赛义德·M·侯赛因 | 赛义德·穆斯坦萨尔·侯赛因 | 希贾兹·艾哈迈德 | T·纳扎尔 | 瓦西姆·贾姆谢德 | 穆罕默德·R·埃德 | 卡梅尔·盖德里 | 穆斯塔法·巴伊拉姆
沙特阿拉伯麦地那伊斯兰大学理学院数学系，麦地那，42351
**摘要**
本研究利用分数阶框架，探讨了基于卡森模型的血液衍生六元混合纳米流体在垂直定向、轻度狭窄动脉中的磁流体动力学流动与传输行为。该六元混合纳米流体是通过将Au、Cu、ZnO、Ag、MgO和TiO2纳米颗粒分散到血液中制备而成的，且流动过程具有高度脉动性。数学建模基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，并在轻度狭窄假设下进行了无量纲化处理。为了将经典模型扩展到分数阶形式，引入了Caputo–Fabrizio分数阶导数，通过Laplace变换和Hankel变换得到了速度和温度的封闭形式解析表达式。图形结果突显了关键物理因素对速度、温度和熵产生的影响。六元混合纳米颗粒的加入显著提高了血液的热性能，因为有效热导率显著增加。随着卡森参数值的增大，速度增加；而随着分数阶参数的增强，温度降低。此外，发现熵产生随热力学参数的增加而增加，相应的Bejan数减小，反映了系统内的主导不可逆效应。
**1. 问题背景**
六元混合纳米颗粒是一类新型工程纳米材料，由六种不同类型的纳米材料与单一传统液体结合而成。这种多组分组合的目的是结合每种组成纳米材料的特殊性质（如热性质、电性质、化学性质和机械性质），从而获得整体上优于单一组分、混合组分甚至六元混合纳米流体的传输性能。特别是在健康和生物流体领域，尤其是血液流动方面，六元混合纳米流体具有显著优势，例如在热导率、能量传输、稳定性以及整体流变特性方面表现更优。通过使用Au、Cu、ZnO、Ag、MgO和TiO2纳米颗粒，所得混合物集成了金属、氧化物和半导体的特性。这些材料共同作用，显著提高了热传递效率，改变了流动行为，并有助于将生物医学性能融入复杂的自然生理活动中。因此可以说，六元混合纳米流体为先进的治疗、诊断和制造领域带来了极具吸引力的前景。Choi等人[1]首次提出了这类纳米流体，通常被视为第一代改进型高温流体。根据Abbasi等人[2]、Khan等人[3]和Mohyud-Din等人[4]的研究，第二代纳米流体（也称为混合纳米流体）已经开发出来。第三代纳米流体则是对前两代进行了进一步改进。目前，这三代纳米流体被广泛应用于各种技术领域，包括电子工程[5]、生物医学制造[6]和止痛剂保存[7]，以确保药物稳定性和防止其变质。
**生物磁流体动力学（BFD）**是研究生物液体（特别是血液）对磁场响应的相对较新的流体机制分支[8]。这一领域对医学科学至关重要，可用于多种应用，如利用磁化颗粒输送药物、控制严重出血以及辅助治疗恶性肿瘤[9][10]。Shit等人[11]的研究表明，血红蛋白分子的磁特性是血液生物磁响应靶向肿瘤细胞的主要原因之一。
在周期性身体加速度和外部磁化场的作用下，Abbas等人[12]进行了实验，研究了血液在狭窄动脉中的流动行为。Shit和Majee[13]进一步研究了狭窄动脉中的血液流动，而Akbar和Butt[14]则对非稳态血液流动及其相关的热传递过程进行了数学建模。
通常情况下，当血液在较大动脉中以高剪切率流动时，可将其视为牛顿流体[15][16]。然而，Liepsch[17]指出，即使在较大管道中，如果剪切率足够低，血液也可能表现出非牛顿特性。在这种情况下，特别是当流动较慢时[18]，可以将血液视为卡森流体。因此，许多研究[19][20][21]采用了卡森流体模型来描述狭窄动脉中的血液流动。Ali等人[22]改进了分数阶模型，用于描述血液通过卡森流体的流动。He等人[23]将研究重点放在计算流体动力学上，该工具可以可视化不同生理条件下的血液流动情况。他们认为，研究这些过程中产生的热传递和质量传递现象对于模拟生理和工业过程非常重要。电磁流体动力学（EMHD）研究的是受外部磁场和电场连续影响的流体。这些研究主要集中在MHD和EHD力的理论、计算和实验方面，旨在理解它们对正常流体（包括血液）流动的影响。动量方程中包含了额外的力元素（主要是洛伦兹力和库仑力），这些力直接影响流体速度。MHD已广泛应用于生物医学领域[24]。Akbar和Butt[25]的研究探讨了磁场对具有壁滑移特性的狭窄动脉中铜纳米颗粒的影响。Mekheimer等人[26]的研究探讨了在外加磁场作用下，铜纳米分子浓度对动脉血流的影响。他们的研究发现，壁面剪切应力随哈特曼数的增加而增大，随格拉肖夫数的减小而减小。电流体动力学（EHD）在细胞治疗、药物输送和生物程序等多个领域显示出显著效果[27]。血液作为导电流体，流经血管壁时会导致壁面带电，从而产生电动现象。根据电中性原理，位于血管壁附近的电双层（EDL）内的血液携带的电荷与壁面电荷相反。Burgreen和Nakache[28]进行了最早的电动流动理论研究之一。最近的研究[29]使用格子泊松-玻尔兹曼模型研究了牛顿纳米液体的行为。
**结论**
模拟自然界现象最常用的方法是使用分数阶微分方程，因为这些方程允许系统保留其历史特性或具有记忆性，类似于动态系统的运作方式。1695年，L'Hôpital首次提出了分数阶微积分的概念。与经典微积分不同，分数阶微积分涉及任意（非整数）阶的导数。现代，分数阶微分方程因其在物理学和工程学领域的巨大潜力而受到广泛关注，有望解决许多科学问题[33]。Sharma等人[34]研究了具有可变粘度的弯曲渗透动脉中的MHD两相血液流动，阐明了热传递和质量传递如何影响血液动力学特性。Upreti等人[35]研究了Au-血液纳米流体在Darcy-Forchheimer多孔介质中的热传递，以及诱导磁场和Cattaneo-Christov热通量模型对热行为的影响。Gandhi等人[36]研究了含有Au-Al2O3纳米颗粒的磁流体血液流动中的熵产生，探讨了周期性身体加速度对血液动力学的影响。Khan等人[37]对无限垂直平行板间尘埃Jeffrey流体的广义两相自由对流流动进行了数学分析，重点关注热传递对流体动力学的影响。Rehman等人[38]分析了Marangoni对流、热辐射、粘性耗散和耦合应力对碳纳米管基混合纳米流体流动的影响。Mahariq等人[39]探讨了基于分形算子的建模在太阳能集热板上的应用，以改善MHD四元混合纳米流体的热传递和质量传递。
尽管许多研究者详细研究了基于血液的单组分、混合组分、三元组分及其他多组分纳米流体在狭窄动脉中的行为，但尚未有研究将六元混合纳米流体与Caputo–Fabrizio分数阶模型结合，用于分析磁化卡森血液流动中的熵产生。Khan等人[42]研究了辐射耦合应力MHD纳米流体在渗透壁通道中的分数阶分析，阐明了热辐射、耦合应力效应和磁场如何影响纳米流体传输特性。Khan等人[43]研究了多孔填充同心管道中的非稳态混合对流，探讨了熵产生、多孔介质和热传递如何影响流动特性。尽管已有大量研究，但本研究首次开发了基于分数阶模型的脉动卡森血液流动分析，将六种纳米颗粒（Au、Cu、ZnO、Ag、MgO和TiO2）分散到血液中，并结合Caputo–Fabrizio分数阶导数以更真实地捕捉记忆效应。该研究同时考虑了速度、温度、Bejan数和熵产生，具有更高的热力学信息量。从数值角度来看，解析解与数值方法非常吻合，绝对误差仅为10^-4至3×10^-4（见验证表）。结果还显示，随着分数阶参数的增加，中心线速度从约1.2增加到2.3。同时，六元混合纳米流体在动脉核心处的速度最高，约为1.85，而简单纳米流体情况下的速度约为1.35。温度随着热源参数的增加而显著上升，在动脉核心处达到了大约4.1。由于热力学效应，熵的产生显著增加，在Brinkman数较高的情况下，熵的产生超过了120，而Bejan数较低（大约低于0.025），并且随着粘性和磁不可逆性的增加而减小。我们的研究结果表明，新的六元混合分数模型显著促进了热传输，并揭示了狭窄动脉流动中的关键不可逆特性。
1.1. 创新性
当前研究的创新之处在于引入了六元混合纳米分子来模拟通过狭窄动脉的血流，据我们所知，这之前尚未与Caputo–Fabrizio分数导数结合在生物医学应用中进行过研究。虽然之前的研究已经探索了单组分、混合组分甚至五组分纳米流体以及经典或分数模型，但扩展到包括Au、Cu、Ag、ZnO、MgO和TiO2的六组分混合物，在提高基于血液的纳米液体的热性能和流变性能方面是一个重要的进步。将这种多组分纳米粒子与分数阶导数相结合，可以更精确地表示依赖于记忆的血流和热传输行为，这在诸如高热治疗、靶向药物输送和磁辅助疗法等生理学背景下至关重要。此外，这项研究将分数阶建模与熵产生和Bejan数分析结合起来，为复杂生物医学流体系统的热力学不可逆性和效率提供了新的见解，这是文献中尚未涉及的。
2. 物理结构和问题表述
图1展示了具有多个狭窄部位的动脉的示意图。(1)下载：下载高分辨率图像（512KB）下载：下载全尺寸图像图1. 血流示意图。下载：下载高分辨率图像（489KB）下载：下载全尺寸图像图2. 研究流程图。本研究考察了在含有狭窄区域的倾斜动脉中的血流。血液被描述为非稳态、不可压缩且轴对称的，反映了其实际的物理行为。为了增强液体的热性能和流动特性，加入了六种不同的纳米粒子，形成了六元混合纳米流体（表1）。六元混合纳米分子和传统液体的热物理特性在表2中有所说明。这些纳米粒子有助于改善热传输、更好的流动调节以及潜在的靶向药物输送效果。所采用的数学模型基于牛顿第二定律，描述作用在液体上的力，而施加的磁力影响则通过麦克斯韦方程组来捕捉，这些方程组规定了磁力与纳米粒子之间的相互作用。控制方程可以使用分数阶导数来表达，如参考文献[40]、[41]、[42]、[43]中所述。
3. 分析解
拉普拉斯变换是解决此处考虑的时间分数模型的一种非常有效的工具。(24)(25)应用边界条件（BCs）和零阶汉克尔变换（Hankel transform），方程(26)、(27)可以表示如下。(26)(27)(28)从方程(16)中，我们得到：(29)重新排列方程(29)得到：(30)同样地，对方程(28)进行整理，我们得到：(31)使用ILT对方程(20)进行处理，我们得到：(32)其中(33)从方程(31)得到：(34)(35)这些公式为处理出现在复杂传输现象中的分数阶算子提供了很好的数学工具。在分数建模中，这些算子对于表征系统的非局部和遗传特性非常重要。基于黎曼-刘维尔（Riemann–Liouville）的表示方法是解释变换域中分数微分的经典方式，而洛伦佐-哈特利（Lorenzo–Hartley，L-H）公式则提供了更通用和适应性更强的分数动力学描述。当尝试推导控制记忆过程的方程的精确表达式时，这两种方法都非常有用。因此，变换域中的分数算子对流体模型的数学处理非常有帮助，并且使得在拉普拉斯域中的求解变得直接。如[5]、[6]所述：(6)(7)其中表示平均温度，表示玻尔兹曼常数，表示电解质中的离子密度。(8)其中表示介电常数。(9)德拜长度（Debye length）的表示为：(10)假设电势能满足。因此，我们得到：(11)边界条件（BCs）变为：(12)我们使用无量纲参数和，等价性的无量纲形式为：(13)(14)其中表示无量纲的德拜-赫克尔参数（Debye–Hückel parameter），它表示电双层（EDL）的厚度。对于方程(25)中规定的边界条件。(15)通过使用以下无量纲变量，将动量和温度方程转换为无量纲形式。(16)方程16使用单变量无量纲形式，主要是因为它使数学工作更简单，更重要的是，它是获得普遍结果的一种方式，这些结果不仅突出了各种物理机制效应的相对重要性。此外，无量纲方程在设置实验和进行缩放分析时是必不可少的，因为它们能够创建通用解决方案，同时允许对各种工程和生理应用进行非常高效和可扩展的模拟。无量纲控制方程以及适当的边界条件可以写成如下形式：(17)(18)其中分数阶表示模型的正常整数阶瞬态导数，是瞬态参数。哈特曼数（Hartmann number）表示，雷诺数（Reynolds number）表示，普朗特数（Prandtl number）表示，倾角（Inclined angle）表示，格拉肖夫数（Grashof number）表示。边界条件可以表示为无量纲形式如下：(19)由于心脏的泵送活动，在心血管系统中建立了压力梯度，该梯度由压力梯度的稳定成分和时间依赖成分组成。由于这两个成分的存在，压力梯度可以表示如下：(20)当Caputo表示法被指定为：(21)(22)(23)分数阶提供了更完整的流动行为描述。与传统整数阶模型相比，分数阶模型提供了更详细和信息丰富的系统描述。
4. 熵的产生
当狭窄部位使动脉管腔变窄时，速度梯度显著增强，导致非常高的剪切应力和显著的粘性耗散，这成为不可逆能量损失的主要原因。此外，受扰动的流动模式会加剧温度变化，特别是在存在磁场、非线性热辐射、热源或纳米粒子的情况下，其中热不可逆性受这些因素的影响最大。主要的熵产生是由于热量和粘性元素的共同作用，反映了血液动力系统的效率低下。分数阶模型对流体记忆响应的变化导致狭窄区域中的耗散模式发生变化，进一步的基于纳米粒子的六元混合血液模型通过提高有效粘度和热传输率来增加熵的产生。(47)熵产生的无量纲表示如下：(48)，其中利用，在中，我们得到：(49)(50)(51)通过使用拉普拉斯变换和汉克尔变换方法，通过射击法（shooting method）和有限差分法（FDM）对这里提出的分析解进行了数值验证。表3显示了在选定参数值下不同径向位置的速度剖面比较。当前解决方案与两种数值方案之间有着极好的吻合度。绝对误差保持在10^-4的水平，这表明所提出的分数阶六元混合纳米流体模型的可靠性、收敛性和数值稳定性。进一步对经典情况（分数参数）进行了验证，结果见表2。表3. 使用数值方法验证当前结果。当前方法（分析）射击法有限差分法（FDM）绝对误差（射击法）绝对误差（FDM）0.01.00000.99980.99972.0×10^-43.0×10^-40.20.93260.93240.93232.0×10^-43.0×10^-40.40.81290.81270.81262.0×10^-43.0×10^-40.60.65310.65290.65282.0×10^-43.0×10^-40.80.41240.41230.41221.0×10^-42.0×10^-41.00.00000.00000.00000.00.0表4. 对经典情况（分数参数）的验证。当前方法（分析）有限差分法（FDM）绝对误差备注0.01.00000.99982.0×10^-4非常吻合0.20.93520.93502.0×10^-4非常吻合0.40.82160.82133.0×10^-4非常吻合0.60.66840.66813.0×10^-4非常吻合0.80.42870.42852.0×10^-4非常吻合1.00.00000.00000.0边界条件通过使用有限差分法结合射击技术在固定参数下求解变换控制方程来完成数值验证：、、和。计算区域被划分为足够细的均匀网格，由此产生了一组代数方程，并通过迭代求解。为了确保结果的独立性，使用了越来越细的网格进行计算，几乎没有发现速度和温度剖面的变化。通过将数值解与当前分析解和对应于的经典情况进行比较，也确认了数值解的准确性。所有案例都显示出非常好的一致性，绝对误差大约在10^-4的范围内。此外，所使用的数值方法的稳定性和可靠性通过迭代过程的平滑收敛以及获得的结果中没有数值振荡或发散得到了证明。5. 数值结果与分析图3、图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11中展示的图形结果描述了关键控制参数对狭窄动脉中的血液流动行为、热传输和热力学不可逆性的影响。这些结果为磁场强度、分数阶效应、纳米粒子负载、浮力作用、电渗效应和热生成如何改变基于血液的六元混合纳米流体的流动和热传递特性提供了清晰的物理解释。通过使用金、铜、氧化锌、氧化镁、银和钛纳米粒子的特定热物理性质，详细分析了哈特曼数、分数阶参数、卡森流体参数等参数的变化。下载：下载高分辨率图像（183KB）下载：下载全尺寸图像图3. 带有...的速度剖面。下载：下载高分辨率图像（241KB）下载：下载全尺寸图像图4. 带有六元混合纳米流体的速度剖面。下载：下载高分辨率图像（183KB）下载：下载全尺寸图像图5. 带有...的速度剖面。下载：下载高分辨率图像（150KB）下载：下载全尺寸图像图6. 带有...的速度剖面。下载：下载高分辨率图像（188KB）下载：下载全尺寸图像图7. 带有...的速度剖面。下载：下载高分辨率图像（162KB）下载：下载全尺寸图像图8. 带有...的速度剖面。下载：下载高分辨率图像（170KB）下载：下载全尺寸图像图9. 带有...的温度剖面。下载：下载高分辨率图像（144KB）下载：下载全尺寸图像下载：下载高分辨率图像（144KB）下载：下载全尺寸图像图10. (a). 带有...的熵生成剖面。(b). 带有...的贝詹数。下载：下载高分辨率图像（146KB）下载：下载全尺寸图像下载：下载高分辨率图像（144KB）下载：下载全尺寸图像图11. (a). 带有...的熵产生。(b). 带有...的贝詹数。这里使用的控制参数区间主要是为了物理真实性，并遵循了早期关于狭窄血流、卡森流体流变学、生物磁传输、电渗效应和分数阶血液动力学模型的研究模式，没有任何矛盾或不一致之处。具体来说，我们使用的哈特曼数、卡森参数、格拉肖夫数、佩克莱特数、热源/汇参数、德拜-赫克尔参数和分数阶参数的值都在其他研究人员在血流和纳米流体研究领域发布的范围内。同样，血液和纳米粒子Au、Cu、ZnO、Ag、MgO、TiO2的热物理参数也符合标准文献值，以保持生物医学相关性。因此，选定的参数范围既不是任意的也不是随机的，而是代表了研究狭窄动脉系统中热和动量传递过程的生理意义和数学上一致的条件。图3、图4、图5、图6、图7、图8中展示的速度剖面描述了血流对不同控制物理参数的响应。图3表明，对于分数阶参数，轴向速度比低阶参数更高。直观上，可以将这种行为与分数导数的物理记忆效应联系起来。分数阶的变化减少了过去流动状态对当前流动状态的影响程度，使得当前时间的流体运动更加活跃。因此，动量扩散更强，导致血液以更高的速度移动。尽管血液和六元混合纳米流体都表现出这种现象，但由于悬浮纳米粒子改变了基础流体的有效热物理和流变特性，六元混合纳米流体的这种现象更为明显。图4显示，随着悬浮纳米粒子数量的增加，速度剖面有所提高，从单纳米流体到六元混合纳米流体。这种改善与多个纳米粒子的存在有关，它们增强了基础流体的有效热导率和能量传输能力。由于热传输更好，热阻降低，动脉内的动量传递变得更加平滑。因此，基于血液的六元混合纳米流体在所有纳米流体、混合纳米流体、三元纳米流体、四元纳米流体和五元纳米流体中显示出最高的速度。这一发现表明多组分纳米粒子可以改善生物医学流动系统中的传输性能。图5展示了卡森参数对速度场的影响。随着卡森参数的增加，速度结果变得更高。从物理角度来看，更高的卡森参数意味着屈服应力效应减弱，卡森流体的有效粘度降低。因此，变形阻力降低，流体更容易通过狭窄的动脉。由于血液在许多生理情况下是一种剪切稀化的非牛顿流体，这一结果证实了低表观粘度有助于轴向运动。图6说明了格拉肖夫数对速度分布的影响。随着格拉肖夫数的增加，流体速度上升，因为这个数字衡量了热浮力与粘性力的相对强度。当温差变大时，浮力增强，有助于流体沿轴向移动。因此，随着热浮力超过粘性阻力，流动速度加快。这种现象与动脉热传递有关，其中温度梯度可能影响血液传输。图7表明，德拜-赫克尔参数提高了速度，该参数量化了电双层效应的强度。更强的电双层在动脉壁附近产生了增强的电渗体力。这种力沿着流动方向，为基于血液的纳米流体提供了更多的动量。因此，轴向速度上升。这种情况对于微循环和生物医学系统中的电渗传输具有重要的物理意义，因为外部施加的电场能够诱导流体运动控制。另一方面，图8显示哈特曼数的增加对速度有负面影响。哈特曼数是磁场对导电流体运动影响程度的指标。磁场强度的增加会产生洛伦兹力，这种力会抵消流体运动。因此，产生的力降低了轴向速度和边界层的扩展。相应地，哈特曼数的增加导致血流减慢。这一发现对医疗应用具有重要意义，例如磁药物靶向热疗和受疾病影响的动脉中的血流磁控制。图9反映了代谢热源参数对温度剖面的影响。当热源强度增加时，温度上升。简单来说，较高的热源参数意味着流体内部产生更多的热量，从而导致基于血液的纳米流体具有更高的热能。这一发现与生物组织由于生化过程产生的代谢热现象相符。因此，代谢热产生的增加导致温度场升高，可能会影响组织灌注、动脉热传递和狭窄动脉中的热调节。图10和图11展示了在不同物理参数下贝詹数和熵生成的变化。在图10中，贝詹数随布林克曼数的增加而下降的趋势与熵生成随布林克曼数的变化趋势完全相反。从物理上讲，布林克曼数是一个无量纲参数，用于量化粘性耗散相对于热传导的相对重要性。较高的值意味着机械能向热能的转换更为强烈，从而提高了系统的热力学不可逆性。同时，贝詹数减小，表明流体摩擦不可逆性变得比热不可逆性更为显著。另一方面，图11显示，随着磁场强度的增加（表现为较大的哈特曼数），动脉中心部分的熵生成显著增加，而动脉壁处的变化非常小。这是因为施加的磁场不仅导致洛伦兹力阻力，还导致焦耳加热，这两者都增加了流动的热力学不可逆性。因此，贝詹数下降，表明磁力和粘性力的效应超过了纯热传递不可逆性的效应。6. 结论本研究为Caputo-Fabrizio分数模型中的磁流体动力学卡森基于血液的六元混合纳米流体在轻微狭窄动脉中的流动开发了精确的解析解，并通过射击法和有限差分解进行了验证，绝对误差保持在10^-4至3×10^-4的范围内，确认了出色的数值一致性和稳定性。研究结果表明，分数阶参数显著提高了轴向速度，中心线速度从大约1.2增加到接近2.3，添加纳米粒子后，流动从单混合悬浮液持续提升到六元混合悬浮液，从而在所有设置中实现了最高速度。另一方面，增加卡森参数或格拉肖夫数会使流动更快，但更强的磁场会减慢流动速度。例如，将哈特曼数从0.1增加到1.0会大大降低速度，这表明洛伦兹力的减速效应和狭窄动脉传输中的磁控制潜力。由于内部热生成，热传递显著增强，因为温度从大约1.3升高到超过4.0。从热力学的角度来看，熵生成随布林克曼数和磁场强度的增加而急剧增加，在较大的Br值时，核心区域的最高值超过120，而贝詹数减小，表明从热传递主导的不可逆性转变为粘性和磁耗散主导的不可逆性。从物理上讲，结果表明六元混合纳米粒子负载和分数记忆效应可以显著提高传输和热特性。然而，这在剧烈耗散的条件下是以增加不可逆性为代价的。另一方面，该模型受到轻微狭窄、轴对称二维流动、均匀纳米粒子分散以及忽略脉动壁弹性、粒子聚集和生化相互作用的假设限制。因此，未来的研究应关注患者特定的动脉几何形状、非轻微或多重狭窄的可能性、壁的顺应性、可变的热物理性质，以及全面的数值或实验验证，以检查六元混合纳米流体在靶向药物输送、热疗和磁流调节中的生物医学真实性和治疗适用性。6.1. 局限性和未来工作本文基于Caputo-Fabrizio分数导数、热源/汇效应和熵生成分析，对通过轻微狭窄动脉的磁流体动力学卡森基于血液的六元混合纳米流体流动进行了理论研究。然而，尽管该模型在理论上很有启发性，但也存在一些局限性。研究是在轻微狭窄、轴对称二维流动、均匀纳米粒子分散和恒定热物理性质的假设下进行的。此外，影响血流的身体特性，如动脉壁的弹性、粒子如何粘在一起、纳米粒子的不均匀分布以及生化剂之间的复杂相互作用尚未考虑。建模主要集中在理论推导和数值验证上，没有进行任何实验或临床测试。因此，当前发现与实际心血管条件的联系仍然非常薄弱。本文提出了一项可能的扩展研究，包括患者特定的动脉几何形状、多重或严重狭窄、脉动壁顺应性、可变的热物理性质以及更现实的生物边界条件。此外，为了确定六元混合纳米流体在靶向药物输送、热疗以及病变动脉中的磁流控制方面的医疗效果，迫切需要进行全面的数值模拟和实验测试。
术语表：
- 体加速度幅度
- 稳态和脉动部分的幅度
- 磁场强度
- 舒张压梯度
- 相似函数
- 无狭窄区动脉的长度和狭窄段长度
- 时间
- 哈特曼数（Hartmann number）
- 普朗特数（Prandtl number）
- 埃克特数（Eckert number）
- 脉动雷诺数（Pulsatile Reynolds number）
- 代谢热源（Metabolic heat source）
- 皮肤摩擦系数（Skin friction coefficient）
- 努塞尔特数（Nusselt number）
- 恒压比热（Specific heat at constant pressure）
- 热容量（Heat capacity）
- 佩克莱特数（Peclet number）
- 格拉肖夫数（Grashof number）
- 环境温度（Ambient temperature）
- 血流速度（Temperature）
- 动脉半径（Radius of an artery）
- 壁温（Wall temperature）
- 电导率（Electrical conductivity）
- 卡森流体参数（Casson fluid parameter）
- 壁面剪切应力（Wall shear stress）
- 动态粘度（Dynamic viscosity）
- 密度（Density）
- 热导率（Thermal conductivity）
- 相角（Phase angle）
- 纳米粒子体积分数（Nanoparticle volume fractions）
- 脉动频率（Pulsatile frequency）
上标和下标的使用说明：
- 六元混合纳米流体（Hexa hybrid nanofluid）
- 五元混合纳米流体（Penta hybrid nanofluid）
- 四元混合纳米流体（Tetra hybrid nanofluid）
- 三元混合纳米流体（Ternary nanofluid）
- 混合纳米流体（Hybrid nanofluid）
- 基础流体（Base fluid）
- 六元混合纳米流体的固体成分（Solid component for hexa hybrid nanofluid）
作者贡献声明：
- Mustafa Bayram博士：监督、资源提供、方法论设计。
- Syed Mustansar Hussain博士：数据整理、概念构思。
- Hijaz Ahmad博士：软件开发。
- Syed M. Hussain博士：实验研究。
- Mohamed R. Eid博士：结果验证。
- Kamel Guedri博士：数据可视化、项目管理、资金筹措、概念构思。
- T. Nazar博士：结果验证。
- Wasim Jamshed博士：论文撰写（初稿）。
利益冲突：
无。
资金来源：
本研究由沙特阿拉伯乌姆阿尔-库拉大学（Umm Al-Qura University）资助，项目编号为26UQU4331317GSSR03。
