由于具有高比刚度和轻质特性，纤维增强复合材料（FRCs）被广泛应用于航空航天、汽车工程和高端设备制造领域（如图1所示）。增材制造技术的进步，特别是连续纤维3D打印和自动化纤维放置技术，放宽了对预选纤维路径和横截面尺寸的限制，使得布局更加灵活[1,2]。因此，FRCs的设计对于提升其机械性能至关重要。
拓扑优化是一种成熟的轻量化和性能提升方法[3,4]。它通过在规定的设计域内重新分配材料来改善性能。常用的方法包括SIMP[[5], [6], [7]]、水平集方法[8,9]、进化结构优化[10]以及基于组件的显式拓扑优化[11]等。将多尺度FRCs设计与拓扑优化相结合，以同时优化拓扑和纤维取向，已成为提高性能的有效途径[[12], [13], [14]]。现有研究追求不同的目标[15,16]：一类方法在体积或应力约束下最小化柔顺度，同时将纤维取向作为设计变量[17], [18], [19]；另一类方法通过限制纤维曲率、平滑角度场和设定最小特征尺寸来提升可制造性[20,21]。热性能和抗屈曲性能同样重要，因为许多FRCs工作在受热环境中。为防止失效，优化过程需要明确考虑热效应和屈曲问题。典型的目标包括提高临界屈曲温度[[22], [23], [24], [25]]、降低热柔顺度[26]以及改善有效热导率[27]。近年来，FRCs的优化研究受到了越来越多的关注。
根据纤维设计变量的处理方式，FRCs的多尺度优化可分为两类：连续变量优化和离散材料优化（DMO）[[28], [29], [30]]。在连续方法中，有两种主流策略：一种是基于梯度的或启发式的纤维取向场更新方法；Gürdal等人提出了线性纤维路径函数[31]，Lopes等人将其应用于有或无中心圆形孔的变刚度板材[32]，Duan等人提出了一种两步梯度方案以降低缠绕角设计的初始猜测敏感性[33]，Qiu等人开发了用于复合材料增材制造的拓扑与取向同时优化的框架[34]。另一种策略是将纤维路径参数化为连续曲线或场，使用线性、多项式或样条等低维模型[31,35]，并结合流线或流场公式进行抗屈曲设计[36]，以及使用B样条轨迹描述曲线路径[37]。连续方法适用于生成平滑且可制造的纤维路径，但它们可能对初始值敏感，在复杂载荷下可能收敛到局部最优解而非全局最优解。
离散材料插值的基础工作始于Stegmann和Lund的DMO方案[38]。在DMO中，元素的本构矩阵表示为一组候选纤维取向对应的本构矩阵的加权和。作为替代方案，提出了具有惩罚项的形状函数（SFP）公式[39]，Gao等人[40]在此基础上发展了二进制编码参数化（BCP）方法。Kiyono等人[41]后来提出了正态分布纤维优化（NDFO）方案，显著减少了每个元素的设计变量数量和计算成本。DMO及其变体在柔顺度最小化方面表现出色，并具有稳定的收敛性[42], [43], [44]。增材制造的进步使得制造变刚度纤维路径成为可能[45]。例如，Hong等人[46]提出了一个同时进行设计和制造的框架，通过定制工具路径最大化3D打印FRCs的强度。Raspall等人[47]和Yap等人[48]展示了将自动化纤维放置与增材制造结合用于复杂复合部件的潜力。总体而言，DMO方法被广泛用于纤维优化[18]。
在FRCs的有限元建模中，嵌入式杆模型被广泛使用。Elwi和Hrudey[49]建立了弯曲嵌入式增强体的运动学耦合和刚度组合，为FRCs中的嵌入式元素建模方法奠定了基础。在此基础上，Tabatabaei等人[50]评估了嵌入式元素方法的介观尺度精度，并开发了具有显式纤维表示的强不连续性框架。最近，Zhang等人[51]通过将纤维路径表示为连续体元素内的可移动杆节点，实现了FRCs的优化。这些进展共同强调了嵌入式杆模型在FRCs分析和设计中的关键作用。
目前，大多数现有的FRCs优化方法主要关注结构拓扑和纤维取向。然而，拓扑、纤维路径和横截面尺寸共同决定了载荷传递，尤其是在纤维束或绳索增强复合材料中。受此启发，本文提出了一种考虑纤维取向和横截面尺寸的拓扑优化方法。采用嵌入式杆模型进行有限元分析，并应用NDFO方法优化纤维取向和横截面尺寸，以减少对局部最小值的敏感性。此外，引入了纤维直径的过滤策略以提高可制造性。总体目标是最大化结构性能并提高材料利用率。
