分数阶分布时滞模型的动态分析

本文分析了分数阶分布时滞模型的稳定性。研究人员运用线性链技巧（Linear Chain Trick）将这些模型转换为非整数阶系统（Incommensurate Fractional Order Systems）。通过研究平衡点附近的特征方程，获得了模型的稳定性区域。研究人员考察了分数阶α₁、ρ和参数a如何影响模型的稳定性。论文研究了分数阶时滞Logistic方程，并比较了分布时滞对稳定性区域的影响。数值模拟结果证实了理论分析。

本文研究旨在分析分数阶分布时滞模型（方程(20)与(24)）的动态特性，特别是其稳定性。分数微积分（Fractional Calculus, FC）作为解释广泛科学与工程现象的有效工具，其提出的分数阶微分方程已成为研究现实世界问题（如信号处理、生物数学、控制系统及粘弹性系统）的自然模型。当状态变量的自变量出现延迟时，该微分方程被称为时滞微分方程（Delayed Differential Equation, DDE）。近年来，带有延迟的微分方程模型在生物学、物理学、神经网络及流行病学等众多技术和科学领域变得普遍。分数阶时滞微分方程（Fractional Delay Differential Equation, FDDE）在多个领域已应用多年，相较于整数阶方程，其在记忆效应起作用的生物、经济和社会系统中具有更好的适用性。带有分布时滞的延迟微分方程通常可表示为$$\begin{aligned} \dot{x}=F(t,x(t),\int _{0}^{\infty }\mu (\tau )x(t-\tau )). \end{aligned}$$分数阶非线性动力系统的分布时滞研究始于Caputo在1969年的开创性工作。分布时滞微分方程因其长时滞特性与数学上的可处理性，在建模中尤其具有吸引力。近期，分布时滞模型的应用已拓展至多个领域：例如在生物学中，Compbell等人研究了分布时滞如何出现在生物模型中；Cushing讨论了特定生物模型的稳定性与分岔分析；N. MacDonald获得了一些关于一般分布的线性稳定性结果。在神经网络领域，Liu等人研究了具有泄漏、离散和分布时滞的分数阶神经网络的动力学行为；Zhou等人讨论了同时具有离散和分布时滞的两神经元网络的稳定性与Hopf分岔；Karaoğlu等人研究了具有多个离散和分布时滞的两神经元网络模型的局部稳定性与Hopf分岔。在生态模型中，Yu等人研究了带有脉冲控制策略和分布时滞的生态模型的动态复杂性；A.V. Paparao研究了具有分布时滞的三物种生态模型的稳定性。在控制系统中，带有分布时滞的Riccati方程对于开发鲁棒控制系统及其性能提升是必要的；El-Sayed等人研究了具有分布时滞的Riccati微分方程的动态特性。在神经学领域，Karmeshu等人分析了带有分布时滞的神经元模型；Liao等人研究了具有分布时滞和弱核函数的一般两神经元模型；Chen等人探讨了带有分布时滞的分数阶系统（Fractional Order Systems with Distributed Delays, FOSDDs）的扩展严格正实性及其在鲁棒控制中的应用；Kiskinov等人研究了一类具有分布时滞和Caputo型变阶分数阶导数的线性时滞系统；Chen等人通过利用小增益定理获得了名义FOSDDs的阶依赖稳定性条件；Popivanov等人引入了Caputo意义下具有非整数阶导数和分布时滞的齐次系统的拉格朗日（形式）伴随系统的适当定义。

论文的目标是研究两个特定的分数阶分布时滞模型（方程(20)与(24)）的动态分析。在“分数阶时滞Logistic方程”部分，研究人员利用临界曲线法获得了分数阶时滞Logistic方程的稳定性分析结果。在“分数阶分布时滞模型”部分，通过运用线性链技巧，将这些模型转化为非整数阶系统。“数值模拟”部分展示了数值模拟结果。论文的研究发表在《Scientific Reports》期刊上。

研究人员主要采用了以下关键的理论与技术方法：运用线性链技巧处理分布时滞项，将原始的分数阶分布时滞模型转换为一个二维的非整数阶微分方程系统；基于分数阶微积分理论，特别是Caputo分数阶导数的定义与性质，构建了模型；通过线性化方法得到系统的特征方程，并利用关于非整数阶系统稳定性的定理（如定理3.1），通过检验特征根的辐角条件来分析平衡点的稳定性；同时，研究中亦辅以数值模拟方法对理论分析结果进行验证。

研究结果部分基于原文的章节结构：

**分数阶时滞Logistic方程**：研究人员首先考虑了El-Saka等人研究过的具有两个不同延迟的分数阶Logistic方程稳定性分析与Hopf分岔工作。基于此，提出了一个特定的分数阶时滞Logistic方程（方程(2)），其平衡点满足方程(4)，得到两个平衡点：y*₁=0和y*₂=1。通过临界曲线法，推导出关联于该方程的特征方程（方程(5)）。定理2.1指出，对于任何r≥0，平衡点y*₁=0都是不稳定的。对于平衡点y*₂=1，定理2.2表明它只有一个位于r=0与最近的临界曲线r₁(0)之间的稳定性区域，并在此临界值处经历Hopf分岔。通过计算导数dλ/dr在临界曲线上的实部（方程(16)），证明了该实部大于零，从而确认了稳定性区域的有限性。研究发现，该方程的稳定性对分数阶α、参数ρ和时滞r敏感。稳定性区域图（图1和图2）显示，随着ρ和α值的增大，稳定性区域变小。

**分数阶分布时滞模型I**：研究人员提出了一个分数阶分布时滞模型（方程(19)）。通过引入变量y(t)来替换分布时滞积分项，将其转换为一个非整数阶系统（方程(20)），其中α₁为分数阶（0 < α₁ < 1），α₂=1为整数阶。该系统有两个平衡点：(x*₁, y*₁)=(0, 0)和(x*₂, y*₂)=(a², a)。定理3.2指出，平衡点(0,0)对于任何ρ, a和α₁都是不稳定的，因为对应的特征方程（方程(21)）不满足稳定性条件（即不等式(18)不成立，最小辐角为0）。定理3.3给出了平衡点(a², a)渐近稳定的充分必要条件：特征方程（方程(22)）的所有根λ必须满足|arg(λ)| > π/(2M)，其中M是分数阶分母的最小公倍数。稳定性区域分析（图3, 4, 5）表明：稳定性区域对分数阶α₁、参数ρ和a敏感；稳定性区域随ρ减小而扩大，当ρ ≤ 1时整个区域稳定（图3a）；随α₁减小而减小（图4）；随a增大而扩大（图5）。图1至图5共同表明，模型(20)的稳定性区域相较于标准时滞模型有所扩大。

**分数阶分布时滞模型II**：研究人员提出了另一个分数阶分布时滞模型（方程(23)）。同样通过变量替换，得到其反馈控制形式的非整数阶系统（方程(24)）。该系统有两个平衡点：(x*₁, y*₁)=(0, 0)和(x*₂, y*₂)=(a, a)。定理3.4指出平衡点(0,0)对于任何ρ, a和α₁都是不稳定的。定理3.5指出平衡点(a, a)渐近稳定的充分必要条件是特征方程（方程(25)）的所有根λ满足|arg(λ)| > π/(2M)。定理3.4与3.5的详细证明可参照定理3.2与3.3。稳定性区域分析（图6, 7, 8）表明：稳定性区域同样对分数阶α₁、参数a和ρ敏感；随ρ减小而扩大（图6）；随α₁增大而扩大（图7）；随a减小而缩小（图8）。从图1a-c, 2b-2f, 6, 7和8的比较可以发现，分布时滞模型(24)改善了稳定性区域。

**数值模拟**：研究人员采用Adams型预测-校正法对分数阶积分方程进行数值求解。对于模型I，在α₁=0.97, ρ=4.5的条件下（图9），当a=4.5时，系统出现周期解；当a=4.6和5时，平衡点(a², a)渐近稳定。在α₁=0.98, a=15的条件下（图10），当ρ=14时平衡点稳定，当ρ=14.651时出现周期解。对于模型II，在α₁=0.99, ρ=6的条件下（图11），当a=6.015时出现周期解；当a=6.05和6.1时平衡点(a, a)稳定。在α₁=0.95, a=25的条件下（图12），当ρ=22时平衡点稳定，当ρ=22.91时出现周期解。这些数值结果验证了理论分析。

论文的结论部分总结指出，本文研究了分数阶分布时滞模型的稳定性。线性链方法将这些模型转化为具有0 < α₁ < 1和α₂=1的非整数阶系统。确定了模型I的两个平衡点(x*₁,y*₁)=(0, 0)、(x*₂,y*₂)=(a², a)和模型II的两个平衡点(x*₁,y*₁)=(0,0)、(x*₂,y*₂)=(a,a)。定理3.2和3.4表明，对于任何ρ, a和α₁，模型I和II的点(x*₁,y*₁)都是不稳定的。利用定理3.3和3.5中的充分条件，确定了模型I和II的平衡点(x*₂,y*₂)的稳定性区域。此外，证明了稳定性区域对ρ（见图3和6）、分数阶α₁（见图4和7）以及a（见图5和8）敏感。论文还提出了分数阶时滞Logistic方程，并比较了分布时滞模型(20)和(24)的稳定性区域优于标准时滞模型(2)。数值模拟阐明了这些结果。未来的研究方向是将所提方法扩展到涉及更多时间延迟和非整数阶的复杂非线性生物模型。