延迟分数阶忆阻Hopfield神经网络固定时间同步与分形维数分析

本文研究了具有常数延迟的分数阶忆阻Hopfield神经网络（FMHNNs）的固定时间同步问题。通过设计两种新型反馈控制器，并基于新提出的固定时间稳定性定理，实现了驱动-响应系统的同步。研究发现，与现有稳定性结果相关的控制器相比，基于新定理设计的控制器可获得更精确的稳定时间上界。此外，文章还通过估计驱动-响应系统的分形维数，对比分析了在不同控制器下系统状态轨迹的不规则性分布，为复杂神经网络的同步控制与动态分析提供了新的理论框架。

亮点

主要结果

在本节中，我们设计了两种不同的控制器，以确保系统(1)和(4)的固定时间同步。

第一个反馈控制器设计为：

U_ι(t) = -θ_ιw_ι(t) - sign(w_ι(t)){μ_ι+ λ_1ι|w_ι(t-τ)| + λ_2ι(D^v-1|w_ι(t)|)^p₁+ λ_3ι(D^v-1|w_ι(t)|)^p₂}，

其中，λ_κι(κ=1,2,3) 和 θ_ι， μ_ι为正参数 (ι=1,2,…,n)，指数 p₁和 p₂满足 0 < p₁< 1 且 p₂> 1。

定理 1

假设假设1和假设2成立。如果控制参数 θ_ι, λ_1ι, μ_ι满足以下约束条件：

θ_ι≥ -d_ι，

（此处省略定理1的完整条件公式）

数值模拟

本节通过两个数值算例，展示两种控制器(7)和(10)在固定时间内实现驱动-响应系统同步的有效性。

例 1

考虑以下二维延迟Caputo分数阶忆阻Hopfield神经网络（FMHNNs）作为驱动系统：

D^vx_ι(t) = -d_ιx_ι(t) + Σ_κ=1²p_ικ(x_κ(t))f_κ(x_κ(t)) + Σ_κ=1²q_ικ(x_κ(t))g_κ(x_κ(t-τ)) + J_ι, ι=1,2,

及其对应的响应系统：

D^vy_ι(t) = -d_ιy_ι(t) + Σ_κ=1²p_ικ(y_κ(t))f_κ(y_κ(t)) + Σ_κ=1²q_ικ(y_κ(t))g_κ(y_κ(t-τ)) + J_ι+ U_ι(t), ι=1,2,

其中 U_ι(t) 是所施加的控制器。

结论

本文针对延迟分数阶神经网络，探讨了两种不同的固定时间同步结果。其中一个控制器基于现有的稳定性结果设计，另一个则基于新提出的固定时间稳定性定理。两个控制器(7)和(10)都明确依赖于时滞，因为它们将延迟状态 w_ι(t-τ) 纳入到控制律中。延迟状态反馈项引入了额外的阻尼，以抵消时滞引起的振荡行为。