半球谐振陀螺因其高精度、可靠性和长寿命而成为惯性导航系统研究的优秀对象[1]、[2]、[3]。半球谐振陀螺的核心元件是半球壳谐振器（HSR）。HSR的制造技术是生产高精度、高可靠性半球谐振陀螺最具挑战性和关键性的方面。HSR通常采用批量生产，这使得在其结构中实现完美的轴对称性变得复杂。HSR的制造缺陷往往导致频率分裂和模态形状的不对称[4]、[5]、[6]。这些缺陷会不利地影响半球谐振陀螺的导航精度[7]。共轴误差是HSR中常见的加工问题，源于半球壳轴线与支撑杆轴线之间的不对准。准确建模考虑共轴误差的HSR对于评估其对频率分裂和模态形状对称性的影响至关重要。
根据考虑共轴误差的HSR的几何特性，该问题可以简化为半球壳与偏心圆孔和支撑杆之间的耦合问题。偏心圆孔的位置是半球壳的上边界。在我们之前的工作中，已经建立了考虑半球壳与支撑杆相互作用的HSR的动态模型[8]。在建模考虑共轴误差的HSR时，准确描述带有偏心圆孔的半球壳是一个关键挑战。
已经进行了大量的理论研究来研究带有偏心圆孔的圆形板的振动特性[9]、[10]、[11]、[12]。Fadaee和Ilkhani[13]利用薄板理论对带有偏心孔的圆形石墨烯片的振动行为进行了理论分析。最近，Askari等人[14]、[15]提出了一种分析偏心环形板振动行为的数学方法。基于变换差分求积法，Yang等人[16]、[17]开发了一个理论模型来研究旋转偏心环形板的自由振动和屈曲行为。他们的研究结果表明，增加偏心距会降低低阶模式的自然频率，而提高高阶模式的自然频率。一些研究人员还使用有限元方法（FEM）和实验来研究偏心环形板的振动行为[18]、[19]、[20]。总体而言，在使用理论方法对偏心圆板进行建模时，偏心孔作为圆形板的内边界，内外边界通常通过几何关系在同一参考坐标系中描述。
对于带有圆锥孔或圆孔的球形和半球壳结构的振动行为，Kang等人[21]、[22]、[23]使用三维弹性理论研究了带有和不带有轴向圆锥孔的半球壳的振动。基于差分求积法，Thiagarajan和Gopal[24]创建了一个计算模型来分析层压半球壳的振动，其中结构的上边界位于圆孔处。随后，许多研究人员[25]、[26]、[27]、[28]对带有孔和一般约束边的球形和半球壳的振动特性进行了研究。近年来，还进行了多项关于含有圆孔的球形壳结构的振动行为的研究[29]、[30]、[31]、[32]。总体而言，上述几乎所有关于带有孔的球形和半球壳结构的研究都假设孔的中心与壳的中心重合，很少有研究关注带有偏心孔的壳结构的动态行为。
根据模态分析理论，重复根模式是一些具有特定对称截面的结构的特殊振动特性的数学描述。这种对称性使得这些结构能够表现出具有相同自然频率和模态形状的重复根模式，同时保持形状之间的空间相位差一致[33]、[34]、[35]、[36]。实际上，结构和材料的不完美对称性会导致重复根模式的自然频率存在微小差异[4]、[37]、[38]、[39]，这种现象称为频率分裂。频率分裂是由结构不规则性引起的，会在谐振器中引入误差。因此，最小化频率分裂对于提高谐振器的精度至关重要。
目前关于HSRs频率分裂的研究主要利用四次谐波函数来表示加工误差和材料不均匀性，通过密度和厚度等材料或几何参数来表示。振动特性分析基于HSRs二阶振动模式的运动方程。具体来说，二阶模式指的是HSR的工作模式，对应于周向波数为2和径向波数为1[40]、[41]、[42]。这个经典模型有效地量化了频率分裂值与四次谐波幅度之间的相关性，并准确描述了节点轴方向与结构质量和刚度非均匀分布之间的对应关系[41]、[42]。然而，这个模型存在显著局限性：它忽略了支撑杆约束刚度的贡献，并且该理论框架仅适用于二阶共振模式的动态分析，因此不适用于其他模式。因此，在误差条件下定量评估非二阶模式的模态参与因子仍然具有挑战性，阐明由单一误差参数引起的HSR振动特性的演变机制更加困难。
共轴误差指的是支撑杆轴线与半球壳轴线之间的偏心偏差。这种特定的几何加工误差无法通过四次谐波函数有效描述。基于上述事实，提出了一种准确的解决方案程序，用于分析考虑共轴误差的HSR的振动特性，特别是频率分裂和模态形状的对称性。利用薄壳理论和Timoshenko梁理论建立了子结构的能量函数。基于哈密顿原理制定了考虑共轴误差的HSR的理论模型。进行了收敛性分析和振动实验，以获得更准确的结果并验证分析模型的正确性。探讨并讨论了偏差距离对频率分裂和模态形状变化的影响。
