境中，安全漏洞可能在不同设备和服务之间传播，产生超出单个系统的系统性风险。
现实世界中的事件凸显了未修补漏洞可能造成的严重后果。2017年的Equifax数据泄露事件——由于未修补的Apache Struts漏洞——暴露了数千万人的个人信息，导致了巨大的财务和声誉损失[2]。2021年，Microsoft Exchange Server中的关键漏洞被大规模利用，导致了广泛的数据盗窃和未经授权的入侵[3]。在消费领域，苹果公司在2025年面临了多次零日攻击和零点击攻击，促使发布了四波警报，因为像Pegasus和Predator这样的间谍软件针对了高知名度用户[4]。这些案例共同表明，漏洞不仅仅是技术缺陷，而是重大的安全隐患，如果不及时处理，可能会引发连锁的操作、法律和声誉损害。
为了减轻这些风险，开发人员通常会发布补丁，这些补丁是用于修复现有漏洞的小型软件程序[5]。有效的补丁管理可以显著降低软件系统的整体暴露风险[6]。然而，确定最佳补丁发布数量和时机仍然是一个本质上的挑战。一方面，每次报告漏洞后立即发布补丁可能会导致大量的开发、测试和部署成本。此外，匆忙的开发周期可能导致设计不佳的补丁，从而引入新的问题[7]。另一方面，延迟发布补丁会延长暴露时间，增加被利用的可能性。微软的“Patch Tuesday”就是协调部署效率与及时风险缓解之间这种基本权衡的例证[8]。因此，有效的补丁管理必须在应对安全威胁的紧迫性和软件维护的经济考虑之间谨慎平衡。
进一步复杂化补丁管理的是用户群体在整个软件生命周期中的动态扩散。随着新技术的传播，采用通常分阶段进行，早期采用者会影响后来的用户，采用率逐渐在整个群体中扩展。这一过程产生了异质性和时间依赖性的用户采用率，导致累积用户群体随时间不断演变。特别是对于创新产品，市场渗透速度较快但不均匀，这种动态直接影响补丁修复的效果。因此，开发人员在设计有效的软件补丁策略时必须明确考虑这种用户群体动态，确保发布计划与用户采用情况的发展保持一致，以最大化安全效果和成本效率。
受上述讨论的启发，本研究首次尝试在软件维护的背景下结合软件可靠性工程和市场营销扩散理论。具体来说，我们研究了考虑用户动态采用的软件系统的最佳补丁策略。数值实验表明，对于生命周期较长、漏洞风险较高、用户反馈活跃或潜在损害较大的软件系统，非周期性策略始终优于周期性策略。这些发现为软件开发者提供了合理的补丁规划实践见解。
本研究的主要贡献总结如下：
1.据我们所知，这是首次通过明确整合用户动态扩散来研究补丁策略优化的研究。这种整合捕捉了用户采用的演变特性，使补丁规划更准确地反映了现实世界的行为和技术动态。
2.提出了一种新的漏洞发现模型，该模型整合了不完美的调试过程、用户扩散和用户反馈比例，为评估和预测软件随时间的可靠性提供了更现实的框架。
3.分析了周期性和非周期性补丁策略，并从中推导出几个最优性质。此外，还为非周期性情况开发了一种迭代优化算法以获得数值解。
本文的其余部分组织如下。第2节简要回顾了相关研究。第3节重点介绍了数学模型的构建。第4节详细分析了周期性和非周期性补丁策略。第5节通过数值示例评估了所提出策略的性能。第6节讨论了有效性的威胁和管理意义。最后，第7节总结了本文并讨论了未来研究的方向。
